1、【 ;百万教育资源文库 】 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 （全国新课标卷 1） 理科数学答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】集合 ( ), 3,1A ? ? ? ?，所以 2, 1AB? ? ? . 【提示】给出集合 A，集合 B，求 AB. 【考点】 交集及其运算 2.【答案】 D 【解析】 3222(1 i ) (1 i ) (1 i ) 2 i (1 i )(1 i ) (1 i ) 2 i 1i? ? ? ? ? ?=. 【提示】对给出的复数进行化简 . 【考点】复数的四则运算 3.【答案】 C 【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函
2、数之积为奇函数，故正确选项为 C. 【提示】判断复合函数的奇偶性 . 【考点】函数奇偶性 4.【答案】 A 【解析】双曲线的一条渐近线的方程为 0x my? ，根据双曲线方程得 2=3am， 2 3b= ，所以 33cm?，双曲线的右焦点坐标为 ( 3 3,0)m? .故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 | 3 3 | 31m m? ?. 【提示】给出含参数双曲线方程，求焦点到渐近线的距离 . 【考点】双曲线的简单性质 5.【答案】 D 【解析】每位同学有 2 种选法，基本事件的总数为 42=16 ，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有 2 个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率
3、为 271 16 8? 【提示】 求得 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可 . 【考点】概率计算 【 ;百万教育资源文库 】 6.【答案】 C 【解析】根据三角函数的定义，点 (cos ,0)Mx， OPM 的面积为 |sin2 |1 cosxx，在直角三角形 OPM 中，根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离，即 ( ) | s in c o s | | s in 2 |f x x x x?，且当 2x? 时上述关系也成立，故函数 ()fx的图像为选项 C 中的图像 . 【提示】 在直角三角形 OMP
4、中，求出 OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到 ()fx的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择 . 【考点】 抽象函数及其应用 7.【答案】 D 【解析】逐次计算，依次可得： 32M? ， 2a? ， 32b? ， 2n? ； 83M? ， 32a? ， 83b? ， 3n? ； 158M? ， 83a? ， 158b? ， 4n? .此时输出 M，故输出的是 158 . 【提示】 根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出 M 的值 . 【考点】程序框图 8.【答案】 C 【解析】 2 2 22 2 2c o s s i n 1 t
5、a n1 s i n c o s s i n t a nc o s 2 2 c o s s i n 1 t ata n 4 2n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，因为 0,2? ? ?，所以 ,4 2 4 2? ? ?，又 0,2? ? ?且 4ta n ta n 2? ? ?，所以 42? ? ? ，即 2 2? . 【提示】给出 ,?的范围利用三角恒等变换求解 . 【考点】三角恒等变换 9.【答案】 B 【解析】不等式组表示的区域 D 如图中的阴影部分所示，设目标函数 2z x y? ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在
6、点 1(2, )A ? 处取得最小值，且 min 2 2 0z ?，即 2xy? 的取值范围是 0, )? ，故命题12pp， 为真，命题 34pp， 为假 . 【提示】给出不等式组求解集判断命题的正误 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 命题的真假判断与应用 10.【答案】 B 【解析】由题知 )(2,0F ，设 ( 2, )Pt? ， ( 2, )Pt? ， 00( , )Qxy 则 ( 4, )P tF ? ， 00( 2, )FQ x y? ? ， 由 4FP FQ? ，得 )4 4 2(? ? ? ，解得 0 1x? ，根据抛物线定义得 0| | 2 3xQF ? ? ? 【提示】
7、给出抛物线方程根据抛物线性质求线段长度 【考点】抛物线定义与性质 11.【答案】 C 【解析】当 0a? 时， 2( ) 3 1f x x? ? ，存在两个零点，不符合题意，故 0a? . 由 2( ) 3 6 0f x ax x? ?= ，得 x? 或 2x a? . 若 0a? ，则函数 ()fx的极大值点为 0x? ，且 (0 ) 1()fx f?极 大 值 ，极小值点为 2x a? ， 且 2224() afx af a? ?极 小 值，此时只需 22 04aa? ?，即可解得 2a? ； 若 0a? ，则 ( 0) 0 ) 1ffx ? ?极 大 值 ，此时函数 ()fx一定存在小于
8、零的零点，不符合题意 . 综上可知，实数 a 的取值范围为 (),2? . 【提示】利用导函数得出零点求参数取值范围 【考点】 函数在某点取得极值的条件 ， 函数的零点 12.【答案】 B 【解析】该几何体是如图所示的棱长为 4 的正方体内的三棱锥 11E CCD? （ 其中 E 为 1BB 的中点 ） ，其中最长的棱为 221 ( 4 2 ) 2 6DE ? ? ? 【提示】 画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可 . 【考点】三视图 【 ;百万教育资源文库 】 第 卷 二、填空题 13.【答案】 20? 【解析】 8()xy? 的展开式中 7xy 的系数为 78C=8 ， 26x
9、y的系数为 68C 28? ，故 8( )( )x y x y?的展开式中28xy的系数为 8 28 20? ? 【提示】利用二项式定理求某项的系数 . 【考点】二项式定理 14.【答案】 A 【解析】由于甲没有去过 B 城市，乙没有去过 C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为 A 城市 .又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为 A 城市 . 【提示】可先由乙推出，可能去过 A 城市或 B 城市，再由甲推出只能是 A， B 中的一个，再由丙即可推出结论 . 【考点】 进行简单的合情推理 15.【答案】 90? 【解析】由题易知点 O 为 BC
