1、数学立体几何的解题技巧 一立 体 几 何立 体 几 何 解 题 技 巧解 题 技 巧 1.直 线 与 平 面 垂 直 的 五 个 结 论直 线 与 平 面 垂 直 的 五 个 结 论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 2.证 明 线 面 垂 直 的 常 用 方 法证 明 线 面 垂 直 的 常 用 方 法
2、 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质定理. 3.证 明 线 线 垂 直 的 常 用 方 法证 明 线 线 垂 直 的 常 用 方 法 (1)利用特殊图形中的垂直关系. (2)利用等腰三角形底边中线的性质. (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直线与平面垂直的性质. 4. 在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、 中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的 对角线互相垂直、直角三角
3、形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角 梯形等等. 5.面 面 垂 直 的 证 明 方 法面 面 垂 直 的 证 明 方 法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将 证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的 一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决. 6.线 面 角 、 二 面 角 求 法线 面 角 、 二 面 角 求 法 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出 该角,步骤是作(找) 证 求(算)三步曲.也可用射影法: 设斜线段 AB 在平
4、面 内的射影为 AB,AB 与 所成角为 ,则 cos=; 设 ABC 在平面 内的射影三角形为 ABC,平面 ABC 与 所成角为 , 则 cos=. 例例 1.(2019 山东潍坊三模,8)下列说法错误的是( ) A.垂直于同一个平面的两条直线平行 B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一 个平面垂直 C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行 D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直 答案答案：D 解析解析： 由线面垂直的性质定理可得选项 A 正确;由面面垂直的性质定理知选项 B 正确;由面面平行的判定定理知选项
5、 C 正确;由直线与平面垂直的定义知,选 项 D 错误. 例例 2.已知 l,m 是平面 外的两条不同直线.给出下列三个论断: lm;m;l. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确命 题: . 答案答案：若 l,m,则 lm 解析解析：将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题: (1)如果 l,m,则 lm,正确; (2)如果 l,lm,则 m,不正确,有可能 m 在平面 内; (3)如果 lm,m,则 l,不正确,有可能 l 与 斜交、l.故答案为:如 果 l,m,则 lm. 例例 3.图 1 是由矩形 ADEB,Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平
6、面图形,其 中 AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿 AB,BC 折起使得 BE 与 BF 重合, 连接 DG,如图 2. (1)证明:图 2 中的 A,C,G,D 四点共面,且平面 ABC平面 BCGE; (2)求图 2 中的四边形 ACGD 的面积. 解：(1)证明由已知得 ADBE,CGBE,所以 ADCG,故 AD,CG 确定一个 平面,从而 A,C,G,D 四点共面. 由已知得 ABBE,ABBC,BEBC=B,故 AB平面 BCGE. 又因为 AB平面 ABC,所以平面 ABC平面 BCGE. (2)解取 CG 的中点 M,连接 EM,DM. 因为 ABDE,AB平面 B
7、CGE, 所以 DE平面 BCGE,故 DECG. 由已知,四边形 BCGE 是菱形,且EBC=60得 EMCG,DEEM=E,故 CG平面 DEM.因此 DMCG. 在 Rt DEM 中,DE=1,EM=,故 DM=2.所以四边形 ACGD 的面积为 4. 二立 体 几 何立 体 几 何 解 题 技 巧解 题 技 巧 1.异面直线判定的一个定理异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.唯一性定理唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个
8、平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 3.共面、共线、共点问题的证明共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法: 首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在 这个平面内; 将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法: 先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上; 直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线 经过该点. 4.求解异面直线所成角的方法求解异面直线所成角的方法 方法 解读 平移法 通
