1、第十二讲 数字谜与数阵图 所谓的数字谜问题是指在某种算式或者图形中， 含有一些用空格、 文字或字母等符号表 示的待定数字，要求填上合适的数字，使算式或者图形成立的一类问题。 此类问题的知识基础就是根据运算的法则，加、减、乘、除的互逆关系及适当地运用有 关整数性质的知识加以推理。 常用的基本技巧：常用的基本技巧： （1）分析算式中隐含的数量关系及数的性质，选择有特征的部分作为突破口。 例如：两数相乘，如果知道积的尾数就可以列出两个乘数个位数的各种可能情况。如： 积的尾数是 5，其中一个乘数是 5，那么另一个乘数的尾数一定为奇数 1、3、5、7、9。若 积的尾数是偶数，那么两乘数中至少有一个为偶数
2、。此外在乘法算式中，不仅积是由被乘数 和乘数决定的，反过来，积的位数也限定了被乘数的乘数的大小。 （2）在确定所求的数字时，可采取试验法，为了减少试验的次数，常借助估值的方法，对 某些数位上的数字进行合理地估计，逐步排除一些取值的可能，缩小所求数字的取值范围， 经过很少的几次试验，得到准确的答案。 解决这一类题常常要通过观察、判断、推理、尝试（凑）等手段来处理。关键在于确定 从何处着手，即找到突破口。 例例 1:1:将 2、3、4、5、6、8、11、12 这 8 个数填在图 1 的中，使它们组成图 1 中的 4 个等 式。 分析：分析： 这里有 8 个数字需要填入 8 个空格中，用多次试验的办
3、法，虽然最终一定能找出答案， 但很费时间。能不能开动脑筋，想出好办法，以减少试验的次数呢？题中有 4 个等式，含有 4 种运算，对于加、减运算，可填的情况很多，所以应先考虑乘、除运算。先将 8 个位置用 字母标识出来。c 既是 a 与 b 的乘积，作为被除数，它又是 e 与 h 的乘积。因此 c 应为可以 写成两种不同乘积形式的数。只有 12 符合条件，因为：12=34=26，所以：a、b、e、h 为 3、4、2、6，剩下的三个数为 11、5、8。f 既为被减数，又是和，则 f 为最大的 11，d、 g 为 5、8。可以先确定 d、g 的值，再写出 a、b、e、h 的值。由 d=5，g=8 或
4、 d=8，g=5，得 到两种情况。 答案：答案： 点评：点评： 得到 c 的值后，不要急于确定 a、b、e、h 的值，虽然经过有限的几次尝试可以得到正 确答案，但很容易丢掉一个解。应该开阔你的视野，注意到还有条件没被用到。所以第二步 应确定 f。 例例 2:2:将 111 填入图 2 内，使相邻两个或三个数字组成的横竖斜行的和为 14。 分析：分析： 如图 3：假设以字母 ak 代表数字 111（不考虑顺序） 。此题的突破口在于 b，在求和 时，它被用了两次。 因为：a+b+k=1+2+11=66， 又由题意可知：a+b+d=14，c+b=14，i+j+k=14， e+f=14，g+h=14，
5、将+得： 所以：b=70-66=4，则 c=14-4=10，a+d=10，在剩下的数中寻找和为 10 的两个数，有三 种情况，1+9=10，2+8=10，3+7=10。第一种：先确定 a=1，d=9，剩下的数：2、3、5、6、7、 8、11；其中和为 14 的两个数为 11+3=14，8+6=14；剩下的三个数 2、5、7 即为 i、j、k。 第二种： 先确定 a=2， d=8， 剩下的数： 1、 3、 5、 6、 7、 9、 11， 其中和为 14 的两个数为 11+3=14， 5+9=14；那么 i、j、k 的值为 1、7、6。第三种，确定 a=3，b=7，剩下的数：1、2、5、6、 8、
6、9、11，其中和为 14 的两个数为 9+5=14，6+8=14，那么 i、j、k 的值为 1、2、11。答案 见图 4。 点评：点评： 此题的难点有两个，首先在于确定 b 的值，从其位置的特殊性，不难确定 b 为突破口， 其次在于确定 a、d 的值时，要找出所有可能的情况，才不至于丢解。而有些同学易犯只找 到一个答案就结束思考，没有考虑到多解的情况。 例例 3:3:9137=100 2172=把“+、-、”分别填在适当的圆圈中（运算符号只 能用一次） ，并在方框中填上适当的整数，使上面的两个等式成立。 分析：分析： 由于第二个算式没有结果，填法很不确定，因此只能先从第一个等式入手。等式右边是
