1、准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效） 2021 年年 3 月福州市高中毕业班质量检测月福州市高中毕业班质量检测 数学数学试题试题 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号.第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 第 I 卷 一、单项选择题
2、：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合1,2,3,4,5A，21,Bx xkkA，则AB A. 1,3 B. 2,4 C. 3,5 D. 1,3,5 2.设复数(,)zabi abZZ，则满足|1| 1z的复数 z 有 A. 7 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 3 个 3.“5m”是“ 2 45 0mm ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若抛物线 2 ymx上一点( ,2)t到其焦点的距离等于 ，则 A. 1 4 m B. 1 2 m C. 2m
3、 D. 4m 5.已知函数( )lnf xx，则函数 1 () 1 yf x 的图象大致为 A B C D 6.在ABC中， E 为 AB 边的中点， D 为 AC 边上的点， BD， CE 交于点 F.若 31 77 AFABAC， 则 AC AD 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线 P0，P1，Pn，.已知 P0 是边长为 1 的等边三角形，Pk+1是对 Pk进行如下操作而得到：将 Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线 段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(0,1,2,)k .记 Pn的周长
4、为 Ln、所围成的面积为 Sn.对于nN ，下列结论正确的是 P0 P1 P2 Pn A. n n S L 为等差数列 B. n n S L 为等比数列 C. 0M，使 n LM D. 0M，使 n SM 8. 已知函数( )2sin()(0,|) 2 f xx 的图象过点(0,1)，在区间, 12 3 上为单调函数，把 ( )f x的图象向右平移 个单位长度后与原来的图象重合.设 12 5 , 26 x x 且 12 xx， 若 12 f xf x， 则 12 f xx的值为 A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出
5、的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. “一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有 2000 多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物 相当于 2 亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调 研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了 90 位来店就餐的客人，制成如右所示的列 联表，通过计算得到 K2的观测值为 认可 不认可 40 岁以下 20 20 40 岁以上（含 40 岁） 40 10 9.已知 2 6.6350.010P K， 2 10.8280.001P
6、 K，则下列判断正确的是 A.在该餐厅用餐的客人中大约有 66.7%的客人认可“光盘行动” B.在该餐厅用餐的客人中大约有 99%的客人认可“光盘行动” C.有 99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 10.如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 为所在棱的中点，则在这四个正方 体中，直线 AB平面 MNP 的是 A B C D 11.已知 P 是双曲线 22 :1 45 xy E在第一象限上一点， F1， F2分别是 E 的左、 右焦点， 12 PFF的面积为15 2 .
7、 则以下结论正确的是 A.点 P 的横坐标为 5 2 B. 12 32 FPF C. 12 PFF的内切圆半径为 1 D. 12 FPF平分线所在的直线方程为3240 xy 12. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数 .最基本的双曲函数是双曲正弦函 数 sinh 2 xx ee x 和双曲余弦函数cosh 2 xx ee x 等.双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬 如达 芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲 线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是 A. 22 coshsinh1xx B. cos
8、hyx为偶函数，且存在最小值 C. 0 0 x， 00 sinh sinhsinhxx D. 12 ,x xR，且 12 xx， 12 12 sinhsinh 1 xx xx 第 II 卷 注意事项： 用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.设 x，y 满足约束条件 4 0, 26 0, 0, xy xy y 则2xy的取值范围为 . 14. 5 1 x x 的展开式中， 1 x 的系数为 . 15.在三棱锥PABC中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂直，90BAC，
