1、贵州省贵阳市 2021 届高三下学期 2 月适应性考试（一） 数学试题（文） 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1 已知 U 是全集，若集合 A 满足 U AB，则（ ） A.ABA B.ABB C.AB D.ABB 2 已知复数1 i是关于 x 的方程 2 20 xpxpR的根，则p （ ） A.2 B.-2 C.1 D.-1 3 若 x，y 满足约束条件 , 1, 1, yx xy y 则2zxy的最大值为（ ） A.-3 B.0 C. 3 2 D.3 4.右图是某几何体的正视图和侧视图，
2、则该几何体的俯视图不可能是（ ） A. B. C. D. 5.已知 1 sin 43 ，则cos 4 （ ） A. 1 3 B. 1 3 C. 2 2 3 D. 2 2 3 6.设xR，则“1x ”是“ 2 12xx ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7.经数学家证明： “在平面上画有一组间距为 a 的平行线， 将一根长度为l la的针任意掷 在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为 2l p a （其中为圆周率）”某试验 者用一根长度为 2cm 的针，在画有一组间距为 3cm 平行线所在的平面上投掷了 n 次，其中 有 120
3、次出现该针与平行线相交，并据此估算出的近似值为10 3 ，则n（ ） A.300 B.400 C.500 D.600 8.已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 公差为 3， 若 1 a， 2 a， 6 a成等比数列， 则 5 S （ ） A.25 B.30 C.35 D.40 9.下图为函数 f x的部分图像，则 f x的解析式可能是（ ） A. 2 e 22 x x B. 2 cos 22 x x C. 2 sin 22 x x D. 2 lne 22 x x 10.若eab（e 为然对数的底数） ，则 b a， a b，logba的大小关系为（ ） A.log ba b aba
4、B.log ab b baa C.log ba ba ab D.log ab ba ba 11.根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双自线反射后，反射光 线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点 与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知 1 F， 2 F分别是双曲线 2 2 :1 2 y C x 的左、右 焦点，若从点 2 F发出的光线经双曲线右支上的点 0,2 A x反射后，反射光线为射线 AM， 则 2 F AM的角平分线所在的直线的斜率为（ ） A.3 B. 3 3 C. 3 3 D.3 12.在平面内，已知动点 P 与两定点
5、A，B 的距离之比为01 且，那么点 P 的轨迹 是圆， 此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中， 也可得到类似结论.如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 1 A A平面 ABC，2ABBC， 1 2BB，90ABC，点 M 为 AB 的中点，点 P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PAPM，动点 P 形成的曲面将三棱柱分成两个部 分，体积分别为 1 V， 212 V VV，则 1 2 V V （ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 第卷（非选择题共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 2、23 题为选考题
6、，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13 若向量1,2a ，,2bx，且ab，则b . 14.已知函数 1 sinsin2 2 f xxx，给出下列四个命题： 函数 f x是周期函数； 函数 f x的图象关于原点对称； 函数 f x的图象过点,0； 函数 f x为 R 上的单调函数. 其中所有真命题的序号是 . 15.已知抛物线 2 :4C yx的焦点为 F，点4,0N，直线 l 过 F 且交 C 于 A，B 两点，若以 NF 为直径的圆交 l 于点 M（异于 F） ，且 M 是 AB 中点，则线段 MF 的长为 . 16.已如数列 n a， 1 1a ，且
7、 1 2 nn n aa n ，则 12322212nnn aaaaaa ， n a . 三、 解答题： 第 17 至 2 题每题 12 分， 第 2， 23 题为选考题， 各 10 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 17.（本题满分 12 分） 如图所示，在平面四边形 ABCD（A，C 在线段 BD 异侧）中， 6 BAD ， 2 BCD ， 2 3AB ，4AD . （1）求 BD 的长； （2）请从下面的三个问题中任选一个作答： （作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂） 求四边形 ABCD 的面积的取值范围； 求四边形 ABCD 的周长的取值范围； 求四边形 A