7、 100，比 9、13、7 大得多，因此可以确定不能填入“-”和“” ，只能填“+”和“” ，若 组成 913 与 7 构不成 100，因此填 9137=100， “+”和“”号已被用过，在第二个式 子中只有“-” 、 “”可填；题意要求在方框中填整数，很容易看出 7 不能被 2 整除，所以 除号只能填在 21 与 7 之间，而 7 与 2 之间填减号。 答案：答案： 点评：点评： 此题目解题的切入点在第一个算式， 添符号的过程中要时刻注意等号左右两边的大小的 对比，有方向的尝试。 70514 66 bkba 例例 4:4:由 1，2，3，9 组成如下算式，已给出四个数字，请补上其他数字。 分
8、析：分析： 先把未知数用字母表示出来。 剩下的 5 个数字为：3、4、5、7、8 因为 b-e=1，b=e+1，且 e9，则 e、b 是两个连续的自然数。剩下的数中没有差为 9 的 两个数，则一定是 10+a-d=9，由此可以确定 c=6-2-1（ “1”是被十位借走的） ，则 c=3。还 剩下的数为 4，5，7，8，b-e=1，可能是 8-7=1 或 5-4=1。 答案：答案： 点评：点评： 此题是减法题，就涉及到从上一位退“1”再减的情况。若是加法，还有可能出现向上 一位进“1”的情况。 例例 5:5:把下面的算式补充完整。 分析：分析： 从乘数的十位数字入手，考虑 9 与被乘数的乘积。由
9、于第二行乘积的个位是 7，被乘数 的个位只能是 3。第二行乘积的十位是 1，而且是进“2”后（由于 39=27） ，为“1” ，则 实际应为（11-2）=9，那么被乘数的十位只能是 1，被乘数的千位 3 与 9 的乘积为 27，而第 二行乘积所示结果为 30，说明从百位与 9 的乘积中进“3” ，那么被乘数与 9 的积必为 36， 被乘数百位是 4。第一行乘积的个位是 1，是被乘数个位 3 与乘数个位的积，那么乘数的个 位一定为 7。 答案：答案： 点评：点评： 由乘积的结果去反推乘数、被乘数的数值，要从个位做起，得到一个数值后，又可以将 它作为“已知数” ，求得各行乘积。 例例 6:6:把下
10、面除法算式中缺少的数字补上。 分析：分析： 这是一道可以整除的算式。由于整除，可知：即 l=6，被除数的前三位是 ， 除以， 商只能是 1， 所以 a=1， 那么 d=3， h=7， j=8-7=1。 第一余数除以， 商只能为 2， 那么 b=2。 g=m=q=bd=23=6， bc=6， 则 c=3。 除数为 733， 商为 12， f=l+3=6+3=9， i=c=3，k=4，e=i+k=3+4=7。 答案：答案： qnpjklm6 ef8 cd7mk6137c 14667332jklm 点评：点评： 将被除数和除数从整体上考虑，每得到一个未知数的值，就将它也考虑到已知条件内， 一步一步求
11、解出答案。 A A 1.在内填入适当的数字，使下列加法竖式成立： 答案：1438+7204=8642 2.在内填入适当的数字，使下列加法竖式成立： 答案：838+9384=10222 3.在图中空格里填入适当的数字，使竖式成立 答案： 981+959=1940；169+130=299 4.在图 6-11 的方框内填入适当数字，使减法竖式成立 8 8 2 + 2 2 8 答案：2909-1798=1111 5.补齐下边的算式。 答案：10237-9656=581 B B 6.如图是一个加减混合运算的竖式，在空格内填入适当数字使竖式成立 答案：91+999=1090-995=95 7.在如图所示的
12、算式里， 4 张小纸片各盖住了一个数字 那么被盖住的 4 个数字总和是多少？ 答案：14+9=23 8.+=1492，方块内所填数字的总和最大为多少？ 答案：所填数字和尽量大，则应尽量进位。个位两数字和为 12，十位两数字和为 18，百 位两数字和为 13。所以最大为 12181343 9. +=，相同符号代表相同数字，不同符号代表不同数字，请问算式的和为 多少？ 答案：118 2 7 3 6 6 8 - 10.用 1 至 9 这 9 个数字可以组成一个五位数和一个四位数， 使得两数之差是 54321， 请将图 6-14 中的空格补充完整 答案：58692-4371=54321 C C 11.
