1、二轮大题专练二轮大题专练 47随机变量的分布列（比赛类）随机变量的分布列（比赛类） 1某校高一年级组织“知识竞答”活动每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题 回答正确得 10 分，回答错误得 0 分；第二个问题回答正确得 20 分，回答错误得10 分； 第三个问题回答正确得 30 分，回答错误得20 分规定，每位参赛者回答这三个问题的 总得分不低于 30 分就算闯关成功若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回 答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率； （2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分 的分布列和期望； （3）求这
2、位参赛者闯关成功的概率 解： （1）设事件 Ai这位参赛者回答对第 i 个问题（i1，2，3） ， （2）30，20，0，10，20，30，50，60， ， ， ， ， ， ， ， ， 的分布列为： 30 20 0 10 20 30 50 60 P E（）+10+20+30+50+60 （3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为 2甲、乙两位选手在某次比赛的冠、亚军决赛中相遇，赛制为三局两胜（当一方赢得两局 胜利时，该方获胜，比赛结束） ，比赛每局均分出胜负甲、乙以往进行过多次比赛，若从 中随机抽取 20 局比赛结果作为样本，抽取的 20 局中甲胜 12 局、乙胜 8 局，若将样本频率 视为概
3、率，各局比赛结果相互独立 （1）求甲获得冠军的概率； （2）此次决赛设总奖金 50 万元，若决赛结果为2:0，则冠军奖金为 35 万元，亚军奖金为 15 万元；若决赛结果为2:1，则冠军奖金为 30 万元，亚军奖金为 20 万元求甲参加此次决 赛获得奖金数X的分布列和数学期望 解： （1）用样本频率估计概率可知，每局比赛甲获胜的概率为 123 205 每局比赛乙获胜的概率为 32 1 55 ， 甲获得冠军的概率 12 2 333281 ( ) 5555125 PC （2）由题意知，X的所有可能的取值为 35，30，20，15， 9 (35) 25 P X ， 36 (30) 125 P X ，
4、 12 2 2324 (20)( ) 55125 P XC， 2 24 (15)( ) 525 P X ， X的分布列为： X 35 30 20 15 P 9 25 36 125 24 125 4 25 936244687 ()3530201527.48 251251252525 E X （万元） 3甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、 乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得 3 分；如果只有一个人 投中，则“虎队”得 1 分；如果两人都没投中，则“虎队”得 0 分已知甲每轮投中的概率 是 3 4 ，乙每轮投中的概率是 2 3 ；
5、每轮活动中甲、乙投中与否互不影响各轮结果亦互不影 响 （1）假设“虎队”参加两轮活动，求： “虎队”至少投中 3 个的概率； （2）设“虎队”两轮得分之和为X，求X的分布列； 设“虎队” n轮得分之和为 n X，求 n X的期望值 （参考公式()E XYEXEY 解： （1）设甲、乙在第n轮投中分别记作事件 n A， n B， “虎队”至少投中 3 个记作事件C， 则P（C） 1212121212121212 ()()()()P A A B BP A A B BP A A B BP A A B B 122122 22 332322322 (1) ( )( )(1)( )( ) 44343343
6、3 CC （2）“虎队”两轮得分之和X的可能取值为：0，1，2，3，4，6， 则 22 321 (0)(1)(1) 43144 P X ， 22 333232210 (1)2 (1)(1)(1)(1) 4443433144 P X ， 3232323232 32323225 (2)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1)(1) 4343434343 434343144 P X ， 3 23212 (3)2 (1) (1) 4 343144 P X ， 22 33222360 (4)2 (1) ( )(1) ( ) 443334144 P X ， 22 3236 (6)( )( ) 4314
7、4 P X 故X的分布列如下图所示： X 0 1 2 3 4 6 P 1 144 10 144 25 144 12 144 60 144 36 144 1 X有可能取为 0，1，3， 1 321 (0)(1)(1) 4312 P X ， 1 32325 (1)(1)(1) 434312 P X ， 1 3 26 (3) 4 312 P X ， 1 15623 013 12121212 EX ， 设“虎队” n轮得分之和为 n X，则 n X的期望值 1 23 12 n EXnEXn 4 在某市举办的 “中华文化艺术节” 知识大赛中， 大赛分预赛与复赛两个环节 预赛有 4000 人参赛先从预赛学
8、生中随机抽取 100 人成绩得到如图频率分布直方图： （1） 若从上述样本中预赛成绩不低于 60 分的学生中随机抽取 2 人， 求至少 1 人成绩不低于 80 分的概率； （2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布 2 ( ,)N ， 其中可以近似为 100 名学生的预赛平均成绩， 2 362，试估计全市参加预赛学生中成 绩不低于 91 分的人数； （3）预赛成绩不低于 91 分的学生可以参加复赛复赛规则如下：每人复赛初始分均为 100 分；参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量(1)n n ，每答一题需要扣掉一定分 数来获取答题资格，规定回答第(1k k，2，)n
9、题时扣掉0.2k分；每答对一题加 2 分，答错既不加分也不扣分；答完n题后参赛学生的最后分数即为复赛分数已知学生甲 答对每题的概率为 0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答 题数量n应为多少？ （ 参 考 数 据36219， 若 2 (,)zN ， 则()0 . 6 8 2 6Px， (22 )0.9544Px，(33 )0.9974)Px 解： （1）由题意得样本中成绩不低于 60 分的学生有(0.01250.0075)20 10040人， 其中成绩优良人数为0.007520 10015人， 则至少 1 人成绩不低于 80 分的概率为 2 25 2 40 8 1
