1、二轮大题专练二轮大题专练 45随机变量的分布列（二项分布随机变量的分布列（二项分布 2） 12019 年 9 月 1 日央视开学第一课播出后，社会各界反响强烈，全国人民爱国主义热 情空前高涨，在新中国成立 70 周年前夕，上演了一次小高潮某兴趣小组为了了解某校 学生对开学第一课的喜欢程度，从该校随机抽取了 100 名学生对该节目进行打分， 并把相关的统计结果记录如表： 喜欢程 度 不喜欢 喜欢 非常喜欢 分数段 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频数 1 9 18 32 40 以喜欢程度位于各区间的频率代替喜欢程度位于该区间的概率 （1）试估计这 100 名
2、学生对节目打分的中位数和平均数； （2）为了感谢学生对该次调查统计的支持，兴趣小组决定从全校随机抽取 3 名学生进行 奖励，X 表示所抽取的学生中来自“非常喜欢”的人数，求 X 的分布列和数学期望 解： （1）0.01+0.09+0.180.5，0.01+0.09+0.18+0.320.5， 中位数 x80，90） ， 由 0.01+0.09+0.18+（x80）0.5，解得 x86.875， 故中位数为 86.875； 由 55+6585.1， 得平均数为 85.1； （2）从该校随机抽取 1 名学生，该学生对节目喜欢程度为“非常喜欢”的概率为 X 的可能取值为 0，1，2，3， 则 P（X
3、0）， P（X1）， P（X2）， P（X3） X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X）0 22020 年初，新冠肺炎袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北外疫情最严重的省 份之一，截止 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例） （1）为了了解新冠肺炎的相关特征，研究人员统计了他们的年龄数据，可以大致认为， 该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N（54.8，15.22） ，请估计该省新冠肺炎患者年 龄在 70 岁以上的患者比例； （2） 截至 2 月 29 日， 该省新冠肺炎的密切接触者 （均已接受检测） 中确诊患者约占 10%， 以这些密切接触
4、者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是 否确诊相互独立，现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n（n 可以取 2，4，5，10）个人一组平均分组，并将同组 n 个人 每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n 个人抽取的另一 半血液逐一化验，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少 的 n 的值 参考数据：若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9973.0.940.66，0.950.59，0.9100.35
5、 解： （1）P（54.815.2X54.8+15.2）P（39.6X70）0.6826 P（Z70）0.158715.87% 所以该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（70）的患者比例为 15.87% （2）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为， n 的可能取值为 2，4，5，10且 XnB（n，） 对于某组 n 个人，化验次数 Y 的可能取值为 1，n+1 P（Y1），P（Yn+1）1 所以 E（Y）1+（n+1）1n+1n， 则 20 人的化验总次数为 f（n）n+1n201+， 经计算 f（2）13.8，f（4）11.8，f（5）12.2，f（10）15 所以，当 n4 时符
6、合题意，即按 4 人一组检测，可是化验总次数最少 3 某学校为了了解同学们现阶段的视力情况， 对全校高三 1000 名学生的视力情况进行了调 查，从中随机抽取了 100 名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图： 前 50 名 后 50 名 近视 42 32 不近视 8 18 （1）求 a 的值，并估计这 1000 名学生视力的中位数（精确到 0.01） ； （2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前 50 名与后 50 名的学 生进行了调查，得到如上图表格数据：根据表中数据，能否有 95%把握认为视力与学习 成绩有关？ （3）若报考某高校某专业的资格为：视力不低于 5.0，
7、以该样本数据来估计全市高三学 生的视力， 现从全市视力在 4.8 以上的同学中随机抽取 4 名同学， 这 4 名同学中有资格报 该校该专业的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 P（K2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 其中 解： （1）由频率分布直方图的性质得： （0.25+0.5+2a+1+1.75）0.21， 解得 a0.75 视力在 4.4 以下的频率为： （0.5+0.75）0.20.25， 视力在 4.6 以下的频率为： （0.5+0.75+1.75）0.20.6， 中位数在 4.4 至
8、4.6 之间，设中位数为 x， 则（x4.4）1.750.50.25，解得 x4.54， 中位数为 4.54 （2）K25.23.841， 有 95%把握认为视力与学习成绩有关 （3）视力在 4.8 以上的同学中，视力在 5.0 以上的同学所占有比例为： ， 从全市视力在 4.8 以上的同学中随机抽取 4 名同学， 这 4 名同学中有资格报该校专业的人数 XB（4，） ， P（X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）， P（X4）（）4， X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P E（X）41 42019 年“非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周 期
9、的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如 图所示） （1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生 猪重量达不到 270 斤的概率（以频率代替概率） ； （2） 若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为 5000 头， 生猪市场价格是 8 元/斤， 试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元； （3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到 270 斤及以上的生猪数为 随机变量 Y，试求随机变量 Y 的分布列及方差 解：（1） 估计生猪重量达不到 270 斤的概率为 （0.0005+0.002） 40+0.00530