13、在下面的式子中添入括号（大、中、小括号都可） ，使计算出来的结果最大： （1） （17-2-5）（3+10）-2-4 最大的结果是 124。 （2） （1+2）（3+4）（5-4）3-（2-1） 最大的结果是 42。 12.在下面的数之间添上适当的运算符号或括号，使等式成立。 9+9 +（9 + 9）9 = 20 1 （2+3 -4）= 1 1 - 2 +3 +4 -5 = 1 1 （2 + 3） 4 5 = 100 13.在下面错误的式子里加上括号，使其正确 5 + 78 + 124 -2 = 20 5 + 78 + 124 -2 = 102 5 + 78 + 124 -2 = 25 5 +
14、 78 + 124 -2 = 120 14.在下面算式中合适的地方添上运算符号，使算式成立。 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000（只添 “+”号） 分析：不使用（） ，运算顺序只能从左往右，先、后、；运算符号不超过三次，就 会得到一些多位数。首先选一个多位数尽可能接近 1000，可选 999，10009991，后面 6 个 9 要得到“1”，就很简单了 999999，问题可求解；还可以用另一种方法接近 1000， 999991111，11111000111，后面 9999 想办法等于 111，9999111，问题也可解 出。 答案：9999999991000 999999999100
15、0 说明：先靠近所求数，再进行适当调整，这是一种非常行之有效的方法，在数字比 较多时常常用到。当然此题还有其它方法，同学们 可以用上面的思路再试一试。 15.在下面算式中合适的地方添上运算符号，使算式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 答案：123456789 = 100 1.将 16 填入图中，使得横线上的三个数字之和与竖线上的四个数字之和相等，那么“*” 可能等于多少？ 答案：1，3，5 。 1-6 的和 21 与*号项的和应该是 2 的倍数，所以可以为 1，3，5 2、将自然数 1 至 7 填入图中的“”中，使得每条直线上的三个数之和以及两个圆圈上三 个数之和都相同。
16、 答案：中心数 4，余下的几组数和为 8：3+5，2+6，1+7 选择符合条件的填入图中。 3、将 112 填入右边的图中，使得每条直线上的 4 个数字的和都相等，其中有一些数字已 经填好。 答案：从正三角形的两个腰上的数入手和为：15 和 17，剩余的数为 4，9，11，12 选择差 2 的两个数填入空格中，同理倒过来看。 填入的数分别为：4，12，11，9 4、将 19 全部填入图中，除了正方形四个角上填入同一个数字，其余 8 个圆圈填入互不 相同的数字， 使得每条直线上的 4 个数之和以及大圆上的 4 个数之和都相等， 那么这个和是 多少？ 答案：20； 每条直线上的 4 个数之和以及大
17、圆上的 4 个数之和都相等； 正方形四个角上填入同一个数字 所以一行中除去两头的两个的和与两头数之和应该是相等的，每一条直线都是这样共有 4 组分析 1-9 这九个数，他们应该是 1+9，2+8，3+7，4+6，最后剩下的 5 即为大圆上面的数， 所以和为 20。 5、将 110 分别填入右边的图中，使得每个小三角形 3 个顶点上的数字之和为图中所表示 的数值。 答案： 中间五个数被用了2次， 1-10的和是55， 顶点数字之和为71， 71-55=16， 1+2+3+4+5=15， 所以说明中心 5 个数应该是 1，2，3，4，6 10=5+4+1，13=9+1+3，12=7+3+2，16=