10、 13 C P C ； （2）由题意可知平均值100.1300.2500.3700.25900.1553x ， 所以53，又 2 362，则19， 所以 1 (91)(2 )1(22 )0.02275 2 P ZP ZPZ厖剟， 所以估计全市参加预赛学生中成绩不低于 91 分的人数为40000.0227591人； （3）设y为甲答对题数，则( ,0.75)yB n，所以( )0.75E yn， 记甲答完n题所加分数为X，则2Xy，所以()1.5E Xn， 依题意为获取答n题的资格，甲要花掉分数为 2 0.2 (123)0.1 ()nnn ， 记甲答完题分数为( )M n，则 22 ( )100
11、0.1 () 1.50.1(7)104.9M nnnnn， 由于 * nN，所以当7n 时，( )M n取得最大值为 104.9，即成绩的最大值为 104.9 时，道 题量为 7 5第 31 届世界大学生夏季运动会定于 2021 年 8 月 18 日29日在成都举行，成都某机构随 机走访调查 80 天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次，整理数据如表（单位：天）: 打乒乓球 人次 天气状况 0，100 100，200 200，300 晴天 2 13 20 阴天 4 6 10 雨天 6 4 5 雪天 8 2 0 （1） 若用样本频率作为总体概率， 随机调查本市 4天， 设这 4 天中阴天的天数
12、为随机变量X， 求X的分布列和数学期望 （2）假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好” 完成下面的22列联 表，判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关 人次200 人次200 天气好 天气不好 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.10 0.05 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 解： （1）由题意可知随机变量X的可能取值为 0，1，2，3，4 设一天为阴天的概率为P，则 46101 804
13、P ， 故 1 (4, ) 4 XB， 004 4 1381 (0)( )( ) 44256 P XC， 13 4 1327 (1)( ) 4464 P XC， 222 4 1327 (2)( )( ) 44128 P XC， 331 4 133 (3)( )( ) 4464 P XC， 440 4 131 (4)( )( ) 44256 P XC 则X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 故 1 41 4 EX ； （2）由题意可得的22列联表： 人次200 人次200 天气好 25 30 天气不好 20 5 则 2 2 80
14、 (25 530 20) 8.335 55 25 45 35 K 因为8.3356.635， 所以有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关 6有一种击鼓游戏，规则如下：每局游戏有两次机会，每次击鼓要么出现“你真棒“，要 么出现“再努力” ，若击鼓一次出现“你真棒” ，则得 10 分，若出现“再努力” ，则得 20 分设击鼓一次出现“你真棒”的概率为 ，且各次击鼓相互独立 （1）设每局游戏所得的分数为 X，求 X 的分布列； （2）经过多次试玩该游戏，发现玩的局数越多，总分数越少，请你结合概率的知识确定 的取值范围； （3）若击鼓 6 次，求恰有 3 次出现“你真棒”的
15、最大概率 解： （1）X 的所有可能取值为40，10，20 根据题意有：P（X40）， P（X10）， P（X20） X 的分布列为： X 40 10 20 P （1）2 2（1） 2 （2）由（1）知，E（X）40（1）2102（1）+2026040， 由于玩的局数越多，总分数越少，60400，得 ， 又 0， 的取值范围为（0，） ； （3）设 为击鼓 6 次中出现“你真棒”的次数， 则 P（3），01 令 f（）203（1）3，01， 则 f（）602（1）2（12） ，令 f（）0，得 0， 令 f（）0，得1， f（）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减， 当 时，f（）取得最
16、大值，且 f（）， 故恰有 3 次出现“你真棒”的最大概率为 7业余围棋高手甲与专业围棋高手乙进行比赛，为体现比赛的公平性，两人约定，甲胜一 局得 2 分，乙胜一局得 1 分甲获胜的概率为，乙获胜的概率为 （）比赛 3 局后，甲的得分为 X，求 X 的分布列与数学期望； （）比赛若干局后，甲、乙两人的得分之和若为 n 分，得分之和为 n 的概率为 Pn，请 写出概率 Pn，Pn1，Pn2（n3）之间的关系式，并求出 Pn 解： （）由题意知甲获胜得 2 分，获胜的概率为，甲输的概率为， 甲得分 X 的可能取值为 0，2，4，6， P（X0）（）3， P（X2）， P（X4）， P（X6）（）3
17、， X 的分布列为： X 0 2 4 6 P E（X）2 （）甲、乙两人得分之和为 n 时，即得分之和为 n1 后，乙再胜一局，或得分之和为 n2 后，甲再胜一局， ， ， 数列是常数列， P1，P2， P3， 1，P3+1，1， （Pn1） ， Pn，（Pn1） ， 数列Pn是以为首项，为公比的等比数列， Pn（）n 1， Pn 8某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由 1 名男生和 2 名 女生组成比赛中每人投篮 n 次（nN*） ，每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立 的已知女生投篮命中的概率均为，男生投篮命中的概率均为 （1）当 n2 时，求小组共投中 4 次
18、的概率； （2）当 n1 时，若三人都投中小组获得 30 分，投中 2 次小组获得 20 分，投中 1 次小 组获得 10 分，三人都不中，小组减去 60 分，随机变量 X 表示小组总分，求随机变量 X 的分布列及数学期望 解： （1） 男生投中 2 次， 女生投中 2 次的概率为+ 4； 男生投中 1 次，女生投中 3 次的概率为 ； 男生投中 0 次，女生投中 4 次的概率为， 所以共投中 4 次的概率为+ （2）X 的所有可能取值为 30，20，10，60， P（X30）， P（X20）+， P（X10）+， P（X60）， 所以 X 的分布列为 X 30 20 10 60 P 数学期望 E（X）30+20+10+（60）