8、BCD 的对角线 AC 的长的取值范围. 18.（本题满分 12 分） 据报道， 2019 年全球进行了 102 次航天发射， 发射航天器 492 个.中国以 34 次航天发射蝉联 榜首，美国、俄、俄罗斯分列第二和第三位. 2019 年全球发射的航天器按质量 m（单位：起 kg）可分为六类：类（050m） ， 类 （50200m） ， 类 （200500m） ， 类 （5001000m） ， 类 （1000500m） ，类（5000m） ，其中类航天器仍然保持较高的话跃度，但整体的 发射热度相较 2018 年有所降低，发射败量仍以较大优势排名榜首，总数达到 191 个，占比 下降到 38.8%
9、；而类和类航天器由于低轨宽带星座部署改变，发射卫星数量均实现大幅 增长.根据 2019 年全球发射航天器数量按质量分类得到如图的饼形图： 假设 2021 年全球共计划发射 500 个航天器，且航天器数量按质量分布比例与 2019 年相同. （1）利用该饼状图，估计 2021 年发射的航天器中类，类，类的个数； （2）由（1）的计算，采用分层抽样的方法，从类，类这两类中抽取 6 个航天器.根据 研究需要， 要从该 6 个航天器中随机抽取 2 个航天器作研究， 求这 2 个航天器来自不同类航 天器的概率. 19.（本题满分 12 分） 如图， 棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，
10、 E、 F 分別是校 AB， AD 的中点， G 为棱 1 DD 上的动点. （1）当 G 是 1 DD的中点时，判断直线 1 BC与平面 EFG 的位置关系，并加以证明； （2）若直线 EG 与平面 11 DCC D所成的角为 60 ，求三棱锥CEFG的体积. 20.（本题满分 12 分） 已知曲线 33 2 3 x f xxeaxax，aR. （1）当0a时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2）若函数 yf x有三个极值点，求实数 a 的取值范围. 21.（本题满分 12 分） 设 1 F， 2 F为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、 右焦点， C 的短轴
11、长为 2， 离心率为 3 2 ， 直线: l xmyn交椭圆于点 A，B. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 C 的左右顶点分别为 1 A， 2 A，直线 1 AA， 2 BA的斜率分别是 1 k， 2 k，若 21 2k ， 试问直线 l 是否过定点？并证明你的结论. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1 C的参数方程为 cos , sin . xr yr （02r，a 为参数）以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 2: 4co
12、s2Cp（如图所示）. （1）若2r ，求曲线 1 C的极坐标方程并求曲线 1 C与 2 C交点的直角坐标； （2） 已知曲线 2 C既关于原点对称， 又关于坐标轴对称， 且曲线 1 C与 2 C交于不同的四点 A， B，C，D，求矩形 ABCD 面积的最大值. 23 选修 4-5：不等式选讲（本题满分 10 分） 己知函数 221f xxmx. （1）若2m，求不等式 5f x 的解集； （2） 1 xR， 2 0,x，使得 12 2 4 3f xx x ，求实数 m 的取值范围. 参考答案 一、选择題：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项
13、是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C C B B A C A D B D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 题号 13 14 15 16 答案 2 5 3 1 21n ， 2 ,21 1 ,2 22 n nk n n nk n ， * k N 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解： （1）在ABC中， 6 BAD ，2 3AB ，4AD ， 222 2cos4BDADABAD ABBAD， 2BD （2）由（1）知 222 ABBDAD， 2 A
14、BD ，令CBD，由 2 BCD ， 0, 2 ，则2cosBC，2sinCD. 若选： 11 2sin2cos2 32sin22 3 22 ABCDABDBCD SSS ，0, 2 ， 由0sin21，可知四边形ABCD的面积的取值范围是2 3,12 3 . 若选： 2 32sin2cos42 2sin2 34 4 ABCD CABBCCDDA ， 0, 2 ， 2 sin1 24 ， 62 32 22 34 ABCD C ， 四边形ABCD的周长的取值范围是62 3,2 22 34 . 若选： 222 2cosACABBCAB BCABC 2 124cos22 3 2coscos 2 2
