1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 （大纲卷） 理 科数学 (必修选修 )答案解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 C 【解析】 1 3 i ( 1 3 i ) (1 i ) 2 4 i 1 2 i1 i (1 i ) (1 i ) 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选答案 C 【提示】 把 1 3i1i? 的分子分母都乘以分母的共轭复数，得 ( 1 3i)(1 i)(1 i)(1 i)? ? ?，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果 【考点】复数 2.【答案】 B 【解析】 A B A? ， BA? ， 1,3, Am? ， 1,
2、 Bm? ， mA? ，故 mm? 或 3m? ，解得 0m? ， 或 3m? ， 或 1m? ，又根据集合元素的互异性 1m? ，所以 0m? 或 3m? 故选答案 B 【提示】 由题设条件中本题可先由条件 A B A? 得出 BA? ，由此判断出参数 m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项 【考点】集合 3.【答案】 C 【解析】因为 2 4 2cc? ? ? ，由一条准线方程为 4x? 可得该椭圆的焦点在 x 轴上且 2 24 4 8a acc ? ? ? ?，所以 2 2 2 8 4 4b a c? ? ? ? ? 故选答案 C 【提示】 确定椭圆的焦点在 x 轴上，根据焦
3、距为 4，一条准线为 4x? ，求出几何量，即可求得椭圆的方程 【考点】椭圆的标准方程和简单几何性质 4.【答案】 D 【解析】因为底面的边长为 2，高为 22，且连接 AC ， BD ，得到交点为 O ，连接 EO ， 1EO AC ，则点 1C 到平面 BED 的距离等于 C 到平面 BED 的距离，过点 C 作 CH OE? ，则 CH 即为所求，在三角形 OCE中，利用等面积法，可得 1CH? 【 ;百万教育资源文库 】 故选答案 D 【提示】 先利用线面平行的判定定理证明直线 1C A BDE 平 面 ，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可 【考点】线面距离 5
4、.【答案】 A 【解析】由 nS ， 5 5a? ， 5 15S? 可得： 1 1145 154 15 1 52 nad a andad? ? ? ? ? ? ?， ? ?11 1 1 111nna a n n n n? ? ? ?100 1 1 1 1 1 1 1 0 0112 2 3 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【提示】 由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求 1a ， d ，进而可求 na ， 代入可得 ? ?11 1 1 111nna a n n n n? ?
5、? ?，裂项可求和 【考点】等差数列 6.【答案】 D 【解析】由 0ab? 可得 90ACB ?，故 5AB? ，用等面积法求得 255CD?，所以 455AD?，故? ?4 4 4 45 5 5 5A D A B C B C A a b? ? ? ? ?， 故选答案 D 【提示】 由题意可得， CA CB? ， CD AB? ，由射影定理可得， 2AC AD AB? 可求 AD ，进而可求 ADAB ， 从而可求 AD 与 AB 的关系，进而可求 【考点】向量 7.【答案】 A 【解析】 3sin cos3?，两边平方可得 121 s in 2 s in 233? ? ? ? ?，（步骤
6、1） ? 是第二象限角，因此 sin 0? ， cos 0? ， 2 2 1 5c o s s i n (c o s s i n ) 1 33? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，22 5c o s 2 c o s s i n ( c o s s i n ) ( c o s s i n ) 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（步骤 2） 【提示】 由 ? 为第二象限角，可知 sin 0? ， cos 0? ，从而可求得 15cos sin3? ? ?，利用【 ;百万教育资源文库 】 c o s 2 ( c o s s i n ) ( c o s s i n )?
7、 ? ? ? ? ? ? ?可求得 co2? 【考点】三角函数 8.【答案】 C 【解析】由题意可知， 2ab?， 2c? ， (步骤 1) 设 1 2PF x? ， 2PF x? ，则 12 2 2 2P F P F x a? ? ? ?，故 1 42PF ， 2 22PF ? ， 124FF? ， (步骤 2) 利用余弦定理可得 2 2 2 2 2 21 2 1 2112 2( 4 2 ) ( 2 2 ) 4 3| 242 2 22 42PP F P F F FPFFF PFP? ? ? (步骤 3) 【提示】 根据双曲线的定义，结合 122|PF PF? ，利用余弦定理，即可求 12co
8、s FPF? 的值 【考点】双曲线 9.【答案】 D 【解析】 lnlne=1 ，55 1log 2 log 5 2?， 12 1 1 1e2e4z ? ? ? ?，故选答案 D 【提示】 利用 lnlne=1 ，5 10 log 2 2?， 12 11e2z ? ? ?，即可得到答案 【考点】对数函数 10.【答案】 A 【解析】因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求而 2( ) 3 3 3 ( 1 ) ( 1 )f x x x x? ? ? ? ? ?，当 1x? 时取得极值 由 ( ) 0fx? 或 ( 1) 0f ? 可得 2
9、0c?或 20c? ，即 2c? 【提示】 求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数 3 3y x x c?的图像与 x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于 0 或极小值等于 0，由此可求 c 的值 【考点】函数图像的判断，利用导数求函数的极值 11.【答案】 A 【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有 3 种，再填写右上角的数为 2 种，在填写第二行第一列的数有 2 种，一共有 3 2 2 12? ? ? 【提示】 由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比更简洁 【考点】排列 ， 组合的应用 12.【答案】 B 【解析】结合已知中的点 E ， F 的位置，推理可知