18、8+2+6，20=10+6+4 1将 19 这几个数字填入下面的空格中，使每个算式都成立。 答案： 某数与 84 相乘积一定为偶数， 因此被除数为偶数， 且末位数字为除了 8、 4 以外的偶数， 可为 2 或 6。若为 2，则商必为 3，那么有：25284=3， “2”出现两次，不合题意。那么末 位数字一定为 6，则商为 9，那么有：75684=9，还剩下 l、2、3，易得 3=l+2。 所以 2在图 5 的每一个空格中分别填上 1、2、3、4、5、7、8、15，使八个数正好即组成 四个算式。 答案： 还是应先考虑乘、除算式，八个数中仅含有乘法算式 248 和 35=15，由于在减法 算式中，
19、 “积”作被减数， “被除数”作了差，则“积”是最大数 15，那么可确定乘法算式 为 35=15，除法算式为 84=2（或 824） ，减法为：157=8 由于仅剩 1，可确定加法 算式为 1+2=3（或 1+4=5） 。 3老师在黑板上写出这样的算式：5+78+12+44=23，同学们都说： “错了” ，能否 在等式的左边适当的地方添上括号，使等式成立呢？ 答案： 观察等式左、右两边，右边结果为 23，远小于左边 78 所得的结果，因此必须设法使 这个积缩小一定的倍数，使之变小。从整体来看，78、12、4 都是 4 的倍数，因此它们的 和被 4 除后仍为整数，因此添括号得到 78、12、4
20、的和，再除以 4 得 18，18+5=23。 所以，结果为 5+（78+12+4）4=23。 4左边算式里四个小纸片各盖住了一个数字，问被盖住的四个数字的和是多少？ 答案： 由于和的个位数字是 9，那么两个加数的个位数字的和一定是 9，不存在进位的情况， 984756 213 因为两个个位数字求和，最大为 18，即 9+918，而不会为 19。因为 14 是加数中两个十位 数字的和，则被盖住的四个数字的和是 14+923。 5将数字 0、1、3、4、5、6 填入下面的内，使等式成立，每个空格只填入一个数字， 并且所填的数字不能重复。=2= 答案： 积的个位为 2，而所给数字中两两乘积结果中本位
21、数字为 2 的只有 34=12，则可确定 1、3、4 的位置。所给数字中有 0，它不能做除数，也不能在首位，一定是被除数的个位数 字。剩下的是 6，5。后一个等式一定为 605=12。 3 4 =1 2=60 5 6将 19 填入下面的方格中，使等式成立。每空只填入一个数字，所填数字不重复。 = 答案： 题目中是两个等号连接三个除法算式，那么它们的商相等。商也一定为 19 中的数。逐 一假定商数，排除不可能的结果。首先商不可能为 1。若商为 2、3、5，则重复出现了数字 2、3；若商为 4、6、8，则被除数中有重复数字 2、4、6 出现。因此商可能为 7 或 9。经常 试得结果：213=497=568 和 819=273=546。 7一个六位数的末位数字是 2，如果把 2 移到头一位数，而其他五位数字不动，原数 就是这个新数的 3 倍，求原六位数。 答案： 这个六位数的末位数字是 2，可把前五位数字设成字母 A，把这个六位数表示成， 则新数可记为。那么，。 由题意知，则有 10A+2=3（200000+A） ，10A+2=600000+3A，7 A=599998，那么 7A=6000002，则 A=85714，原数为 857142。 2A A2 2102AAAA 2000002 AA232
