1、第十三讲 分数裂项与分拆 1. “裂差裂差”型运算型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分 为分数裂项和整数裂项， 常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。 遇 到裂项的计算题时， 要仔细的观察每项的分子和分母， 找出每项分子分母之间具有的相同的 关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的 话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 对于分母可以写作两个因数乘积的分数， 即 1 ab 形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即ab，那么有 1111 () abba ab 对于分母上为 3
2、 个或 4 个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111 ()(2 )2()()(2 )nnknkk nnknk nk 1111 ()(2 )(3 )3()(2 )()(2 )(3 )nnknknkk nnknknknknk 对于分子不是 1 的情况我们有： knnknn k11 )( 11hh n nkknnk 211 22 k n nknkn nknknk 311 23223 k n nknknkn nknknknknk 11 222 hh n nknkkn nknknk 11 233223 hh n nknknkkn nknknknknk 2 2111 1 21212 2121 n nnn
3、n 2. 裂差型裂项的三大关键特征：裂差型裂项的三大关键特征： 分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的， 但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” 分母上几个因数间的差是一个定值。 3.复杂复杂整数裂项整数裂项型运算型运算 复杂整数裂项特点： 从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘， 再把所有的乘积相加。 其巧解方法是： 先把算式中最后一项向后延续一个数， 再把算式中最前面一项向前伸展一个 数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。 整数裂项口诀：等差
4、数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差 数除以 N。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于 0 时，可以取负数，当然是积为负 数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果 再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 4. “裂和裂和”型运算型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 11abab abababba 2222 ababab abababba 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂
5、和型运算的题目不仅有“两两抵消” 型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 1.复杂整数裂项的特点及灵活运用 2.分子隐蔽的裂和型运算。 例例 1 1： 11111 1 2 3 42 3 4 53 4 5 667 8 97 8 9 10 【解解析析】 原式 1111111 31 2323423434578 98 9 10 111 31 238 9 10 119 2160 例例 2 2：计算：计算： 5719 1 2323 48 9 10 【解解析析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不 相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2相比
6、较于 2，4，6，这一公差为 2 的等差 数列(该数列的第n个数恰好为n的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，所以 可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和再进行计算 原式 32343 16 1 2323 48 9 10 111128 32 1 232348 9 101 232348 9 10 1111111111 32 21 22323348 99 1023349 10 311111111 2 21 29 102334910 31111 2 2290210 711 4605 23 15 也可以直接进行通项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n ，所以
7、 2323 121212 n nnnnnnnn ，再将每一项的 2 12nn 与 3 12nnn 分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相 同 例例 3 3： 12349 22 32 3 42 3 4 52 3 410 【解解析析】 原式 12349 22 32 3 42 3 4 52 3 410 213 141101 22 32 3 42 3 410 1111111 1 222 32 32 3 42 3 492 3 49 10 13628799 1 23 49 103628800 例例 4 4： 1111 11212312100 【解解析析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分
8、数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简 单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公 式的代入有 112 (1 1) 1 11 2 2 ， 112 (12)2 122 3 2 ， 原式 2222120099 2(1)1 1 22 33 4100 101101101101 例例 5 5： 222222 111111 31517191111131 . . 【解解析析】 这题是利用平方差公式进行裂项： 22 () ()ababab， 原式 111111 ()()()()()() 24466 88 1010 1212 14 1111111111111 () 244
9、668810101212142 1113 () 214214 例例 6 6： 111 319992 111111 1(1)(1)(1)(1)(1) 223231999 【解解析析】 11 211 11 2() 1112 (1)(2)12 (1)(1)(1) 2312 nn n nnnn n 原式 11111111 ()()()()2 23344519992000 1000 999 1000 1 1 A A 1. 333 . 1 2 3 42 3 4 517 18 1920 【解解析析】 原式 1111111 3 (.) 31 2 32 3 42 3 43 4 517 18 1918 1920
10、113 192011139 1 2 318 192018 19206840 2.2.计算：计算： 571719 1155 2 3 43 4 58 9 109 10 11 （） 【解解析析】 本题的重点在于计算括号内的算式： 571719 2 3 43 4 58 9 109 10 11 这个 算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相 同、或分子是分母的差或和的情况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的 形式 观察可知523，734，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719 2 3 43 4 58 9 109 10 11 2