9、30PCA，3AB，2PA. 则三棱锥PABC的外接球的表面积为 . 16.已知圆 C 的方程为 22 (2)(1)4xy，过点(2,0)M的直线与圆 C 交于 P，Q 两点（点 Q 在第四象 限）.若2QMOQPO ，则点 P 的纵坐标为 . 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 在21 nn Sa； 1 1a ， 21 log21 nn a an ； 2 12nnn aa a ， 2 3S ， 3 4a 这三个条件中 任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答. 问题：已知单调数列 n a的前 n 项和为 n
10、S，且满足 . （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 n na的前 n 项和 n T. 18.（本小题满分 12 分） 在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，coscosabcB bC. （1）求角 C 的大小； （2）设 CD 是ABC的角平分线，求证： 111 CACBCD . 19.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱台 111 ABCABC中， 1111 1AAACCC，2AC ， 1 ACAB. （1）求证：平面 11 ACC A 11 ABB A； （2）若90BAC，1AB ，求二面角 1 ABBC的正弦值. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆
11、22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右顶点分别为 1( 2,0)A ， 2( 2,0) A，上、下顶点分别为 B1， B2，四边形 1221 AB A B的周长为4 3. （1）求 E 的方程； （2）设 P 为 E 上异于 A1，A2，的动点，直线 A1P 与 y 轴交于点 C，过 A1作 12 ADPA，交 y 轴于点 D. 试探究在 x 轴上是否存在一定点 Q，使得3QC QD，若存在，求出点 Q 坐标；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分 12 分） 从 2021 年 1 月 1 日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存 单.协
12、定存款年利率为 1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于 50 万元，多出的资金可随时支 取；七天通知存款年利率为 1.8%，存期须超过 7 天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年， 年利率为 3.6%；大额存单，年利率为 3.84%，起点金额 1000 万元.（注：月利率为年利率的十二分之一） 已知某公司现有 2020 年底结余资金 1050 万元. （1）若该公司有 5 个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且 不能弃权，求恰有 3 个股东选择同一种产品的概率； （2）公司决定将 550 万元作协定存款，于 2021 年 1 月 1
13、 日存入该银行账户，规定从 2 月份起，每月首日 支取 50 万元作为公司的日常开销.将余下 500 万元中的 x 万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余 (500) x万元作结构性存款. 求 2021 年全年该公司从协定存款中所得的利息； 假设该公司于 2021 年 7 月 1 日将七天通知存款全部取出，本金 x 万元用于投资高新项目，据专业机构评 估，该笔投资到 2021 年底将有 60%的概率获得 3 2 0.020.135 30000 x xx万元的收益，有 20%的概率亏 损 0.27x 万元，有 20%的概率保本.问：x 为何值时，该公司 2021 年存款利息和投资高新项目所得
14、的总收益 的期望最大，并求最大值. 22.（本小题满分 12 分） 已知 2 ( )e1 x f xx. （1）判断( )f x的零点个数，并说明理由； （2）若( )(2ln)f xaxx，求实数 a 的取值范围. 2021 年年 3 月福州市高中毕业班质量检测月福州市高中毕业班质量检测 数学数学参考答案及参考答案及评分评分细则细则 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制定相应的评分细则。 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 的程度决定后继部分的给分，
15、但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. C 2.B 3.B 4.A 5. D 6.C 7.D 8.C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 9. AC 10.ABD 11.BCD 12.BCD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 2,4 14. 5 15. 25 16. 1 2 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17
16、.（本小题满分 10 分） 【命题意图】本小题主要考查等比数列、 n a与 n S的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算 求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、 综合性.满分 10 分. 【解答】 （1）选，即21 nn Sa（i）则 当1n 时， 11 21Sa， 1 1a ； 当2n时， 11 21 nn Sa （ii） （i） （ii）两式相减得 1 2 nn aa ， 所以 n a为等比数列，其中公比为 2，首项为1. 所以 1 2n n a . 选，即 1 1a ， 21 log21 nn a an 所以当2n时， 2