9、过作图(如结合中位线、平行四边形补形等)来构造平行线,作出异面直线所 成的角,通过解三角形来求解 补形法 补成长方体或正方体 转化法 当异面直线所成角为 时,可转化为证明垂直 典 型 例 题 例例 1(多 选 )已 知 空 间 中 两 条 直 线 a,b 所 成 的 角 为 50,P 为 空 间 中 给 定 的 一 个 定 点 ,直 线 l 过 点 P 且 与 直 线 a 和 直 线 b 所 成 的 角 都 是 (090), 则 下 列 选 项 正 确 的 是 ( ) A.当 =15时 ,满 足 题 意 的 直 线 l 不 存 在 B.当 =25时 ,满 足 题 意 的 直 线 l 有 且 仅
10、 有 1 条 C.当 =40时 ,满 足 题 意 的 直 线 l 有 且 仅 有 2 条 D.当 =60时 ,满 足 题 意 的 直 线 l 有 且 仅 有 3 条 答 案答 案 ： ABC 解 析解 析 ： 过 P 作 aa,bb,则 l 与 a,b 成 的 角 即 l 与 a,b成 的 角 . 设 直 线 a,b确 定 的 平 面 为 , 异 面 直 线 a,b 成 50角 , 直 线 a,b所 成 锐 角 为 50. 当 直 线 l 在 平 面 内 时 , 若 直 线 l 平 分 直 线 a,b所 成 的 钝 角 , 则 直 线 l 与 a,b 都 成 65角 ,适 当 调 整 l 的
11、位 置 ,l 与 a,b 所 成 角 的 范 围 为 65,90; 若 直 线 l 平 分 直 线 a,b所 成 的 锐 角 , 则 直 线 l 与 a,b 都 成 25角 ,适 当 调 整 l 的 位 置 ,l 与 a,b 所 成 角 的 范 围 为 25,90, 故 A,B,C 都 正 确 ,当 =60时 ,满 足 题 意 的 直 线 l 有 且 仅 有 2 条 ,所 以 D 错 误 . 故 选 ABC. 例例 2 以 下 四 个 命 题 中 : 不 共 面 的 四 点 中 ,其 中 任 意 三 点 不 共 线 ;若 点A,B,C,D共 面 ,点 A,B,C,E 共 面 ,则 点 A,B,
12、C,D,E 共 面 ;若 直 线 a,b 共 面 ,直 线 a,c 共 面 ,则 直 线b,c 共 面 ;依 次 首 尾 相 接 的 四 条 线 段 必 共 面 .真 命 题 的 个 数 是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答 案答 案 ： B 解 析解 析 ： 正 确 ,否 则 三 点 共 线 和 第 四 点 必 共 面 ;错 ,如 图 三 棱 锥 ,能 符 合 题 意 ,但A,B,C,D,E 不 共 面 ;从 的 几 何 体 知 ,错 ;由 空 间 四 边 形 可 知 ,错 . 例例 3 如 图 所 示 ,在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ,M,N 分 别 为 棱 C1
13、D1,C1C 的 中 点 ,有 以 下 四 个 结 论 : 直 线 AM 与 CC1是 相 交 直 线 ; 直 线 AM 与 BN 是 平 行 直 线 ; 直 线 BN 与 MB1是 异 面 直 线 ; 直 线 AM 与 DD1是 异 面 直 线 . 其 中 正 确 的 结 论 为 (注 :把 你 认 为 正 确 的 结 论 序 号 都 填 上 ). 答 案答 案 ： 解 析 ： 因 为 点 A 在 平 面 CDD1C1外 ,点 M 在 平 面 CDD1C1内 ,直 线 CC1在 平 面 CDD1C1内 ,CC1不 过 点 M,所 以 AM 与 CC1是 异 面 直 线 ,故 错 ;取 DD1
14、中 点 E,连 接 AE,则 BNAE,但 AE 与 AM 相 交 ,故 错 ;因 为 B1与 BN 都 在 平 面 BCC1B1内 ,M 在 平 面 BCC1B1外 ,BN 不 过 点 B1,所 以 BN 与 MB1 是 异 面 直 线 ,故 正 确 ;同 理 正 确 ,故 填 . 三立 体 几 何立 体 几 何 解 题 技 巧解 题 技 巧 1.平面与平面平行的三个性质 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等； (3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 2.判断两个平面平行的三个结论 (1)垂直于同一条
15、直线的两个平面平行； (2)平行于同一平面的两个平面平行； (3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那 么这两个平面平行. 3.判断或证明线面平行的常用方法有 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba)； (3)利用面面平行的性质(,aa). 4.证明线面平行往往先证明线线平行,证明线线平行的途径有:利用几何 体的特征,合理利用中位线定理、 线面平行的性质,或者构造平行四边形、 寻找比例式证明两直线平行. 5.空间中证明两条直线平行的常用方法 (1)利用线面平行的性质定理,即 a,a,=b ab； (2)利用平行公理推论:
16、平行于同一直线的两条直线互相平行； (3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行. 6.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误；在 解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从 “线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序 恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可 过于“模式化”. 例 1.(多选)下列命题中正确的是( ) A.平面 平面 ,一条直线 a 平行于平面 ,则 a 一定平行于平面 B.平面 平面 ,则 内的任意一条直线都平行于平面 C.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那么该