11、334910 23 43 459 10 11 111111 342445351 01 191 1 111111 3 44510 11243 59 11 11111111111111111 344510112243546810911 1111111 3112210311 8128 332533 31 55 所以原式 31 1155651 55 3.3.计算：计算： 34512 1 24 52 3 5 63 46710 11 13 14 【解解析析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以 先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即： 原式 2222
12、34512 1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 710 11 12 13 14 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性， 可以用平方差公式： 2 31 54 ， 2 42 64， 2 53 74 【解解析析】 原式 2222 34512 1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 710 11 12 13 14 1 542643 7410 144 1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6710 11 12 13 14 1111 23434545611 12 13 4444 1 2345234563456710 11
13、12 13 14 1111111 22334344511 1212 13 111111 1 23423452345345610 11 12 1311 12 13 14 11111 22312 131 23411 12 13 14 1111 122 12 132411 12 13 14 1771 811 12 13 14 11 82 11 14 1175 8308616 4. 23450 1 (12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350) 【解解析析】 原式 2 1 3 3 36 4 6 10 5 10 15 50 1225 1275 （ 1 1 1 3 ）（ 1
14、3 1 6 ）（ 1 6 1 10 ）（ 1 1225 1 1275 ） 1274 1275 5. 234100 1 (12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100) 【解解析析】 211 1 (12)112 ， 311 (12)(123)12123 ， 10011 (1299)(12100)129912100 ，所以 原式 1 1 12100 15049 1 50505050 6. 2310 1 112(12)(123)(1239)(12310) （） 【解解析析】 原式 23410 1() 1 33 66 1045 55 1111111 11 3366104555
15、 1 11 55 1 55 B B 7.7.计算：计算： 22222222 35715 12233478 【解解析析】 原式 22222222 22222222 21324387 12233478 2222222 1111111 1 2233478 2 1 1 8 63 64 8.8.计算：计算： 22222 22222 3151711993119951 3151711993119951 【解解析析】 原式 22222 22222 11111 3151711993119951 222 997 24461994 1996 111111 997 244619941996 11 997 21996
16、997 9971996 9.9.计算：计算： 2222 12350 1 33 55 799 101 【解解析析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变 为 2 21， 2 41， 2 61， 2 1001，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分子 的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了 原式 2222 2222 1246100 42141611001 2222 11111 1111 42141611001 11111 50 41 33 55799 101 111111111 501 4233557
17、99101 111 501 42101 150 50 4101 63 12101 10. 2244668 810 10 1 33 557799 11 【解解析析】 （法 1） ：可先找通项 2 22 11 11 11(1)(1) n n a nnnn 原式 11111 (1)(1)(1)(1)(1) 1 33 55 7799 11 1155 5(1)55 2111111 （法 2） ：原式 288181832325050 (2)()()()() 3355779911 61014185065 21045 3579111111 11.11.计算：计算： 111 1 12123122007 【解解析
18、析】 先找通项公式 1211 2() 12(1)1 n a nnnnn 原式 111 1 2(21)3 (3 1)2007(20071) 222 2222 1 22 33 420072008 2007 2 2008 2007 1004 12. 1111 33535735721 【解解析析】 先找通项： 111 1 35212 213 2 n a nn n nn ， 原式 111111 1 3243 5469 1110 12 111111 1 33 59 11244610 12 111111 21112212 175 264 C C 13. 12123123412350 2232342350 【
19、解解析析】 找通项 (1) (1) 2 (1) (1)2 1 2 n nn nn a nn nn 原式 2 33 44 55 62 33 44 55 6 41018281 42 53 647 ， 通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有 原式 2 33 44 55 6484949 5050 51 1 42 53 647475048 5149 52 35023 2 15226 14.14. 2222222222222 3333333333333 11212312341226 11212312341226 【解解析析】 222 22333 (1)(21) 1222
20、1211 6 () (1)123(1)31 4 n nnn nn a nnnnnnn 原式= 211111111 ()()()() 31223342627 = 2152 (1) 32781 15. 222 111 111 2131991 【解解析析】 22 22 1(1)(1) 1 (1)1(1)1(2) n nn a nnnn 原式 223 398 9899 99 (21)(21)(3 1)(3 1)(981)(98 1)(991)(991) 223 3445 598 9899 9929949 1 3 1425 36499 97100 98110050 16.16.计算：计算： 222 22
21、2 2399 2131991 【解解析析】 通项公式： 22 11 1 11 12 n nn a nnn n ， 原式 22334498989999 (21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991) 223 3445 598 9899 99 3 1425 36499 97100 98 22334498989999 132435979998100 29999 110050 17.17.计算：计算： 222 222 1299 11005000220050009999005000 【解解析析】 本 题 的 通 项 公 式 为 2 2 1005000 n nn
22、， 没 办 法 进 行 裂 项 之 类 的 处 理 注 意 到 分 母 2 100500050001005000100100100nnnnnn ， 可以看出如果 把n换成100n的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下 一个 2 2 50 5050005000 将项数和为 100 的两项相加，得 22 2 22 2222 100100220010000 2 100500010050001005000 100100 1005000 nnnnnn nnnnnn nn ， 所以原式249199 （或者，可得原式中 99 项的平均数为 1，所以原式1 9999 ） 1. 2