17、121 loglog2 nnnn a aaa 即 1 1 4 n n a a ， 所以 * 21 () k ak N为等比数列，其中首项为 1 1a ，公比为 4， 所以 1(21) 1 21 1 42 kk k a . 由 1 1a ， 212 log1aa，得 2 2a ， 同理可得， 121* 2 2 4)2( kk k ak N. 综上， 1 2n n a 选，即 2 12nnn aa a ， 2 3S ， 3 4a . 所以 n a为等比数列，设其公比为 q， 则 1 2 1 (1)3, 4, aq a q 解得 1 1, 2, a q 或 1 9, 2 , 3 a q 又因为 n
18、a为单调数列，所以0q ，故 1 1, 2, a q 所以 1 2n n a . （2）由（1）知， 1 2n n nan ， 所以 221 12 23 2(1) 22, nn n Tnn 221 222 2(2) 2(1) 22 nnn n Tnnn ， 两式相减得 221 122222 nnn n Tn 212 nn n 所以(1) 21 n n Tn. 18.（本小题满分 12分） 【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程 思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分 12 分. 【解答】解法
19、一： （1）因为coscosabcB bC， 由正弦定理得sinsinsincossincosABCBBC， 因为sin()sin()sinBCAA， 所以sin()sinsincossincosBCBCBBC， 所以2sincossin0BCB， 因为(0, )B，所以sin0B，所以 1 cos 2 C 又(0, )C，所以 2 3 C （2）因为 CD 是ABC的角平分线，且 2 3 C ， 所以 3 ACDBCD . 在ABC中， ABCACDBCD SSS ，则由面积公式得 1211 sinsinsin 232323 CA CBCA CDCD CB ， 即CA CBCA CD CD
20、CB. 两边同时除以CA CB CD得 111 CACBCD . 解法二： （1）因为coscosabcB bC， 由余弦定理得 222222 22 acbabc abcb acab ， 整理得 22 2 ()22a abcb，即 222 0abcab， 所以(12cos)0abC， 所以 1 cos 2 C ， 又(0, )C，所以 2 3 C . （2）因为 CD 是ABC的角平分线，且 2 3 C ， 所以 3 ACDBCD . 在ABC中，由正弦定理得 2 sinsin sin 3 CACBAB BA ， 即 sinsin sinsin 33 CACBADDB BA . 同理在CAD和
21、CBD中，得 sin sin 3 CDAD A ， sin sin 3 CDDB B ， 所以 sinsinsin CACDCD BAB ，即 sinsin CACDCD BA ， 故 CACDCD CACB ，即1 CDCD CBCA ， 故 111 CACBCD . 19.（本小题满分 12 分） 【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推 理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等 核心素养，体现基础性、综合性.满分 12 分. 【解答】 （1）依题意，四边形 11 ACC A为等腰梯形，
22、过 1 A， 1 C分别引 AC 的垂线，垂足分别为 D，E，则 111 1111 (2 1) 2222 ADACACAA，故 1 60A AC. 在 1 ACA中， 22222 1111 1 2cos122 1 23 2 ACA AACA A ACA AC ， 所以 222 11 ACA AAC，故 1 90AAC，即 11 ACAA. 因为 1 ACAB， 1 ABAAA，且 AB， 1 AA 平面 11 ABB A， 所以 111 ACABB A 平面， 因为 111 ACACC A 平面， 所以 1111 ACC AABB A平面平面平面. （2） 因为ABAC， 1 ACAB， 1
23、ACACC， 且 AC， 11 ACACC A平面， 所以 11 ABACC A 平面， 结合（1）可知 AB，AC，A1D 三条直线两两垂直. 以 A 为原点，分别以 1 ,AB AC DA的方向为 x，y，z 轴的 正方向，建立空间直角坐标系 A-xyz，如图所示，则各点坐标为 (0,0,0)A，(1,0,0)B，(0,2,0)C， 1 13 0, 22 A ， 1 33 0, 22 C . 由（1）知， 11 2233 0,(0, 3, 1) 2233 nAC 为平面 11 ABB A的法向量. ( 1,2,0)BC ， 1 13 0, 22 C C ， 设 2 ( , , )nx y
24、z为平面 11 BCC B的法向量，则 2 21 , , nBC nC C 故 2 21 20, 13 0, 22 nBCxy nCCyz 取 2 (2 3, 3,1)n ， 所以 12 12 12 3 11 cos, 2 44 n n n n n n 设二面角 1 ABBC的大小为，则 2 115 sin1 44 . 20.（本小题满分 12 分） 【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考 查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养， 体现基础性、综合性与创新性.满分 12 分. 【解答】解法