15、8 3sincos4cos12 4 3sin22cos214 2 31 2 13sin2cos2 1313 令 1 sin 13 ， 2 3 cos 13 ，0, 2 ，则 2 2 13sin 214AC， 又0, 2 ， 2 ， 13 sin 21 13 ， 2 122 13 14AC， 2 313 1AC， 四边形ABCD的对角线 AC 的长的取值范围是2 3, 131 . 18.解： （1）由题意知，500 4.4%22，500 8.8%44，500 6.6%33，估计 2021 年发射的航天器中类，类，类的个数分别为 22，44，33. （2）由（1）知抽取的 6 个航天器中类有 2
16、个记作 1 a， 2 a，类有 4 个，记作 1 b， 2 b， 3 b， 4 b，则从该 6 个航天器中随机抽取 2 个航天器作研究，所有基本事件为： 12 a a， 1 1 a b， 1 2 ab， 1 3 ab， 1 4 ab， 2 1 a b， 2 2 a b， 2 3 a b， 2 4 a b， 1 2 bb， 1 3 bb， 1 4 bb， 2 3 b b， 2 4 b b， 3 4 b b共 15 个，记事件 A=“这 2 个航天器来自不同类航天器”，则事件 A 包含 8 个基本事件， 8 15 P A . 19 解： （1）依题意可以判断，直线 1 BC与平面 EFG 平行，
17、连结 1 AD， F，G 分别是 AD， 1 DD的中点， 1 /FG AD， 又 11 /AB DC，且 11 ABDC， 四边形 11 ABC D是平行四边形， 11 /ADBC， 1 /FG BC， 又 1/ BC平面EFG，且FG 平面 EFG， 1/ BC平面EFG. （2）取CD的中点O，连结OE，OG， 由题意可知，OE 平面 11 DCC D， OGE是直线EF与平面 11 DCC D所成的角， 60OGE，在RtOEG中， 22 3 tan603 OG ， 在RtODG中， 2 2 23 31 33 DG ， 2 111133 21 1 21 2 332236 C EFGG
18、CEFCEF VVSDG . 20.解： （1）当0a时， e12eee xxx f xxfxxf， 由 1ef， 故曲线 yf x在1x 处的切线方程为：e2e1yx ， 化简得：2eeyx. （2） 12112ee xx fxxax xxax， 令 e012010 x fxxaxx 或e20 x ax， 由于函数 yf x有三个极值点 1 x， 2 x， 3 x， 所以方程e20 x ax必有两个不同的实根， 设 e2 x g xax，可得 e2 x g xa， 易知0a.即 g x的两个零点必为正数. 令 0e02ln2 x g xaxa， 所以在,ln2xa ， 0g x， g x单调
19、递减； 在ln2 ,xa， 0g x， g x单调递增. 依题意， 要使得函数 e2 x g xax有两个不同的零点 2 x， 3 x， 则 m i n l n20g xga， 于是 ln2 2 ln2022 ln201ln20 2 e e a aaaaaaa . 当 e 2 a 时， 在, 1x ， 0fx， f x单调递减， 在 2 1,xx ，( )0fx， f x单调递增， 在 23 ,xx x， 0fx， f x单调递减， 在 3, xx， 0fx， f x单调递增. 故实数 a 的取值范围是 e , 2 . 21.解： （1）依题意，由22b，得1b， 222 1acb， 又 3
20、2 c a ，即 2 2 3 4 c a ， 2 4a 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. （2）依题意，设点 11 ,A myn y， 22 ,B myn y， 由 22 222 44 4240 xy mymnyn xmyn ， 得 12 2 2 12 2 2 4 4 4 mn yy m n yy m ， 从而， 2 1212 24mny ynyy*， 由 1 1 1 2 AA y k myn ， 2 2 2 2 BA y k myn 21 2kk， 2121 21 211212 2222 22 22222 ymynmymynyy mynmynymynnymyn 2 122 122 2
21、121 12 * 1 422 222 22 222422 nyyn ny mny yn ny mny yn nynyyn ny 将 代入 12212 12112 2222222 222 2222222 nnyynynn yn yn nnnyymynn yn y 2 242 3 nnn， 故直线l过定点 2 ,0 3 . 22.解： （1）2r ， 曲线 1 C的极坐标方程为2， 2 4cos2 13 cos2cos 22 2 ， 当 3 cos 2 时， 1 sin 2 ， 当 3 c o s 2 时， 1 sin 2 ， 分别代入 2cos 2sin x y ， 可得四个交单坐标分别为 62
22、 , 22 ， 62 , 22 ， 62 , 22 ， 62 , 22 . （2）依题意，设,A x y，则由对称性可知，矩形 ABCD 面积4Sxy， 2 44cossin2sin2Sxy ，代入 2 4cos2， 8sin2 cos24sin44S ，“=”当且仅当sin41的时候取到， 故矩形ABCD面积的最大值为 4. 23.解： （1）由 5 511 2 f xxx ， 11 5 1 55 411 24 xx x xxx ， 1111 11 55 112 22 xx x xx ， 11 555 111 244 xx xxxx . 综上所述，原不等式的解集为： 5 5 , 4 4 （2）由 3222323f xxmxm ，xR， 而 4 2 44yx x ，0 x ， 由题意知，234275mmm 或9m， 故实数 m 的取值范围是 , 95, .