10、，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系作图，可以得到回到 EA 点时，需要碰撞 14 次即可 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可 【考点】反射原理 ， 三角形相似 第 卷 二 、 填空题 13.【答案】 1? 【解析】利用不等式组，做出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点 (3,0) 时，目标函数最大，当目标函数过点 (0,1) 时最小为 1? 【提示】 做出不等式组表示的平面区域，由 3z x y?可得 3y x z?，则 z? 表示直线 30x y z? ? ? 在 y 轴上的截距，截距越大 z
11、越小，结合图形可求 【考点】二元线性规划求目标函数的最值 14.【答案】 56 【解析】由 s in 3 c o s 2 s in3y x x x? ? ? ?，（步骤 1） 由 5 02 3 3 3xx? ? ? ? ? ? ?可知 2 2 sin 23x? ? ? ?，（步骤 2） 当且仅当 332x? 即 116x? 时取得最小值， 32x? 时即 56x? 取得最大值 【提示】 利用辅助角公式将 sin 3cosy x x? 化为 2sin3yx?， (0 2)x? ，即可求得 sin 3cosy x x? ，(0 2)x? 取得最大值时 x 的值 【考点】三角函数的定义域 ， 值域，
12、两角差的正弦 15.【答案】 56 【解析】根据已知条件可知 26C C 2 6 8nn n? ? ? ? ?，（步骤 1） 所以 81xx?的展开式的通项为 8218CrrrTx? ? ，令 8 2 2 5rr? ? ? ? ? 所以所求系数为 58C 56? （步骤 2） 【提示】 根据第 2 项与第 7 项的系数相等建立等式，求出 n 的值，根据通项可求满足条件的系数 【考点】二项式定理 16.【答案】 66【 ;百万教育资源文库 】 【解析】设该三棱柱的边长为 1，依题意有 11AB AB AA?， 11BC AC AA AB? ? ?， 则 2 2221 1 1 1( ) 2 2 2
13、 c o s 6 0 3A B A B A A A B A B A A A A ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 221 1 1 1 1( ) 2 2 2 2B C A C A A A B A C A A A B A C A A A C A B A A A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而 1 1 1 1( ) ( )A B B C A B A A A C A A A B? ? ? ? 1 1 1 1 1A B A C A B A A A B A B A A A C A A A A A A A B? ? ? ? ? ? 1 1 1 11 1 12 2 2 2? ? ? ?
14、? ? ? 11111116c o s , 623A B B CA B B C A B B C? ? ? ? 【提示】 先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线 1AB 与 1BC 所成角的余弦值即可 【考点】异面直线所成的角，向量的数量积运算 三、解答题 17.【答案】 6C? 【解析】由 ()A B C B A C? ? ? ? ? ? ?，（步骤 1） 由正弦定理及 2ac? 可得 sin 2sinAC? 所以 c o s ( ) c o s c o s ( ) c o s ( ) c o s ( ) c
15、 o s ( )A C B A C A C A C A C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n s i n 2 s i n s i nA C A C A C A C A C? ? ? ? ?（步骤 2） 故由 cos( ) cos 1A C B? ? ?与 sin 2sinAC? 可得 22 s in s in 1 4 s in 1A C C? ? ?（步骤 3） 而 C 为三角形的内角且 2a c c?，故 0 2C?，所以 1sin 2C? ，故 6C? （步骤 4） 【提示】 由 c o s ( )
16、 c o s c o s ( ) c o s ( ) 1A C B A C A C? ? ? ? ? ? ?，可得 2sin sin 1AC? ，由 2ac? 及正弦定理可得sin 2sinAC? ，联立可求 C 【考点】正弦定理 ， 两角和与差的余弦，诱导公式 18.【答案】 （ ）证明见解析 （ ） 6 【解析】 设 AC BD O? ，以 O 为原点， OC 为 x 轴， OD 为 y 轴建立空间直角坐标系， 则 ( 2,0,0)A? ， ( 2,0,0)C ， ( 2,0,2)P? ，设 (0, ,0)Ba? ， (0, ,0)Da， ( , , )Exyz 【 ;百万教育资源文库 】
17、 （ ） 证明：由 2PE EC? 得 22,0,33E?，（步骤 1） 所以 ? ?2 2,0, 2PC ?， 22,33BE a?， (0,2 ,0)BD a? ，所以 22( 2 2 , 0 , 2 ) , , 033P C B E a? ? ?，( 2 2 , 0 , 2 ) ( 0 , 2 , 0 ) 0P C B D a? ? ? 所以 PC BE? ， PC BD? ，所以 PC? 平面 BED ；（步骤 2） （ ）设平面 PAB 的法向量为 ( , , )n x y z? ，又 (0,0,2)AP? ， ( 2, ,0)AB a?，由 0nAP? ， =0nAB 得21, ,
18、0n a?，（步骤 3） 设平面 PBC 的法向量为 ( , , )m x y z? ，又 ( 2, ,0)BC a? ， ( 2 2,0,2)CP ? ，由 0mBC? 0mCP? ，得21, , 2m a?， 由于二面角 A PB C?为 90? ，所以 0mn? ，解得 2a? 所以 ( 2, 2, 2)PD ?，平面 PBC 的法向量为 (1, 1, 2)m? ，（步骤 4） 所以 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 12PDmPD m ?，所以 PD 与平面 PBC 所成角为 6 （步骤 5） 【提示】 （ ）先由已知建立空间直角坐标系，设 ( 2, ,0)Db，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明 PC BE? ， PC DE? ，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可； （ ）先求平面 PAB 的法向量，再求平面 PBC 的
