1、燕博园燕博园 2021 届高三年级综合能力测试（届高三年级综合能力测试（CAT） （一）（一） 数学数学 （广东卷）（广东卷） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 5ZAxx， |24 x Bx，则AB （ ） A(2,5) B2,5) C2,3, 4 D3, 4,5 1答案：C 解析： 5 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4Axx Z， |24 |2 x Bxx x， 所以2,3, 4AB 2已知点( 4,9)A ，(6, 3)B，则以线段AB为直径的圆的方程为（ ） A(4)(6)(9)(3)61
2、xxyy B(4)(6)(9)(3)0 xxyy C(4)(6)(9)(3)61xxyy D(4)(6)(9)(3)0 xxyy 2答案：B 解析：在圆上任取一点( , )P x y，则APBP， (4,9) (6,3)(4)(6)(9)(3)0AP BPxyxxyxyy， 当点P与A或B重合时，上式仍然成立，所以圆的方程为(4)(6)(9)(3)0 xxyy 3下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ） Ayx x B 1 yx x C xx yee D 2 logyx 3答案：C 解析：选项 A，yx x的定义域为0,)，不关于原点对称，所以不是奇函数； 选项 B， 1
3、yx x 是奇函数，但是在区间(0,1)上单调递减； 选项 C，设( ) xx f xee，定义域为R，且()( ) xx fxeef x ，( )f x为奇函数， 又因为 x ye是增函数， x ye是减函数，所以( ) xx f xee在R上单调递增；故 C 正确 选项 D， 2 logyx是偶函数 4已知正六边形ABCDEF中， ABCDEF（ ） AAF BBE CCD D0 4答案：D 解析： 如图， 设正六边形的中心为O， 则E F O A，CDBO， 所以0ABCDEFABBOOA A B C D E F O 5若 5 (12)2 ( ,)Qaba b，则ab（ ） A60 B7
4、0 C80 D90 5答案：B 解析： 52345 (12)1 5 210 ( 2)10 ( 2)5 ( 2)( 2)4129 22ab ， 41a ，29b，70ab 6曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器， 全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调其初始四音为宫、徵、商、羽我国古代定音采用律管 进行“三分损益法”将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”） 或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音， 徵音 “益一”可得商音，商音“损一”可得羽音. 则羽音律管长度与宫音律
5、管长度之比是（ ） A 2 3 B 8 9 C 16 27 D 64 81 6答案：C 解析： 11124216 111 33333327 7已知函数( )sin()f xAx（A，均为正常数） ，相邻两个零点的差为 2 ，对任意x， 2 ( ) 3 f xf 恒成立，则下列结论正确的是（ ） A(2)( 2)(0)fff B(0)(2)( 2)fff C( 2)(0)(2)fff D(2)(0)( 2)fff 7答案：A 解析：设函数( )f x的最小正周期为T，则 22 T ，T， 2 2 T ， 当 2 3 x 时，函数( )f x取得最小值，取3.14，则( )f x在0.52,2.0
6、9上单调递减，在2.09,3.66上 单调递增，( 2)(1.14)ff，(0)(3.14)(1.04)fff，(1.04)(1.14)(2)fff， (0)( 2)(2)fff，故选 A 8若函数 2 1 ( ) x ax f x e (e为自然对数的底数)是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A0a B1a C0a D01 a 8答案：D 解析：依题意可知 2 12 ( )0 x ax fx e ax 恒成立， 2 210axax 恒成立， 当0a时，该式显然成立； 当0a时， 2 0 01 440 a a aa 综上可知，实数a的取值范围是0,1 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题
7、 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分 9近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类， 并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 t 生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表(单位：t) 根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则 下列说法正确的是（ ） “厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收垃圾 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A厨余垃