17、三角形所在的 平面与这个平面平行 D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 答案答案：BCD 解析解析：平面 平面 ,一条直线 a 平行于平面 ,则 a 可能在平面 内,故 A 错 误;平面 平面 ,则 内的任意一条直线都平行于平面 ,故 B 正确;一个三角 形有两条边所在的直线平行于一个平面,由面面平行的判定知,三角形所在的 平面与这个平面平行,故 C 正确;分别在两个平行平面内的两条直线只能是平 行直线或异面直线,故 D 正确.故选 BCD. 例 2.已知空间几何体 ABCDE 中, BCD 与 CDE 均为边长为 2 的等边三角 形, ABC 为腰长为 3 的等腰三角形
18、,平面 CDE平面 BCD,平面 ABC平面 BCD,M,N 分别为 DB,DC 的中点. (1)求证:平面 EMN平面 ABC; (2)求三棱锥 A-ECB 的体积. (1)证明 取 BC 中点 H,连接 AH, ABC 为等腰三角形,AHBC, 又平面 ABC平面 BCD,平面 ABC平面 BCD=BC, AH平面 BCD,同理可证 EN平面 BCD,ENAH, EN平面 ABC,AH平面 ABC, EN平面 ABC, 又 M,N 分别为 BD,DC 中点, MNBC, MN平面 ABC,BC平面 ABC, MN平面 ABC,又 MNEN=N, 平面 EMN平面 ABC. (2)解 连接
19、DH,取 CH 中点 G,连接 NG,则 NGDH,由(1)知 EN平面 ABC, 所以点 E 到平面 ABC 的距离与点 N 到平面 ABC 的距离相等,又 BCD 是边长为 2 的等边三角形, DHBC,又平面 ABC平面 BCD,平面 ABC平面 BCD=BC,DH平面 BCD,DH 平面 ABC,NG平面 ABC,DH=,又 N 为 CD 中点, NG=,又 AC=AB=3,BC=2, S ABC=1/2 |BC|AH|=, VE-ABC=VN-ABC=1/3S ABC|NG|= 四四 立 体 几 何立 体 几 何 解 题 技 巧解 题 技 巧 1. 常 用 结 论常 用 结 论 （
20、1） 对 空 间 任 一 点 O,若(x+y=1),则 P,A,B 三 点 共 线 . （ 2） 对 空 间 任 一 点 O,若(x+y+z=1),则 P,A,B,C 四 点 共 面 . 2.空 间 向 量 数 量 积 的 应 用空 间 向 量 数 量 积 的 应 用 (1)求 夹 角 .设 向 量 a,b 所 成 的 角 为 ,则 cos=,进 而 可 求 两 异 面 直 线 所 成 的 角 . (2)求 长 度 (距 离 ).运 用 公 式 |a| 2=a a,可 使 线 段 长 度 的 计 算 问 题 转 化 为 向 量 数 量 积 的 计 算 问 题 . (3)解 决 垂 直 问 题
21、.利 用 abab=0(a0,b0),可 将 垂 直 问 题 转 化 为 向 量 数 量 积 的 计 算 问 题 . 3.共 线 定 理 、 共 面 定 理 的 应 用共 线 定 理 、 共 面 定 理 的 应 用 （ 1）证 明 点 共 线 的 问 题 可 转 化 为 证 明 向 量 共 线 的 问 题 ,如 证 明 A,B,C 三 点 共 线 ,即 证 明共 线 ,亦 即 证 明(0). （ 2） 证 明 点 共 面 问 题 可 转 化 为 证 明 向 量 共 面 问 题 ,如 要 证 明 P,A,B,C 四 点 共 面 ,只 要 能 证 明,或 对 空 间 任 一 点 O,有 ,或(x+
22、y+z=1)即 可 . 4.注 意 事 项注 意 事 项 （ 1） 向 量 的 数 量 积 满 足 交 换 律 、 分 配 律 ,但 不 满 足 结 合 律 ,即 a b=b a,a (b+c)=a b+a c 成 立 ,(a b) c=a (b c)不 一 定 成 立 . （ 2） 在 利 用证 明 MN平 面 ABC 时 ,必 须 说 明 点 M 或 点 N 不 在 平 面 ABC 内 (因 为 式 只 表 示共 面 ). （ 3） 求 异 面 直 线 所 成 的 角 ,一 般 可 以 转 化 为 两 向 量 的 夹 角 ,但 要 注 意 两 种 角 的 范 围 不 同 ,最 后 应 进
23、行 转 化 . 02 典型例题典型例题 精准剖析精准剖析 例例 1.若 x,yR,有下列命题: 若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面; 若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb; ,则 P,M,A,B 共面; 若点 P,M,A,B 共面,则. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案：B 解析解析：正确,中若 a,b 共线,p 与 a 不共线,则 p=xa+yb 就不成立.正确.中若点 M,A,B 共线,点 P 不在此直线上,则不成立. 例例 2.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1,点 M,N 分别在 AC1和 BC 上,且满足 (0k1). (1)