10、 的中点，即 BC 为圆 O 的直径，故在 ABC 中， BC 对应的角 A 为直角，即 AC与 AB 的夹角为 90 . 【提示】 根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论 . 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 16.【答案】 3 【解析】根据正弦定理和 2a? 可得 ( )( ) ( )a b a b c b c? ? ? ?，故得 2 2 2b c a bc?= ， 根据余弦定理得 2 2 2c o s 122b c aA bc? ? ，所以 3A? . 根据及 2 2 2b c a bc? ? ?基本不等式得22bc bc a?，即 4bc? ，所以 ABC 面积的最大值为
11、 134322? ? ? . 【提示】根据正弦定理与余弦定理及基本不等式求解三角形最大面积 【考点】正弦定理与余弦定理及基本不等式 三、解答题 17.【答案】 （ 1） 证明：由题设， +1 1n n na a S?， +1 +2 +1 1n n na a S? ?= ，两式相减得 + 1 + 2 + 1()n n n na a a a? =. 【 ;百万教育资源文库 】 因为 +1 0na ? ，所以 +2nnaa? = . （ 2） 由题设 1 1a? ， 1 2 1 1a a S?，可得 2 1a ?， 由 （ 1） 知 3 1a ?，若 na 为等差数列，则 2 1 32a a a?，
12、解得 4? ，故 +2 4nnaa? = .由此可得 21na?是首项为 1，公差为 4 的等差数列， 21 43n na ? ?； 2na 是首项为 3，公差为 4 的等差数列， 2 =4 1nan? .所以 21na n?， +1nnaa? =2.因此存在 4? ，使得数列 na 为等差数列 . 【提示】根据等差数列知识完成证明，求出使得 na 为等差数列的参数 ? 【考点】等差数列 18.【答案】 （ 1） 200?平 均 数 2 150s ? （ 2）（ i） 0.6826 （ ii） 68.26 【解析】 （ 1） 抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差 2s 分别为： 平均数
13、1 7 0 0 . 0 2 1 8 0 0 . 0 9 1 9 0 0 . 2 2 2 0 0 0 . 3 3 2 1 0 0 . 2 4 2 2 0 0 . 0 8 2 3 0 0 . 0 2 2 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 2 2 222 22( 3 0 ) ( 2 0 ) ( 1 0 )0 0 2 0 0 9 0 2 2 0 0 3 3 1 0 2 4 2 0 0 0 8 3 0 0 0 2 50 10s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . （ 2）（ i） 由 （ 1） 知 (200,150)ZN ，从而 1
14、8 7 8 2 1 2 2 2 0 0 1 2 2 2 0 0 1 2 2 0 . 6 8 2() 6)(P Z P Z? ? ? ? ? ? ? ? . （ ii） 由 （ i） 知，一件产品的质量指标值位于区间 1878, 2( 212 ) 的概率为 06826 ，依题意知 100,0 682 ()6XB ，所以 1 0 0 0 6 8 2 6 6 8 2 6EX ? ? ? . 【提示】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率 . 【考点】平均数和方差及正态分布 19.【答案】 （ 1） 证明：连接 1BC ，交 1BC于点 O，连接 AO，因为侧面 11BBCC 为菱形，所
15、以 1BC 1BC ， 且 O 为 1BC及 1BC 的中点 .又 AB 1BC，所以 1BC平面 ABO. 由于 AO?平面 ABO，故 1BC AO.又 1BO CO? ，故 1AC AB? . （ 2） 因为 AC 1AB ，且 O 为 1BC的中点，所以 AO CO? . 又因为 AB BC? ，所以 BOA BOC .故 OA OB，从而 OA， OB， 1OB 两两垂直 . 以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向， |OB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz? . 因为 1 60CBB ?= ，所以 1CBB 为等边三角形， 【 ;百万教育资源文库 】
16、又 AB BC? ，则 30,0,3A?， (1,0,0)B ，1 30, ,03B?， 30, ,03C?. 1 330 , ,BA?， 31, 0,3AB ?， 31, 03BC ?. 设 ( , , )n x y z? 是平面 11AAB 的法向量，则即33 0333 0.3yzxz? ? ?，所以可取 1,( 3 3),n ? . 设 m 是平面 1 1 1ABC 的法向量，则同理可取 1,( 3),3m ? . 则 c 1| | | 7o s ( , ) nmnn mm ?.所以结合图形知二面角 1 1 1A AB C?的余弦值为 17 . 【提示】给出立体几何求证直线与直线相等及二
17、面角的余弦值 【考点】立体几何直线、平面之间的关系 20.【答案】 （ 1） 2 2 14x y? （ 2） 2 27yx?或 72 2yx? ? 【解析】 （ 1） 设 F（ c， 0） ，由条件知， 2 2 33c? ，得 3c? . 又 32ca? ，所以 2a? ， 2 2 2 1b a c? ? ? .故 E 的方程为 2 2 14x y?. （ 2） 当 lx? 轴时不合题意，故可设 :2l y kx?， 11( , )Px y ， 22( , )Qx y .将 2y kx?代入 2 2 14x y?得22(1 + 4 ) 1 6 1 2 0k x k x? =，当 216(4 3) 0k? ? ?= ，即 2 34k ? 时， 21,2 28 2 4 341kkx k? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 从而 22212 24 1 4 3| | 1 | | 41kkP Q k x x k? ? ? ? ?.又点 O 到直线 l 的距离22 1d k? ? . 所以 OPQ 的面积 22|1 4 4 32 4 1O P Q kSd kPQ ? ? ?，设 243k t? ? ，则 0t? ，2 4444O P Q ttS tt?因为 4 4t t? ? ，当