8、圾投放正确的概率为 2 3 B居民生活垃圾投放错误的概率为 3 10 C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收垃圾”箱、 “其他垃圾”箱的投放量的方差为 18000 9答案：ABC 解析：选项 A，厨余垃圾投放正确的概率为 4002 400 100 1003 ，故正确； 选项 B，居民生活垃圾投放错误的概率为100 100 303020203 = 100010 ，故正确； 可回收垃圾投放正确的概率为 2404 24030305 ，其他垃圾圾投放正确的概率为 603 6020205 ，所以 该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾，故 C 正
9、确； 选项 D，设 1 400 x ， 2 100 x ， 3 100 x ，则200 x ， 方差 2222 1(400 200)(100200)(100200) 20000 3 s ，故 D 错误 10函数( )()R a f xxa x 的大致图像可能是（ ） A B C D 10答案：ABD 解析：当0a时，( )f xx，对应选项 A； 当0a时，当0 x时，( ) a f xx x 为对勾函数的一部分，当0 x时，( ) a f xx x 单调递减，对 应选项 B； 当0a时，当0 x时，( ) a f xx x 单调递增，当0 x时，( ) aa f xxx xx ，其中 a x
10、 x 为对勾函数的一部分，对应选项 D故选 ABD 11已知方程 22 sinsin21xy，则（ ） A存在实数，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为 4 3 B存在实数，该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线 C存在实数，该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线，且双曲线的离心率为2 D存在实数，该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆，且椭圆的离心率为 3 3 11答案：CD 解析： 22 2sinsincos1xy， 选项 A，若该方程对应的图形是圆，则必有2cos1， 1 cos 2 ，此时 3 sin 2 ， 方程为 22 2 3 3 xy，此时圆的面积为 2 3 3 ，故 A 错误； 选项
11、B，要使该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线，则必有sin0，但此时sin20，方程不 成立，故 B 错误； 若该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线，且双曲线的离心率为2，则 11 sin2sincos ，解得 1 cos 2 ，且 3 sin 2 此时方程为 22 33 1 22 xy ，故 C 正确 该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆，且椭圆的离心率为 3 3 ，则 1 3 c a ，又由 222 abc， 可得 2 2 2 3 b a ， 可取 2 1 2sincos a ， 2 1 sin b ， 2 2 2 2cos 3 b a ， 解得 1 cos 3 ， 2 2 sin 3 ，
12、 此时方程为 22 2 24 2 1 39 xy，故 D 正确 12三棱锥VABC中，ABC是等边三角形，顶点V在底面ABC的投影是底面的中心，侧面VAB 侧面VAC，则（ ） A二面角VBCA的大小为 3 B此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为3 C点V到平面ABC的距离与VC的长之比为 3 3 D此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为 3 9 12答案：BCD 解析：将该三棱锥放在正方体当中，如图所示，设正方体的棱长为 1， 选项 A，取BC中点D，连接AD，VD，则ADV即为二面角VBCA的平面角， tan2 AV ADV DV ，显然 3 ADV ，故 A 错误； 选项 B， 此三棱锥的侧
