1、二轮大题专练二轮大题专练 50随机变量的分布列（独立性检验）随机变量的分布列（独立性检验） 1近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患目前，国际上 常用身体质量指数（英文为 BodyMassIndex，简称 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健 康， 其计算公式是 BMI， 中国成人的 BMI 数值标准为： BMI18.5 为偏瘦；18.5BMI23.9 为正常；24BMI27.9 为偏胖；BMI28 为肥胖某地区随 机调查了 100 名 35 岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算 BMI 数值 （1）根据调查结果制作下面的 22 列联表，并判断能否有 99%的
2、把握认为 35 岁以上成 人肥胖与不经常运动有关？ 肥胖 不肥胖 总计 经常运动员工 40 60 不经常运动员工 24 40 总计 100 参考公式：，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k） 0.25 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001 k 1.323 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的 3 人，不 经常运动人群中的 1 人座谈，记这 4 人中肥胖人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 解： （1）填表如下： 肥胖 不肥胖 总计 经常运动员工 20 40 60 不经
3、常运动员工 24 16 40 总计 44 56 100 所以 K26.926， 因为 6.9266.635，所以有 99%的把握认为肥胖与不经常运动有关 （2） “经常运动且肥胖”的概率为， “经常运动且不肥胖”的概率为， “不经常运动且肥胖”的概率为， “不经常运动且不肥胖”的概率为， X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4， P（X0）（）3， P（X1）（）2+（）3， P（X2）（）2+（）2， P（X3）（）3+（）2， P（X4）（）3， 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 则数学期望为 E（X）0+1+2+3+4 2随着人们生活水平的提高和对健康生活的重视
4、，越来越多的人加入到了健身运动中某 健身房从参与健身的会员中随机抽取了 100 人， 对其每周参与健身的天数和 2020 年在该 健身房的消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表和统计图： 平均每周健身天数 不大于 2 3 或 4 不小于 5 男性会员人数 20 35 10 女性会员人数 10 20 5 若某人平均每周健身天数不小于 5，则称其为“健身达人” 该健身房规定年消费金额不 超过 1600 元的为普通会员，超过 1600 元但不超过 3200 元的为银牌会员，超过 3200 元 的为金牌会员 （1）已知金牌会员都是“健身达人” ，现从这 100 位会员里的“健身达人”中随机抽取
5、2 人，求他们都是金牌会员的概率； （2）根据所给数据，完成下面的 22 列联表： 男性会员 女性会员 是“健身达人” 不是“健身达人” 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关？ （3）该健身机构在 2020 年年底针对这 100 位会员举办一次消费返利活动，每位会员均 可参与摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有 5 张形状大小完全一样的卡片，其中 3 张印跑步机图案、2 张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张若摸到 动感单车的总次数为 1，则获得 50 元奖励；若摸到动感单车的总次数为 2，则获得 100 元奖励；若摸到动感单车的总次
6、数为 3，则获得 200 元奖励，其他情况不予奖励规定每 个普通会员只能参加 1 次摸奖游戏，每个银牌会员可参加 2 次摸奖游戏，每个金牌会员 可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立） 试估计在此次消费返利活动中该健身机 构的总支出 附：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.500 0.250 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 0.455 1.323 2.706 3.841 6.636 7.879 解： （1）设事件 A 表示从这 100 位会员里的“健身达人”中随机抽取 2 人都是金牌会员， 则 （2）根据题意： 男性会员 女性会员 是“健身达人” 10 5
7、 不是“健身达人” 55 30 ， 故不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关系 （3）设一次摸奖所获得的奖励额为 X，则 X 的所有可能取值为 0，50，100，200， 且， ， 故一次摸奖获得的奖励额的期望值为 ， 故总支出约为（28+602+123）63.218463.211628.8 元 3为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽 样调查随机地抽取了 200 名成年人，然后对这 200 人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占 2 5 这 200 人所得的分数都分布在30，100范围内，规定分数在 80 以上（含80)
8、的为“具 有很强安全意识” ，所得分数的频率分布直方图如图 （1）补全下面的22列联表，并判断能否有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥 有驾驶证”有关？ 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 不具有很强安全意识 总计 200 （2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取 3 人，记“具有很强安 全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望 附临界值表： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 0 ()P K 卥 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.
