1、第六节第六节 对数与对数函数对数与对数函数 学习要求:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数,了解对数在化简运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=a x与对数函数 y=logax互为反函数(a0,且a1). 1.对数的概念 (1)对数的定义: 一般地,如果 a x=N(a0,且 a1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. (2)几种常见的对数: 对数形式 特点 记法 一般
2、对数 底数为a(a0,且a1) logaN 常用对数 底数为 10 lg N 自然对数 底数为 e ln N 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质: = N ;logaa N= N .(a0,且 a1) (2)对数的重要公式: 换底公式: logbN = (a,b 均大于 0 且不等于 1); 相关结论:logab= ,logablogbclogcd= logad (a,b,c均大于 0 且不等于 1,d大于 0). (3)对数的运算法则: 如果a0 且a1,M0,N0,那么 loga(MN)= logaM+logaN ; loga = logaM-logaN ; logaM n= nl
3、ogaM (nR); lo M n= logaM(m,nR,且 m0). 3.对数函数的图象与性质 a1 0a1 时,y0; 当 0 x1 时,y1 时,y0; 当 0 x0 是(0,+)上的增函数 是(0,+)上的减函数 4.反函数 指数函数y=a x(a0,且 a1)与对数函数 y=logax (a0,且a1)互为反函数,它们的图 象关于直线 y=x 对称. 知识拓展 对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐 标为相应的底数,故 0cd1ab.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐 增大. 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)
4、. (1)loga(MN)=logaM+logaN. ( ) (2)logaxlogay=loga(x+y). ( ) (3)log2x 2=2log 2x. ( ) (4)若 logamlogan,则m0,且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),( ,- ),其图象经过第一, 四象限. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.log525+1 = ( ) A. B.6 C. D.9 答案 B log525+ =log552+(42) =2log55+4=6.故选 B. 3.下列各式中正确的是 ( ) A. =loga2 B.lg 2+lg 5=lg 7 C
5、.(ln x) 2=2ln x D.lg = lg x 答案 D 对于 A 选项,由换底公式得 =log36=1+log32,故 A 错; 对于 B 选项,lg 2+lg 5=lg(25)=1,故 B 错; 对于 C 选项,(ln x) 2=ln xln x2ln x,故 C 错; 对于 D 选项,lg =lg = lg x,故 D 正确.故选 D. 4.(2020 安徽月考)已知a=log23,b=( ) ,c=( ) ,则 a,b,c的大小关系是 ( ) A.abc B.acb C.bca D.cblog22=1,0b=( ) ( ) =1,0c=( ) c6,所以 bc,即cb0,即x2
6、,所以函数f(x)=lg(x-2)的定义域为 (2,+),故选 D. 6.(易错题)已知a0,且a1,则函数f(x)=a x与函数 g(x)=logax的图象可能是 ( ) 答案 B 由函数f(x)=a x与函数 g(x)=logax互为反函数,得图象关于y=x对称,从而排除 A,C,D. 易知当a1 时,两函数图象与 B 选项中的图象相同.故选 B. 易错分析 忽视反函数的定义. 对数的概念、性质与运算 角度一 对数的概念与性质 典例 1 (1)若 loga2=m,loga5=n(a0,且a1),则a 3m+n= ( ) A.11 B.13 C.30 D.40 (2)已知 2 a=5b=10
7、,则 = . (3)设 ( - )=9,则x= . 答案 (1)D (2)1 (3)2 角度二 对数的运算 典例 2 计算:(1)(lg 2) 2+lg 2lg 50+lg 25; (2)log3 +lg 5+ +log23log94+lg 2; (3)(log32+log92)(log43+log83). 解析 (1)原式=(lg 2) 2+(1+lg 5)lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2. (2)原式=log3 - +lg 5+2+ +lg 2= -1+(lg 5+lg 2)+2+1 =-