13、面积为 13 31 1 22 ， 底面积为 2 33 ( 2) 42 ， 侧面积与底面面积之比为3， 故 B 正确； 在ADV中， 过点V作VEAD， 垂足为E， 易证得VE 平面ABC， 2 1 3 2 36 2 AV DV VE AD ， 所以 C 正确； 此三棱锥的体积 1 111 1 1 326 V ，外接球的半径 3 2 R ，外接球的体积 3 2 43 32 VR， 所以 1 2 3 9 V V V A B C D E 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13复数 1 i 2i z 的虚部是 13答案： 3 5 解析： 1 i(1 i)
14、(2i)1 3i 2i(2i)(2i)5 z ，其虚部为 3 5 14数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， * 1( 2)N nn SSn ，则 242n aaa 14答案： 41 3 n 解析：由 * 1( 2)N nn SSn ，可知数列 n S是首项为 1 1S ，公比为 2 的等比数列，所以 1 2n n S ， 当1n 时， 21 2SS，即 121 2aaa， 21 1aa，当2n时， 1 122 222 n n n n n n SaS ， 所以 21 242 1 4 1 444 1 4 41 3 n n n n aaa 15 若一个圆锥的轴截面是等边三角形， 其表面
15、积与体积的数值相等， 则该圆锥的底面半径为 ， 该圆锥的内切球体积为 （第一空 2 分，第二空 3 分) 15答案：3 3，36 解析：设圆锥的底面半径为r，则高3hr，母线长2lr，根据题意可得 22 1 3 r hrlr， 即 3222 3 23 3 rrrr， 解得3 3r ， 该三棱锥的内切球半径即为截面正三角形内切圆的半径， 为 13 3 33 hr，所以内切球的体积 3 4 336 3 V 16据报道，某地遭遇了 70 年一遇的沙漠蝗虫灾害在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危 害最大沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁 已知某蝗虫群在适宜的环
16、境条件下，每经过 15 天，数量就会增长为原来的 10 倍该蝗虫群当前有 1 亿只 蝗虫，则经过 天，蝗虫数量会达到 4000 亿只 （参考数据：lg20.30，lg30.48） 16答案：54 解析：设经过x天，蝗虫数量 x ya（单位：亿只） ，则15x 时，10y ，所以 15 10a， 1 15 10a ， 15 10 x y，令 15 104000 x ，则lg40002lg233.6 15 x ，15 3.654x 天 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n a满足： * 1( 1)22,N nn
17、aann ， 1 3a （1）求证：数列ln(1) n a 是等差数列， （2）求数列 n a的前n项和 n S 17解析： （1）证明： （1）因为 1 12(2,3,) nn aan ，则 1 21 nn aa 1 分 所以 1 1 11 122 ln(1)ln(1)lnlnln2 11 nn nn nn aa aa aa ，2,3,n ，4 分 所以数列ln(1) n a 是以首项为ln2，公差为ln2的等差数列 5 分 （2）由（1）得 1 ln(1)ln(1)(1)ln2ln2n n aan，7 分 则21 n n a 8 分 所以 1 2(1 2 ) 22 1 2 n n n Sn
18、n 10 分 18 （12 分）已知等腰三角形ABC，ABAC，D为边BC上的一点，90DAC，再从条件、 条 件、条件中选择两个作为已知，求ABD的面积及BD的长 条件6AB； 条件 1 cos 3 BAC ； 条件 3 6CD 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分 A B D C 18选择， 因为ABAC，6AB， 1 cos 3 BAC ， 所以, 2 BAC ，BC ， 222 2? cos96BCABACAB ACBAC 所以4 6BC ， 1 cos3 sinsin 23 BAC CB 5 分 因为90DAC，所以 1 sinsincos 23 BADBACBAC
19、 7 分 在RtACD中， 2 6 3 6 cos 1 sin AC DC C C 9 分 所以6BDBCCD 10 分 所以ABD的面积为 1 sin3 2 2 BDABB12 分 选择 因为90DAC，ABAC，6AB，3 6CD ， 所以 6 coscos 3 AC BC DC 5 分 所以 222 2cosABBCACBC ACC，即4 6BC 9 分 所以6BDBCCD10 分 所以ABD的面积为 1 sin3 2 2 BDABB12 分 选择 因为ABAC， 1 cos 3 BAC ， 所以 1 cos3 sinsin 23 BAC CB 5 分 因为90DAC，3 6CD ，所以
