1、第四讲 枚举法 1.1.计数问题分为两个大类:计数问题分为两个大类: 2.2.枚举需要按照一定的顺序和一定的规律来进行分类,这样可以做到不重复和不遗漏。 3.3.枚举法的根本思想在于分类, 通过分类可以将原本复杂的问题拆分成若干个比较简单的问 题,然后再逐一进行分析。分类的思想可以化繁为简,化复杂为简单。 4.4.可以利用“树形图”来方便的记录枚举的过程,有几类问题就分出几个分枝,逐层按照 顺序不断分叉再一一筛选,留下符合条件的,去掉不符合条件的。注意在枚举“不计次序” 的问题时,只需考虑从小到大(或从大到小)排列的分枝,而不用理会其他情况。 5.5.计次序:计次序: 6.6.不计次序:不计次
2、序: 1.理解“枚举法”的含义。 2.能在题目中熟练运用枚举法解题。 例例 1 1:小明和小红玩掷骰子的游戏,共有两枚骰子,一起掷出。若两枚骰子的点数和为小明和小红玩掷骰子的游戏,共有两枚骰子,一起掷出。若两枚骰子的点数和为 7 7, 则小明胜;若点数和为则小明胜;若点数和为 8 8,则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。,则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。 例例 2 2:数一数,右图中有多少个三角形。数一数,右图中有多少个三角形。 例例 3:3:在算盘上,用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数?在算盘上,用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数? 例例 4 4 有一只无盖立方体纸箱,将
3、它沿棱剪开成平面展开图。那么,共有多少种不同的展开有一只无盖立方体纸箱,将它沿棱剪开成平面展开图。那么,共有多少种不同的展开 图?图? 例例 5 5:小明的暑假作业有语文、算术、外语三门,他准备每天做一门,且相邻两天不做同一小明的暑假作业有语文、算术、外语三门,他准备每天做一门,且相邻两天不做同一 门。如果小明第一天做语文,第五天也做语文,那么,这五天作业他共有多少种不同的安门。如果小明第一天做语文,第五天也做语文,那么,这五天作业他共有多少种不同的安 排?排? 例例 6 6:一次数学课堂练习有一次数学课堂练习有 3 3 道题,老师先写出一个,然后每隔道题,老师先写出一个,然后每隔 5 5 分
4、钟又写出一个。规定:分钟又写出一个。规定: (1 1)每个学生在老师写出一个新题时,如果原有题还没有做完,那么必须立即停下来转做)每个学生在老师写出一个新题时,如果原有题还没有做完,那么必须立即停下来转做 新题; (新题; (2 2)做完一道题时,如果老师没有写出新题,那么就转做前面相邻未解出的题。解)做完一道题时,如果老师没有写出新题,那么就转做前面相邻未解出的题。解 完各题的不同顺序共有多少种可能?完各题的不同顺序共有多少种可能? 例例 7 7:是否存在自然数是否存在自然数 n n,使得,使得 n n 2 2 n n2 2 能被能被 3 3 整除?整除? A A 1.A、B、C、D、E、F
5、 六支球队进行单循环赛,当比赛进行到某一天时,统计出 A、B、C、D、 E 五队已分别比赛了 5、4、3、2、1 场,由此可知,还没有与 B 队比赛的球队是( ) A. C 队 B. D 队 C. E 队 D. F 队 2写自然数 1、2、3、1000,一共写了个 0( ) A. 90 B. 171 C. 189 D. 192 3.已知 x,y 都有整数,且 xy=6,那么适合等式的解共有8组 4.将 6 拆成两个或两个以上的自然数之和,共有多少种不同拆法? 5.小明有 10 块糖,如果每天至少吃 3 块,吃完为止,那么共有多少种不同的吃法? B B 6.用五个 12 的小矩形纸片覆盖右图的
6、25 的大矩形,共有多少种不同盖法? 7.15 个球分成数量不同的四堆,数量最多的一堆至少有多少个球? 8.数数右图中共有多少个三角形? 9.甲、乙比赛乒乓球,五局三胜。已知甲胜了第一盘,并最终获胜。问:各盘的胜负情况有 多少种可能? 10.经理有 4 封信先后交给打字员,要求打字员总是先打最近接到的信,比如打完第 3 封信 时第4封信还未到, 此时如果第2封信还未打完, 那么就应先打第2封信而不能打第1封信。 打字员打完这 4 封信的先后顺序有多少种可能? C C 11.从 150 这 50 个自然数中选取两个数字, 使它们的和大于 50, 共有多少种不同的取法? 12.从 150 这 50
7、 个自然数中选取两个数字,使它们的和不大于 50,共有多少种不同的取 法 13.求证:若整数 n 不是 5 的倍数,则 n 2也不是 5 的倍数。 14.除以 4 余 1 的两位数共有几个? 15.今有一角币 1 张、贰角币 1 张、伍角币 1 张、一元币 4 张、五元币 2 张。这些纸币任意 付款,可以付出多少种不同数额的款? 1.由若干个小正方体堆成大正方体,其表面涂成红色,在所有小正方体中,三面被涂红的有 a 个,两面被涂红的有 b 个,一面被涂红的有 c 个。那么啊 a,b,c 三个数中( ) A. a 最大 B. b 最大 C. c 最大 D.哪个最大与小正方体的个数有关 2.10
8、块蛋糕分给甲、乙两人,每人至少 1 块,求一共有多少种不同的分法? 3.10 块蛋糕分成两堆,求一共有多少种不同的分法? 4.1,2,3,4 四个数字组成一个没有重复数字的四位数 abcd,若 ac,cd,求一共有 多少种方法? 5.把4位数x先四舍五入到十位, 所得之数再四舍五入到百位, 所得之数再四舍五入到千位, 恰好得到 2000,则 x 的最小值和最大值是多少? 1.从 1,2,3,4 四个数中选取 3 个数组成一个没有重复数字的 3 位数,求一共有多少种方 法? 2.有甲、乙、丙三个工厂一共要定 300 份报纸,每个工厂最少定 99 份,最多定 101 份,求 一共有多少种订报纸的方
9、法? 3.从 1,2,3,4 四个数中选取 3 个不同的数字组成一组,求一共有多少种方法? 4.将 300 拆成三个整数的和, 并且每个整数不小于 99, 不大于 101, 求一共有多少种方法? 5.从 18 中取出 3 个不同的数字使得 3 个数字的和等于 11,一共有多少种取法? 6.一共有 6 件相同的礼物分给甲、乙、丙、丁四个小朋友,每个人至少分一件,求一共有 多少种分法? 7.一共有 6 件相同的礼物分成 4 份,求一共有多少种分法? 8.妈妈买来 7 个鸡蛋,每天至少吃 2 个,吃完为止,一共有多少种不同的吃法? 9.妈妈买来 7 个鸡蛋,将它们分成若干份,一共有多少种不同的分法? 10.从两个 1,两个 2,1 个 3 中选出 3 个数字组成 3 位数,那么一共可以组成多少个不同的 3 位数