24、向量是否与向量共面? (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1平行? 解： 例例 3： 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q 分别是棱 A1D1,AB,BC 的中 点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则l与直线QB1所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 答案答案：B 解析： 取 C1D1中点 E,则平面 PQEM 是点 M,P,Q 的平面, 延长 PQ,交 DC 延长线于点 F,则 EF 是经过点 M,P,Q 的平面与平面 CDD1C1的交线 l, 以 D 为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x,y,z轴,建立空间直角
25、坐标系,则 设 l 与直线 QB1所成角为 ,则 cos=,所以 l 与 直线 QB1所成角的余弦值为. 五五立体几何 解题技巧 1.直线的方向向量的确定:l是空间一直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零 向量均为直线 l 的方向向量. 2.平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 内两不共线向量,n 为平面 的法向量,则求法向 量的方程组为 3.用向量证明平行的方法 (1)线线平行:证明两直线的方向向量共线. (2)线面平行:证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;证明直线的方向向量 与平面内某直线的方向向量平行. (3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量;转化为线面平行、线线平行
26、问题. 4.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直. 5.利用向量法求异面直线所成的角时,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异 面直线所成角 的范围是,两向量的夹角 的范围是0,所以要注意二者的区 别与联系,应有 cos=|cos|. 6.利用向量法求线面角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或 其补角); 通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的 补角,取其
27、余角就是斜线和平面所成的角. 7.利用空间向量求二面角的方法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量 的夹角的大小就是二面角的平面角的大小; 通过平面的法向量来求,即设二面角的两个半平面的法向量分别为 n1和 n2,则二面角 的大小等于(或 -).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角. 8.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的 运算进行判断.另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向 量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、 线、 面,把立体几何问题转化为向 量问题;(2)通过向
28、量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义 来解释相关问题. 典型例题 精准剖析 例例 1. 如 图 ,在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PC平 面 ABCD,PC=2,在 四 边 形 ABCD 中 ,ABC=BCD=90 ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上 ,PB=4PM,PB 与 平 面 ABCD 所 成 的 角 为 30 .求 证 : (1)CM平 面 PAD; (2)平 面 PAB平 面 PAD. 证 明证 明 以 点 C 为 坐 标原 点 ,分 别 以 CB,CD,CP 所 在 的 直 线为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 建 立 如 图 所 示 的
29、 空间 直 角 坐 标 系 C-xyz. PC平 面 ABCD,PBC 为 PB 与 平面 ABCD 所 成 的 角 .PBC=30 .PC=2,BC= ,PB=4.D(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),M , =(0,-1,2),=(,3,0), (1)设 n=(x,y,z)为 平 面 PAD 的 一 个 法 向量 ,由 令 y=2,得 n= , 又 CM平 面 PAD,CM平 面 PAD. (2)如 图 ,取 AP 的 中点 E,连 接 BE, 又 PADA=A, BE平 面 PAD. 又 BE平 面 PAB, 平 面 PAB平 面 PAD. 例例2. 如 图
30、,在 等 腰 梯 形ABCD 中 ,ABCD,E,F 分 别 为AB,CD 的 中 点 ,CD=2AB=2EF=4,M 为 DF 中 点 .现 将 四边 形 BEFC 沿 EF 折起 ,使 平 面 BEFC平 面 AEFD,得 到 如 图所 示 的 多面 体 . 求 二 面 角 M-AB-D 的 余 弦 值 . 解解 :平 面 BEFC平 面 AEFD,平 面 BEFC平 面 AEFD=EF,且 EFDF, DF平 面 BEFC,DFCF, DF,CF,EF 两 两 垂 直 , 以 F 为 坐 标 原 点 ,分别 以 FD,FC,FE 所 在直 线 为 x,y,z 轴 ,建 立空 间 直 角 坐 标 系 , DM=1, FM=1,M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2). 取 x=1,得 m=(1,1,0). 设 平 面 ABD 的 法 向 量 n=(x,y,z), 取 z=1,得 n=(2,2,1).