20、 2 cos3 61 sin6ACDCCC7 分 所以 22 2cos4 6BCABACAB ACBAC9 分 所以 6BDBCCD10 分 所以ABD的面积为 1 sin3 2 2 BDABB12 分 19 （12 分）如图，在直角梯形AEFB中，AEEF，且24BFEFAE，直角梯形 11 D EFC可以 通过直角梯形AEFB以直角EF为旋转轴得到 （1）求证：平面 11 C D EF 平面 1 BC F； （2）若二面角 1 CEFB为 3 ，求直线 1 C E与平面 1 ABC所成角的正弦值 A B E F C1 D1 19 （1） 证明： 在直角梯形AEFB中，AEEF， 且直角梯形
21、 11 D EFC是通过直角梯形AEFB以直线EF 为轴旋转而得， 1 分 所以 1 D EEF所以BFEF， 1 C FEF，3 分 又 1 BFC FF，所以EF 平面 1 BC F4 分 又EF 平面 11 C D EF，所以平面 11 C D EF 平面 1 BC F5 分 A B E F C1 D1 x y z （2）解：由（1）可知BFEF， 1 C FEF，因为二面角 1 CEFB为 3 ， 所以 1 3 C FB 6 分 过点F作平面AEFB的垂线，如图，建立空间直角坐标系Fxyz 由24BFEFAE，可得：(4,0,0)E， 1(0,2,2 3) C，(0,4,0)B，(4,
22、2,0)A， 所以( 4,2,0)AB ， 1 (0,2, 2 3)C B ， 1 ( 4,2,2 3)EC ，9 分 设平面 1 ABC的法向量为( , , )nx y z，则 1 0 0 n AB n C B ，即 420 22 30 xy yz ， 令1z ，则3y ， 3 2 x 于是 3 , 3,1 2 n 11 分 所以直线 1 C E与平面 1 ABC所成角的正弦值为 1 1 2 3114 3819 4 2 2 n EC nEC 12 分 20 （12 分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y(单 位： 3 g/m) 与样本对原点的距离x
23、(单位：m) 的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计理的 值 （表中 1 i i u x ， 9 1 1 9 i i uu ） x y u 9 2 1 () i i xx 9 2 1 () i i uu 9 2 1 () i i yy 9 1 ()() ii i xxyy 9 1 ()() ii i uuyy 6 97.90 0.21 60 0.14 14.12 26.13 1.40 （1）利用样本相关系数的知识，判断yabx与 d yc x 哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本 对原点的距离x的回归方程类型? （2）根据（1）的结果回答下列问题： （i）建立y关于x的回归方程； （i
24、i）样本对原点的距离20 x时，金属含量的预报值是多少? （3）已知该金属在距离原点 mx时的平均开采成本W（单位：元 ）与x，y关系为1000(ln )Wyx (1100)x，根据（2）的结果回答， x为何值时，开采成本最大? 附：对于一组数据 1122 ( , ),( ,),( ,) nn t st st s，其线性相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii ttss r ttss ， 其回归直线st的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttss tt ， st 20解析： （1）由题意知( ,) ii
25、x y的线性相关系数为 9 1 1 99 22 11 0.898 ii i ii ii xxyy r xxyy ，1 分 (), ii u y的线性相关系数为 9 1 2 99 22 11 ()() 0.996 ()() ii i ii ii uuyy r uuyy ，2 分 因为 12 rr，故 d yc x 更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型3 分 (i)令 1 u x ，先建立y关于u的线性回归方程，由于 9 1 9 2 1 1.40 10 0.14 ii i i i uuyy d uu ， 97.90 10 0.21100cydu， 所以y关于u的线性回归方程
26、为100 10yu，因此y关于x的回归方程为 10 100y x 6 分 (ii) 由(i)知，20 x时，金属含量的预报值是 10 10099.5 20 y 8 分 根据（2）的结果知，吸附物质储存成本W的预报值 10 ( ) 1000(ln )1000 100ln(1100)WW xyxxx x ，9 分 故 22 10110 ( )10001000(120) x W xx xxx ，令( )0W x，得10 x ( )W x与( )Wx在区间1,100的情况如下： x 1,10) 10 ( )Wx 0 ( ) W x 1000(99ln10) 11 分 所以，当10 x 时， ( )W
