1、第二十一讲 数论综合 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较 多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除数论内容包括：整数的整除 性，同余性，同余, ,奇数与偶数奇数与偶数, ,质数与合数质数与合数, ,约数与倍数约数与倍数, ,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比整数的分解与分拆等。作为一个理论性比 较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜较强的专题，数论在各种杯赛中都会
2、占不小的比重，而且数论还和数字谜, ,不定方程等内容不定方程等内容 有着密切的联系有着密切的联系, ,其重要性是不言而喻的。其重要性是不言而喻的。 基本公式基本公式 1.1.已知已知b|c,a|c,b|c,a|c,则则a,b|c,a,b|c,特别地特别地，若若(a,b)=1,(a,b)=1,则有则有ab|cab|c。 2.2.已知已知c|abc|ab，(b,c)=1,(b,c)=1,则则c|ac|a。 3.3.唯一分解定理：任何一个大于唯一分解定理：任何一个大于1 1的自然数的自然数n n都可以写成质数的连乘积，即都可以写成质数的连乘积，即 n= pn= p1 1 1 a p p2 2 2 a
3、 .p.pk k k a （#)#) 其中其中p p1 1pp2 2.p.pk k为质数，为质数，a a1 1,a,a2 2,.a,.ak k为自然数，并且这种表示是唯一的。为自然数，并且这种表示是唯一的。 该式称为该式称为n n的质因子分解式。的质因子分解式。 4.4.约数个数定理：设自然数约数个数定理：设自然数n n的质因子分解式如（的质因子分解式如（# #） 那么那么n n的约数个数为的约数个数为d(n)=(ad(n)=(a1 1+1)(a+1)(a2 2+1).(a+1).(ak k+1)+1) 所有约数和：（所有约数和：（1+P1+P1 1+P+P1 1 2 + +p p1 1 1
4、a ）（）（1+P1+P2 2+P+P2 2 2 + +p p2 2 2 a ）（）（1+P1+Pk k+P+Pk k 2 + +p pk k k a ） 5.5.用用a,ba,b表示表示a a和和b b的最小公倍数，的最小公倍数， (a,b)(a,b)表示表示a a和和b b的最大公约数， 那么有的最大公约数， 那么有ab=a,b(a,b)ab=a,b(a,b)。 6.6.自然数是否能被自然数是否能被3 3，4 4，2525，8 8，125125，5 5，7,97,9，1111，1313等数整除的判别方法。等数整除的判别方法。 7.7.平方数的总结：平方数的总结： 平方差：平方差：A A 2
5、 - -B B 2 = =（A+BA+B）（）（A A- -B B），其中我们还得注意），其中我们还得注意A+BA+B， A A- -B B同奇偶性。同奇偶性。 约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3 3的是质数的平方。的是质数的平方。 质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。 立方和立方和：A A 3 3+ +B B3 3=(A+B)(A =(A+B)(A 2 2- -AB+B AB+B 2 2) )。 。 8.8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化
6、。十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。 9.9.周期性数字：周期性数字：abab=ababab=ab101101 1.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。 2.牢记基本公式，并在解题中灵活运用公式。 例例1:1:将将4 4个不同的数字排在一起，可以组成个不同的数字排在一起，可以组成2424个不同的四位数（个不同的四位数（4 43 32 21=241=24）。将这）。将这2424 个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5 5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是的倍数；按从大到小排列的话
7、，第二个是 不能被不能被4 4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在30003000- -40004000之间。请求出之间。请求出 这这2424个四位数中最大的一个。个四位数中最大的一个。 例例2 2：一个一个5 5位数，它的各个位数字和为位数，它的各个位数字和为4343，且能被，且能被1111整除，求所有满足条件的整除，求所有满足条件的5 5位数？位数？ 例例 3 3：由由 1，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？整除的最大的数是多少？ 例例4 4：从一
8、张长从一张长20022002毫米，宽毫米，宽847847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形， 如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按 照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？ 例例5 5：一根木棍长：一根木棍长100100米，现从左往右每米，现从左往右每6 6米画一根标记线，从右往左每米画一根标记线，从右往左每5 5米作一根标记线，米作一根
9、标记线， 请问所有的标记线中有多少根距离相差请问所有的标记线中有多少根距离相差4 4米？米？ 例例 6 6：某住宅区有某住宅区有 12 家住户，他们的门牌号分别是家住户，他们的门牌号分别是 1，2，,12.他们的电话号码依次是他们的电话号码依次是 12 个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码 的首位数字都小于的首位数字都小于 6，并且门牌号是，并且门牌号是 9 的这一家的电话号码也能被的这一家的电话号码也能被 13 整除，问：这一家的整除，问：这一家的 电话号码是什么数？电话号
10、码是什么数？ A A 1一个六位数 2356是 88 的倍数,这个数除以 88 所得的商是_或_. 2下面一个 1983 位数 333444 中间漏写了一个数字(方框),已知这 991 个 991 个 个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是_. 3只修改 21475 的某一位数字,就可知使修改后的数能被 225 整除,怎样修改？ 42 2，3 3，5 5，7 7，1111，都是质数，也就是说每个数只以 1 和它本身为约数.已知一个长方形 的长和宽都是质数个单位,并且周长是 36 个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单 位? 5.把 7、14、20、21、28、30 分成两组，每三个
11、数相乘，使两组数的乘积相等. B B 6 有这样的两位数,它的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大 1 的数,它的两个数 字之和也能被 4 整除.所有这样的两位数的和是_. 7.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分 法? 8.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如 下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的 两瓶内有多少油? 9 一个小于 200 的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自 然数是_. 10试问,能否将
12、由 1 至 100 这 100 个自然数排列在圆周上,使得在任何 5 个相连的数中,都 至少有两个数可被 3 整除？如果回答： “可以” ，则只要举出一种排法；如果回答： “不能” ， 则需给出说明. C 11.一个学校参加兴趣活动的学生不到 100 人，其中男同学人数超过总数的 4/7 ，女同学的 人数超过总数的 2/5 。问男女生各多少人？ 12.2005684375最后4位都是0,请问里最小是几? 13.03 年 101 中学招生人数是一个平方数，04 年由于信息发布及时，04 年的招生人数比 03 年多了 101 人，也是一个平方数，问 04 年的招生人数？ 14.1、2、3、4200
13、8 这 2008 个数的最小公倍数等与多少个 2 与一个奇数的积？ 15.有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说： “这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这 个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同 学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉 你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程） 1.有_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每 个数字都能整除它本身。 2.如果在一个两位数的两个数字之间
14、添写一个零， 那么所得的三位数是原来的数的 9 倍， 问 这个两位数是。 3. 21 1 + 2121 202 + 21212121 13131313 212121 505 =。 4. 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲甲=乙+乙=丙135那么甲最小 是_。 5.下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 1在 1100 这 100 个自然数中，所有不能被 9 整除的数的和是多少？ 2某班学生不超过 60 人，在一次数学测验中，分数不低于 90 分的人数占 7 1 ，得 8089 分的人数占 2 1 ，得 7079 分得人数占 3 1 ，那么得
15、70 分以下的有_人。 3自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样 的自然数有_个。 4.三个自然数， 其中每一个数都不能被另外两个数整除， 而其中任意两个数的乘积却能被第 三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？ 5.五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方） ， 这样一组数中的最大数的最小值是多少？ 6.一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个是多少？ 7.从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同 学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右 1 至 1l 报数，报到 11 的同学留下， 其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_ 8.有 1997 个奇数，它们的和等于它们的乘积其中只有三个数不是 l，而是三个不同的质 数那么，这样的三个质数可以是、 、