25、一： （1）依题意，2a 由椭圆的对称性可知，四边形 1221 AB A B为菱形，其周长为 22 44 3ab. 所以1b 所以 E 的方程为 2 2 1 2 x y. （2）设 00 ,P x y，则 22 00 22yx， 直线 1 AP的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，故 0 0 2 0, 2 y C x ， 由 12 ADPA知 1 AD的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，故 0 0 2 0, 2 y D x ， 假设存在( ,0)Q t，使得3QC QD，则 00 00 22 , 22 yy QC QDtt xx 2 2 0 2 0 2 2 y t x 2 2
26、 0 2 0 2 2 x t x 2 1t 3. 解得2t . 所以当 Q 的坐标为( 2,0)时，3QC QD 解法二（1）同解法一. （2）当点 P 与点 B1重合时，C 点即 1(0,1) B，而点 D 即 2(0, 1) B，假设存在( ,0)Q t，使得3QC QD， 则(,1) (, 1)3tt ，即 2 13t ，解得2t . 以下证明当 Q 为( 2,0)时，3QC QD 设 00 ,P x y，则 22 00 22yx， 直线 A1P 的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，故 0 0 2 0, 2 y C x . 由 12 ADPA知 A1D 的方程为 0 0 (2)
27、 2 y yx x ，故 0 0 2 0, 2 y D x ， 所以 00 00 22 , 22 yy QC QDtt xx 2 2 0 2 0 2 2 y t x 2 0 2 0 2 4 2 x x 4 1 3. 说明：Q 只求出(2,0)或( 2,0)，不扣分. 21.（本小题满分 12 分） 【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据处理能力、 推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、必 然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性.满分 12 分. 【解答】
28、 （1）设恰好有 3 个股东同时选择同一款理财产品的事件为 A，由题意知，5 个股东共有 45种选择， 而恰好有 3 个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为 323 544 CAA种， 所以 323 544 5 45 ( ) 4128 CAA P A . （2）2021 年全年该公司从协定存款中所得的利息为： 0.0168 (55050045010050)50 12 55050 11 500.00144.69 2 （万元）. 由条件，高新项目投资可得收益频率分布表 投资收益 t 3 2 0.020.135 30000 x xx 0 0.27x P 0.6 0.2 0.2 所以，高新项目投资所
29、得收益的期望为： 3 232 ( )0.020.1350.60 0.20.2 0.270.000020.0120.027 30000 x E txxxxxx 所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为： 32 6 ( )0.000020.0120.0270.036 (500)0.0184.69 12 L xxxxxx 32 0.000020.01222.69(0500)xxx 剟. 2 ( )0.00006400L xxx 令( )0L x ，得400 x，或0 x. 由( )0L x ，得0400 x；由( )0L x ，得400500 x. 由条件可知，当400 x时，( )L x取
30、得最大值为：(400)662.69L（万元）. 所以当400 x时，该公司 2021 年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值 662.69 万元. 22.（本小题满分 12 分） 【解答】解法一： （1）依题意，( )(2)exfxx x，则 当(, 2)(0,)x 时，( )0fx ；当( 2,0)x 时，)(0fx 所以( )f x在区间(, 2),(0,) 上单调递增，在区间( 2,0)上单调递减. 因为 2 4 ( 2)10 e f ，(1)e 10f 所以( )f x有且只有 1 个零点. （2）令 2 ( )e(2ln) 1 x F xxaxx，则 2 (2)e (2
31、) ( )(2)e(0) x x xxa a x F xx xx xx . 若0a，则( )0F x ，( )F x为增函数， 1e11e1 12ln1ln40 242242 Faa ，不合题意； 若0a ， 令 2 ()e(0 ) x hxxx， 易知( )h x单调递增， 且值域为(0,)， 则存在 0 0 x ， 使得 0 2 0e x xa， 即 00 2lnlnxxa. 当 0 0,xx时，( )0F x ，( )F x单调递减； 当 0, xx时，( )0F x ，( )F x单调递增. 0 2 min0000 ( )e2ln1ln1 x F xF xxaxxaaa ， 令( )l
32、n1aaaa，( )lnaa ， 当01a时，( )ln0aa ；当1a 时，( )ln0aa ； 所以( )(1)0a， 由( ) 0F x 得( ) 0a，所以1a . 综上，a 的取值范围是1. 解法二： （1）同解法一. （2）令 2ex tx，当0 x时，0t ， 则ln2lntxx，故( )(2ln)1lnf xaxxtat 厖. 令( )1lnF ttat ，则( )1 ata F t tt ， 若0a，则( )0F t ，( )F x为增函数，又(1)0F，故当01t 时，( )0F t ，不合题意. 若0a ，则当(0, )ta时，( )0F t ；当( ,)ta时，( )0F t ； 所以( )F t在区间(0, )a上单调递减，在区间( ,)a 上单调递增， 因为(1)0F，所以 若1a ，则当(1, )ta时( )0F t ，不合题意； 若01a，则当( ,1)ta时( )0F t ，不合题意； 若1a ，则( )(1)0F tF，符合题意. 综上，a 的取值范围是1.