27、x取得最大值故10 x 时，开采成本最大12 分 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为B，直线:10m xy 过椭圆C的右焦点 F，点B到直线m的距离为 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C的左顶点为A，M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点，以点F为圆心，过点M的圆与x 轴的右交点为T，过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N，过点F作直线FEMT，交直线l于点 E求 BE EN 的值 21解析： （1）由题意可知( ,0)B a因为直线:10m xy 过椭圆C的右焦点F， 所以点F的坐标为(1, 0)1 分 因为点B到直线m的距离为 2 2 ，
28、所以 12 22 a 解得2a2 分 又因为 222 abc，可以解得 2 3b 3 分 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （2）由（1）可知( 2,0)A ，因为直线FEMT，由题意可知EF平分MFB 所以点E到直线MF的距离dBE5 分 设直线AM为(2)(0)yk xk，则(2,4 )Nk设(2, )Et， 00 (,)M xy 由 22 (2) 1 43 yk x xy ，得 2222 (43)1616120kxk xk， 所以0 ， 2 0 2 16 2 43 k x k ，所以 2 0 2 86 43 k x k ， 0 2 12 43 k y k 7 分 当MFx
29、轴时， 0 1,x 此时 1 , 2 k 所以(2,2)N 因为EF平分MFB，所以 4 EFB ，可得(2,1)E，所以1 BE EN 8 分 当MF不与x轴垂直时，此时 1 2 k ， 0 2 0 4 11 4 MF yk k xk 所以直线MF的方程为 2 4(41)40kxkyk9 分 因为点E在直线MF的右侧，所以 2 8(41)40kxktk， 所以点E到直线MF的距离 2 2 222222 8(41)4 8(41)4 16(41)16(41) kxktk kxktk d kkkk 所以 2 2 22 8414 2 1641 kxktk k kk 所以2tk所以1 BE EN 11
30、 分 综上，1 BE EN 12 分 22 （12 分）已知函数( )1 ln xa f x x ，Ra （1）讨论( )f x的零点个数； （2）记方程ln1xx 的根为 0 c，如果关于x的方程( )f xa有两个大于 1 的不等实数根，求a的取值范 围 22 （1）函数( )f x的定义域为(0,1)(1,)，且 ln ( ) ln xax f x x 令( )lnm xxax，则( )f x的零点个数等价于( )m x在(0,1)(1,)的零点个数1 分 由于 11 ( )1 x m x xx ，所以( )m x在区间(0,1)单调递减，区间(1,)单调递增， 且 min ( )(1)
31、1m xma 3 分 所以当1a时，( )0m x 恒成立，即( )f x的零点个数为 0；4 分 当1a 时，注意到 1111 ln0 aaaa ma eeee ，(1)0m， ()ln220 aaaa m eeaeeaeaa，从而( )f x的零点个数为 25 分 （2）解：由题意可知 22 lnln1 ( ) (ln )(ln ) xaa xx xx fx xx ， 因为当 2 max ,xea时，ln1ln1 10 a xx x ， 所以( ),(1,)fxx不可能恒为负数6 分 若( )0fx在区间(1,)上恒成立，即当(1,)x时，ln10 a x x 恒成立，即lnaxxx恒 成
32、立 令( )lnh xxxx，则( )ln0h xx ，从而( )h x在区间(1,)单调递减 又因为(1)1h，所以当( )0fx在区间(1,)上恒成立时，1a7 分 因为当1a 时，ln1 a x x 不可能恒为 0，所以( ),(1,)fxx的值有正有负， 令( )ln1 a g xx x ，则当1,(1,)ax时， 22 1 ( )0 axa g x xxx ， 所以( ),(1,)g xx是增函数 所以( ),(1,)fxx有唯一零点，不妨设为 0 x，8 分 如果关于x的方程( )f xa有两个大于 1 的不等实数根，则 0 ()f xa， 因为 0 0 ln10 a x x ，所
33、以 0 0 0 11 ln xa xa x ，即 0 1xa 所以ln(1) 10 1 a a a ，即 1 ln(1) 1 a a 9 分 因为方程ln1xx 的根为 0 c，所以 0 ce，且 0 1,ca即 0 1ca 所以 0 11ca 10 分 又因为取 1 2 10 1min, a xx e 时， 1 1 2 ln a x ，所以 1 11 1 120 lnln xaa a xx 取 1 2 2 max1,xae 时 2 1 ,2 ln x ，所以 2 22 1 120 lnln xa a xx 11 分 因此( )f x在 0 (1,)x， 0 (),x 上各有且只有一个根，满足题意所以a的取值范围为 0 (1)1,c 12 分