23、22222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 1 24 【解解析析】 虽然很容易看出 32 1 3 1 2 1 ， 54 1 5 1 4 1 可是再仔细一看，并没有什么效果，因 为这不象分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到 公式 ，于是我们又有 ) 12() 1( 6 321 1 2222 nnnn 减号前面括号里的 式子有 10 项，减号后面括号里的式子也恰好有 10 项，是不是“一个对一个”呢？ 222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 1 24 211110 1 532 1 321 1 6
24、2120 1 54 1 32 1 24 212220 1 564 1 342 1 24 2120 1 54 1 32 1 24 212220 1 2120 1 564 1 54 1 342 1 32 1 24 2220 1 64 1 42 1 24 1110 1 32 1 21 1 6 11 1 16 11 60 2.计算：计算： 33333333 13579111315 【解析】【解析】 原式 333333333 123414152414 2 2 333 15151 8127 4 22 57600 278 4 8128 3.1 3243 59 11 【解析】【解析】 原式 2 1 2 13
25、1 3 110 1 10 1 222 222 2222 2131101 23109 1231010 10 11 21 10375 6 4.4.计算：计算：1 2 32 3 43 4 58 9 10 【解析】【解析】 原式 2222 221331441991 3333 23492349 2 123912349 2 45451980 5.5.计算：计算： 23456 111111 1 333333 【解析】【解析】 法一：利用等比数列求和公式。 原式 7 1 11 3 1 1 3 7 13264 11 32729 法二：错位相减法 设 23456 111111 1 333333 S 则 2345
26、11111 33 1 33333 S ， 6 1 33 3 SS，整理可得 364 1729S 法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与公比 4 差 1， 所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的 分子变得也都与公比差 1由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最后 再将所得的结果除以 2 即得到原式的值由题设， 23456 222222 22 333333 S ，则运用 “借来还去”的方法可得到 6 1 23 3 S ，整理得到 364 1729S 1.1.计算：计算： 22222
27、222 (246100 )(13599 ) 12391098321 【解析】【解析】 原式 22222222 2 (21 )(43 )(65 )(10099 ) 10 (21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099) 100 12349910050501 50 1001002 2.2. 2 314159263141592531415927_； 22 123487662468 8766_ 【解析】【解析】 观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设31415926a ， 原式 222 1111aaaaa 原式 22 1234
28、87662 1234 8766 2 2 1234876610000100000000 3.3.计算：计算： 2222222 1234200520062007 【解析】【解析】 原式 2222222 2007200654321 (20072006) (20072006)(20052004) (20052004)(32) (32)1 2007200620052004321 1 2007120072015028 2 4.4.计算：计算： 2222222222 1223344520002001 1 22 33 44 520002001 【解析】【解析】 原式 2222222222 1223344520
29、002001 12122323343445452000200120002001 1223344520002001 2132435420012000 2132435199920012000 ()() 1223344200020002001 2000 20002000 222224000 20012001 个2相加 5，20078.5 8.51.5 1.5101600.3 【解析】【解析】 原式20078.51.58.51.5101600.3 2007108.51.5101600.3 200771600.312.50.312.2 6.计算：计算：53 574743 【解析】【解析】 本题可以直接将
30、两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果 原式 552552452452 2222 552452 22 5545554555451000 7.计算：计算：11 1912 1813 1714 16 【解析】【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式 原式 22222222 154153152151 22222 1541234 90030870 其中 2222 1234可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 222 1 121 21 6 nn nn进行计算 8.8.计算：计算：1 992 983 9749 51 【解析】【解析】 观察发现式子中每相
31、乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式 原式 504950495048504850 150 1 222222 50495048501 2222 50491249 2222 50491249 2 1 5049495099 6 2 50494925 33 49 2510033 4925 67 82075 9.看规律看规律 32 11， 332 123， 3332 1236，试求，试求 33.3 6714 原式 33.333.3 1214125 22 1231412345 22 10515105 15 105 1590 12010800 10.10.计算：计算： 1111111111 (1)(
32、)(1)() 2424624624 【解析】【解析】 令 111 1 246 a， 111 246 b，则： 原式 11 ()() 66 abab 11 66 abbaba 1 () 6 ab 11 1 66 11. 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 【解析】【解析】 设 111 234 a ，则原式化简为： 111 1(1 555 aaaa( + )( +)-+)= 12. 1111111111111111 11213141213141511121314151213141 【解析】【解析】 设 1111 11213141 a， 111 2131
33、41 b， 原式 11 5151 abab 11 5151 abaabb 1 () 51 ab 111 5111561 13.13. 1111111111111111 ()() 5791179111357911137911 （）（ 【解析】【解析】 设 1111 57911 A， 111 7911 B， 原式 11 1313 ABAB 11 1313 ABAABB 1 13 AB 111 13565 14.14.计算计算 111111111111111111 11 234523456234562345 【解析】【解析】 设 1111 1 2345 A， 1111 2345 B 原式 11 66 ABAB 11 66 ABAABB 11 66 AB 1 6 (AB) 1 6 15.15. 2 123912391129239 1 2341023410223103410 【解析】【解析】 设 1239 23410 t ，则有 222 11111 (1) 222222 t tttttttt 16. 2 1239123911239239 ()()(1)() 23410234102234103410 【解析】【解析】 设 1239 23410 t ，则有 222 11111 (1)()() 222222 t ttt ttttt