8、+1+3= . (3)原式=log32log43+log32log83+log92log43+log92log83 = + + + = + + + = . 规律总结 对数运算的求解思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然 后利用对数的运算性质求解. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为 同底数对数的真数的积、商、幂的运算. 1.(lg 5) 2+lg 2lg 5+lg 20-log 23log38+ ( )= . 答案 9 解析 原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log23
9、 +2 =1+1-3+10=9. 2.如果 45 x=3,45y=5,那么 2x+y= . 答案 1 解析 45 x=3,45y=5,x=log 453,y=log455, 2x+y=2log453+log455=log459+log455=log45(95)=1. 对数函数的图象及应用 典例 3 (1)函数f(x)=ln|x-1|的大致图象是 ( ) (2)当 0 x 时,4 x0,且a1),则a的取值范围是 ( ) A.( , ) B.( , ) C.(1, ) D.( ,2) (3)已知函数f(x)=4+loga(x-1)(a0,且a1)的图象恒过定点P,则点P的坐标 是 . 答案 (1
10、)B (2)B (3)(2,4) 解析 (1)当x1 时, f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于直线x=1 对称,所以选 B. (2)易知 0a , 解得a , a0,且a1)的大致图象是 ( ) 答案 C 函数f(x)=|loga(x+1)|的定义域为x|x-1,且对任意的x(-1,+),均有f(x)0, 结合对数函数的图象可知选 C. 2.函数y=x-a与函数y=logax(a0,且a1)在同一坐标系中的图象可能是 ( ) 答案 C 当a1 时,对数函数y=logax为增函数,当x=1 时,函数y=x-a的值为负,故 A、D 错误; 当 0abc B.bac C.cba D.ca
11、b (2)已知f(x)满足f(x)-f(-x)=0,且在(0,+)上单调递减,若a=( ) - ,b=( ) ,c=log 2 ,则 f(a), f(b), f(c)的大小关系为 ( ) A.f(b)f(a)f(c) B.f(c)f(b)f(a) C.f(c)f(a)f(b) D.f(b)f(c)log2e1,b=ln 2ab,故选 D. (2)f(x)-f(-x)=0,f(x)=f(-x), f(x)为偶函数. c=log2 log24=2,2( ) a=( ) - =( ) ( ) =b0,log 29ab. f(x)在(0,+)单调递减, f(log29)f(a)f(b), 即f(c)f
12、(a)0,且 a1). (1)若a= ,求函数 f(x)的值域; (2)当f(x)在* , +上为增函数时,求 a的取值范围. 解析 (1)当a= 时,ax 2-x+1= x 2-x+1= (x-1) 2+10 恒成立, 故函数f(x)的定义域为 R, x 2-x+1= (x-1) 2+1 ,且函数 y=lo x 在(0,+)上单调递减, lo ( - )lo =1, 即函数f(x)的值域为(-,1. (2)由题意可知, 当a1 时,由复合函数的单调性可知,必有y=ax 2-x+1 在* , +上单调递增,且 ax 2-x+10 对任意的x* , +恒成立,所以 , ( ) - , 解得a2;
13、 当 0a0 对任意的 x * , +恒成立, 所以 , ( ) - , 解得 logab(a0,且a1)的不等式,需借助y=logax的单调性求解,如果a的取值 不确定,那么需要分为a1 与 0ab(a0,且a1)的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式,再求解. 1.设a=log36,b=log510,c=log714,则 ( ) A.cba B.bca C.acb D.abc 答案 D a=log36=1+log32=1+ ,b=log510=1+log52=1+ ,c=log714=1+log72=1+ ,且 log27log25log230,abc. 2.(2019 山东高考模拟
14、)已知f(x)=e x-1+4x-4,若正实数 a满足f( ) B.0a C.0a1 D.a1 答案 C 因为y=e x-1与 y=4x-4 都是在 R 上的增函数,所以f(x)=e x-1+4x-4 是在 R 上的增函数, 又因为f(1)=e 1-1+4-4=1, 所以f ( )1 等价于 loga 1,所以 loga log aa, 当 0a1 时,y=log ax在(0,+)上单调递减,所以a ,故 0a1 时,y=log ax在(0,+)上单调递增,所以a ,故 a1, 综上所述,a的取值范围是 0a1.故选 C. 3.(2020 上海高三专题练习)函数y= . ( - )的定义域为