10、0.25 （2）生猪重量的平均数为 1800.02+2200.08+2600.2+3000.32+3400.24+380 0.1+4200.04305.6（斤） 所以估计该企业本养殖周期的销售收入是 305.6850001222.4（万元） （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到 270 斤及以上的概率为， 由题意可得随机变量 Y 的所有可能取值为 0，1，2，则 YB（2，） ， ， ， ， 随机变量 Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 随机变量 Y 的方差 5某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如
11、下人数分布表 购买金额 （元） 0，15） 15，30） 30，45） 45，60） 60，75） 75，90 人数 10 15 20 15 20 10 （1）根据以上数据完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 40 女 18 合计 （2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于 60 元可抽奖 3 次，每次 中奖概率为 p（每次抽奖互不影响，且 p 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的 频率） ，中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 10 元，中奖 3 次减 15 元若游客甲计划
12、购买 80 元的土特产，请列出实际付款数 X（元）的分布列并求其数学期望 附：参考公式和数据： 附表： k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 解： （1）22 列联表如下： 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 12 40 52 女 18 20 38 合计 30 60 90 K， 因此有 95%的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关； （2）由题意可得 X 的所有可能取值为 65，70，75，80， 且 p，由题意随机变量 X 服从二项分布 XB（3，） ， 则 P（X65）C
13、，P（X70）C， P（X75）C，P（X80）C， 所有 X 的分布列如下： X 65 70 75 80 P 期望 E（X）65 6中国提出共建“一带一路” ，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一 路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元 件、农产品丰富着海外市场为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产 品的一个系统G有 3 个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为 2 3 ，且每个电子 元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常 工作，否则就需要维修，且维修所需费用为 900 元
14、 （1）求系统需要维修的概率； （2）该电子产品共由 3 个系统G组成，设为电子产品所需要维修的费用，求的期望； （3）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元 件， 每个新元件正常工作的概率为p， 且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作， 则G 可以正常工作问：p满足什么条件时可以提高整个系统G的正常工作概率？ 解： （1）该电子产品的一个系统G有 3 个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率 为 2 3 ， 且每个电子元件能否正常工作相互独立， 系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修， 系统需要维修的概率为： 0312
15、 33 12 17 ( )( )( ) 33327 PCC （2）设X为需要维修的系统的个数，则 1 (3, ) 3 XB，且900X， 的期望 1 ( )900 ()9003900 3 EE X （元) （3）当系统G有 5 个元件时，原来 3 个电子元件中至少有 1 个元件正常工作，G系统正常 才正常工作， 若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为 1222 13 2 12 ( )( ) 339 PCpp， 若前 3 个电子元件中有 2 个正常工作，同时新增的两个至少有 1 个正常工作， 则概率为： 22122 232 214 ( ) ( )(1)
16、(2) 339 PCCppppp， 若前 3 个电子元件都正常工作，则不管新增的两个是否正常工作，系统G均能正常工作， 则概率为： 2 3 28 ( ) 327 P ， 新增两个元件后系统G能正常一作的概率为： 222 248288 (2) 99279927 Pppppp ， 由 2 2882 99273 pp， 由01p剟，得 621 1 3 p ， 621 1 3 p 时可以提高整个系统G的正常工作概率 7随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步 的步数某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽 取了 2000 人，统计了他们手
17、机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健 步的步数均在 3 千步至 21 千步之间） 将样本数据分成3，5） ，5，7）7，9） ，9，11） ， 11，13） ，13，15） ，15，17） ，17，19） ，19，21九组，绘制成如图所示的频率分布 直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布 （1）求图中 a 的值； （2）设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布 N（，2） ， 其中 近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算） ，取3.64，若该企业恰 有 10 万人正常上班的员工， 试估计这些员工中日健步步数 Z 位于区间4.88， 15.8范围
18、内 的人数； （3）现从该企业员工中随机抽取 20 人，其中有 k 名员工的日健步步数在 13 千步至 15 千步内的概率为 P（Xk） ，其中 k0，1，2，20，当 P（Xk）最大时，求 k 的值 参考数据：若随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（+）0.6827， P（2+2）0.9545，P（3+3）0.9973 解： （1）由 0.022+0.032+0.052+0.052+0.152+a2+0.052+0.042+0.012 1， 解得 a0.1， （2）40.04+60.04+80.1+100.1+120.3+140.2+160.1+180.08+200.02 12.16 P（4.88Z15.8）P（2+）0.8186， 1000000.818681860， 估计这些员中日健步步数 Z 位于区间4.88，15.8范围内的人数约为 81860 人 （2）设从该企业中随机抽取 20 人日健步步数在 13 千步至 15 千步内的员工有 X 人，则 XB（20，0.2） ， P（Xk）C20k0.2k0.820 k，k0，1，2，20， 记 f（k）， 当 f（k）1 时，k4.2，则 P（Xk1）P（Xk） 当 f（k）1 时，k4.2，则 P（Xk1）P（Xk） ， 所以当 k4 时，P（Xk）最大