9、072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解： （1）200 人中拥有驾驶证的占 2 5 ，有 80 人，没有驾驶证的有 120 人， 由题意知(0.0040.0080.0200.0280.0200.004) 101a， 解得0.016a 所以具有很强安全意识的人有200 (0.0160.004) 1040人， 不具有很强安全意识的有 160 人 补全22列联表如下： 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 18 40 不具有很强安全意识 58 102 160 总计 80 120 200 计算得 2 2 200 (22 102 18 58)
10、75 4.6883.841 40 80 160 12016 K ， 有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关 （2）由频率分布直方图中数据可知， 抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为 1 5 ， 所以X的所有可能取值为 0，1，2，3 则 3 464 (0)( ) 5125 P X ， 12 3 1448 (1)( ) 55125 P XC， 22 3 1412 (2)( ) 55125 P XC， 3 11 (3)( ) 5125 P X 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 故 64481213 ()01
11、23 1251251251255 E X 4为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取 50 名学生，对学习成绩和使用 手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）: 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 学习成绩一般 总计 30 50 （1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与 使用手机有关； （2） 现从如表 不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9 人， 再从这 9 人中 随机抽取 3 人，记这 3 人中“学习成绩优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望 参考公式： 2 2 () ()()()() n adb
12、c K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 解： （1）完成列联表如下： 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 25 学习成绩一般 15 10 25 总计 20 30 50 22 2 ()50(5 1020 15) 0.053310.828 ()()()()20302525 n adbc K ab cd ac bd ， 没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）现从如表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9 人， 则从学习成
13、绩优秀中抽取 20 96 30 人，从学习成绩一般中抽取 10 93 30 人， 再从这 9 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中“学习成绩优秀”的人数为X， 则X的可能取值为 0，1，2，3， 3 3 3 9 1 (0) 84 C P X C ， 12 63 3 9 18 (1) 84 C C P X C ， 21 63 3 9 45 (2) 84 C C P X C ， 3 6 3 9 20 (3) 84 C P X C ， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 84 18 84 45 84 20 84 数学期望 1184520 ()01232 84848484 E X 5教育部官方
14、数据显示，2020 届大学毕业生达到 844 万，根据相关调查，位于大城市的应 届毕业生毕业后，有30%会留在该城市进行就业，于是租房便成为这些毕业生的首选为 了了解应届毕业生房租支出的费用， 研究人员对部分毕业生进行相关调查， 所得数据如图所 示 （1）求m的值以及房租支出的平均值x； （2）为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素，研究人员作出调查，所得数据如表所示， 判断是否有99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性 以距离上班地点的远近作为主要考虑因 素 以房租的高低作为主要考虑因素 男生 500 300 女生 300 400 （3）由频率分布直方图，可近似地认为A城
15、市应届毕业生房租支出服从正态分布(N， 2 3.2 )，若 2020 年该市区的应急毕业生共有 100 万人，试根据本题信息估计毕业后留在该市 且房租支出介于 8.6 百元到 21.4 百元之间的毕业生人数 附：参考公式： 2 2 () ()()()() adbc K ab cd ac bd 参考数据： 2 ()P K 卥 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 ()0.6827PX，(22 )0.9544PX， (33 )0.9973PX 解： （1）依题意，(0.01250.050.03750.0125)41m，解得0.1375
16、m ； 故(0.0125 40.05 80.1375 120.0375 160.0125 20)411.8x ； （2）在本次实验中， 2 K的观测值 2 0 1500 (500 400300 300) 57.87610.828 800 800 700 700 k， 故有99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性； （3）依题意，毕业后留在该市的应届毕业生人数为10000000.3300000人， 0.68270.9973 (8602140)(3 )0.84 2 PxPx ， 故所求人数为3000000.84252000 6智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技
17、术为媒介实现师生之间、生 生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式为了进一 步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查， 统计数据如表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村 40 城市 60 总计 100 60 160 从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 1 4 （1）补全22列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明 理由； （2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取 6 个学校进行 分析， 然后再从这 6 个学校中随机抽取 2 个学校所在的地
18、域进行核实， 记其中农村学校有X 个，求X的分布列和数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 2 0 ()P K 卥 0.1 0.050 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解： （1）22列联表， 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村 40 40 80 城市 60 20 80 总计 100 60 160 （2 分） 22 2 ()160(20404060)32 10.6677.879 ()()()()10060 80 803 n adbc K ab cd a
19、c bd （4 分） 所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关 （6 分） （2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2:1，所以抽取的 6 个样本有 4 个是农村学校，2 个是城市学校， 从中抽取 2 个，则X的可能取值为 0，1，2 （7 分） 02 42 2 6 1 (0) 15 C C P X C ， 11 42 2 6 8 (1) 15 C C P X C ， 2 4 2 6 0 2 2 (2) 5 C C P X C 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 1 15 8 15 2 5 （10 分） X的数学期望 1824 ()012 151553
20、E X （12 分） 7某学校共有 1000 名学生，其中男生 400 人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取 分层抽样随机抽取了 100 名学生进行调查，月消费金额分布在 450950 之间根据调查 的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示： 将月消费金额不低于 750 元的学生称为“高消费群” （）求 a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表） ； （）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在550，650） ，750，850）内的两组学生 中抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名学生中属于“高消费群
21、” 的学生人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望； （）若样本中属于“高消费群”的女生有 10 人，完成下列 22 列联表，并判断是否 有 97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？ 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男 女 合计 （参考公式：，其中 na+b+c+d） P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解： （）由题意知 100（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）1，解得 a0.0035
22、， 样本平均数为 5000.15+6000.35+7000.25+8000.15+9000.10670 元 （）由题意，从550，650）中抽取 7 人，从750，850）中抽取 3 人， 随机变量 X 的所有可能取值有 0，1，2，3 P（Xk）（k0，1，2，3）所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 随机变量 X 的数学期望 E（X）+2+3 （）由题可知，样本中男生 40 人，女生 60 人属于“高消费群”的 25 人，其中女生 10 人；得出以下 22 列联表： 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计 25 75 100 5.024， 所以有 97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关