15、. 答案 *- , )( , + 解析 由题意可知 00, 解得-1x0 恒成立知函数f(x)的定义域为 R, 因为f(-x)+f(x)=ln( +3x)+1+ln( -3x)+1 =ln ( +3x)( -3x)+2=ln 1+2=2, 所以f(lg 2)+f ( )=f(lg 2)+f(-lg 2)=2. A 组 基础达标 1.已知函数f(x)=log2(x 2-2x+a)的最小值为 2,则 a= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 2.log29log34+2log510+log50.25= ( ) A.0 B.2 C.4 D.6 答案 D 原式=2log23(2log32
16、)+log5(10 20.25)=4+log 525=4+2=6. 3.(2020 河北冀州中学模拟)函数y= ( - ) 的定义域是 ( ) A.1,2 B.1,2) C.* , ) D.( , ) 答案 C 4.log6log4(log381)的值为 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 答案 C 5.(2019 河南郑州模拟)设a=log50.5,b=log20.3,c=log0.32,则 ( ) A.bac B.bca C.cba D.ablog50.2=-1,b=log20.3log0.3 =- 1,log0.32= . ,log50.5= . = - = . .-1lg 0.2
17、lg 0.30, . . , 即ca,故bca.故选 B. 6.若 lg 2=a,lg 3=b,则 log418= ( ) A. B. C. D. 答案 D log418= = .因为 lg 2=a,lg 3=b,所以 log418= .故选 D. 7.已知函数f(x)=lg - ,若 f(a)= ,则 f(-a)= ( ) A.2 B.-2 C. D.- 答案 D f(x)=lg - 的定义域为x|-1xf(x2)的解集为 ( ) A.( , ) B.(1,+) C.( , ) D.( , )(1,+) 答案 D 由(f(x) 2f(x2)得(lo x) 2lo x 2lo x(lo x-2
18、)0,即 lo x2 或 lo x0,解 得原不等式的解集为( , )(1,+). 10.若x、y、z均为正数,且 2 x=3y=5z,则 ( ) A.2x3y5z B.5z2x3y C.3y5z2x D.3y2x1),则 x=log2k,y=log3k,z=log5k, = = 1,则 2x3y, = = 1,则 2x5z,故选 D. 11.(2020 福建莆田第六中学模拟)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足 0mn,且f(m)=f(n), 若f(x)在m 2,n上的最大值为 2,则 = . 答案 9 解析 f(x)=|log3x|,实数m,n满足 0mn,且f(m)=f(n)
19、,0m12,不符合题意.故 =9. C 组 思维拓展 12.(2020 四川攀枝花第七中学模拟)设函数f(x)=|logax|(0a1)的定义域为m,n(mn),值域 为0,1,若n-m的最小值为 ,则实数 a的值为 . 答案 解析 作出y=|logax|(0a1)的大致图象如图所示,令|logax|=1,得x=a或x= ,又 1-a- ( - )=1-a- - =( - )( - ) 0,所以 1-a -1,所以 n-m的最小值为 1-a= ,即 a= . 13.若 loga(a 2+1)log a(2a)0 且a1,故必有a 2+12a,又 log a(a 2+1)log a(2a)0,所
20、以 0a1,所 以a .综上,实数 a的取值范围为( , ). 14.已知 2 x16 且 log 2x ,求函数 f(x)=log2 lo 的值域. 解析 由 2 x16 得 x4,log2x2, 又 log2x , log2x2, f(x)=log2 lo =(log2x-1)(log2x-2) =(log2x) 2-3log 2x+2 =( - ) - , 当 log2x= 时, f(x)min=- . 又当 log2x= 时, f(x)= ; 当 log2x=2 时, f(x)=0, 当 log2x= 时, f(x)max= . 故函数f(x)的值域是*- , +. 15.已知函数f(
21、x)=3-2log2x,g(x)=log2x. (1)当x1,4时,求函数h(x)=f(x)+1g(x)的值域; (2)如果对任意的x1,4,不等式f(x 2)f( )kg(x)恒成立,求实数 k的取值范围. 解析 (1)h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1) 2+2. 因为x1,4,所以 log2x0,2, 故函数h(x)的值域为0,2. (2)由f(x 2)f( )kg(x)得 (3-4log2x)(3-log2x)klog2x. 令t=log2x,因为x1,4, 所以t=log2x0,2, 所以(3-4t)(3-t)kt对任意的t0,2恒成立. 当t=0 时,kR; 当t(0,2时,k( - )( - ) 恒成立, 即k4t+ -15 恒成立. 因为 4t+ 12, 当且仅当 4t= ,即 t= 时取等号, 所以( - ) =-3,则 k-3. 综上,实数k的取值范围是(-,-3).
