1、第 1 页（共 12 页） 2021 年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（1） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 60 分每小题中只有一个选项是符合题分每小题中只有一个选项是符合题 意的，不选、多选、错选均不得分）意的，不选、多选、错选均不得分） 1 （4 分）如果0ab，0cd，则下列不等式中不正确的是( ) Aadbc B ab dc Cadbc Dacbd 2 （4 分）已知集合 |24Axx， |3Bx x或5x ，则(AB ) A |25xx B |4x x 或5x C |23xx
2、D |2x x 或5x 3 （4 分）定义域为R的四个函数 3 yx，2xy ， 2 1yx，2sinyx中，奇函数的个数 是( ) A4 B3 C2 D1 4 （4 分）已知三个数 0.7 6a ， 0.8 0.7b ， 0.7 0.8c ，则三个数的大小关系是( ) Aabc Bbca Ccba Dacb 5 （4 分）若等差数列 n a的前n项和 n S满足 4 4S ， 6 12S ，则 2 (S ) A1 B0 C1 D3 6 （4 分）已知点(a，2)(0)a 到直线:30l xy的距离为 1，则(a ) A2 B22 C21 D21 7 （4 分）已知点( 3, 1)A 和(4,
3、 6)B在直线:320lxya的两侧，则a的取值范围是( ) A( 24,7) B( 7,24) C(，7)(24，) D(，24)(7，) 8 （4 分）已知为第二象限角， 3 sincos 3 ，则cos2( ) A 5 3 B 5 9 C 5 9 D 5 3 9 （4 分）在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的 数字外完全相同 现从中随机取出 2 个小球， 则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率 是( ) A 3 10 B 1 5 C 1 10 D 1 12 第 2 页（共 12 页） 10 （4 分）若实数x，y满足条件 01 02 2
4、1 x y yx 剟 剟 ，则224zyx的最小值为( ) A3 B4 C6 D8 11 （4 分）已知向量(1, 3)a ，(cos ,sin )b，若/ /ab，则tan( ) A 3 3 B3 C 3 3 D3 12 （4 分）设不等式组 02 02 x y 剟 剟 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此 点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) A 4 B 2 2 C 6 D 4 4 13 （4 分）设函数2sin21yx的最小正周期为T，最大值为A，则( ) AT，1A B2T，1A CT，2A D2T，2A 14 （4 分）已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n
5、满足/ /m，n，则( ) A/ /ml B/ /mn Cnl Dmn 15 （4 分） 已知一组数据 1 x， 2 x， n x的平均值为 2， 方差为 1， 则 1 21x ， 2 21x ， 21 n x 平均值方差分别为( ) A5，4 B5，3 C3，5 D4，5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分将正确答案填在题中横线上）分将正确答案填在题中横线上） 16 （4 分）某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本
6、，若样本中的青年职 工为 7 人，则样本容量为 17 （4 分）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69， 1.77，则这组数据的中位数是 （米) 18 （4 分） 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升 19 （4 分）若点(4,3)A，(5, )Ba，(6,5)C三点共线，则a的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 个题，共个题，共 24 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算分解答时应写
7、出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤）步骤） 第 3 页（共 12 页） 20 （12 分）已知函数( )2sin(2)1 4 f xx （1）求它的振幅、最小正周期、初相； （2）画出函数( )yf x在, 2 2 上的图象 21 （12 分）已知四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA 的中点求证： （1）/ /PC平面EBD； （2）平面PBC 平面PCD 22 （12 分）等比数列 n a的各项均为正数，且 12 231aa， 2 326 9aa a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 31323 logloglog nn baaa，求数列 1
8、 n b 的前n项和 n T 第 4 页（共 12 页） 2021 年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 60 分每小题中只有一个选项是符合题分每小题中只有一个选项是符合题 意的，不选、多选、错选均不得分）意的，不选、多选、错选均不得分） 1 （4 分）如果0ab，0cd，则下列不等式中不正确的是( ) Aadbc B ab dc Cadbc Dacbd 【解答】解：:0A ab，0cd得：adbc，正确 B中，0ab
9、，0cd得 11 dc ：两边同乘得 ab dc ，正确 C中，若3a ，2b ，1c ，0d 时，错误； D中，中0ab，0cd两边同乘，不等号方向不变，正确； 故选：C 2 （4 分）已知集合 |24Axx， |3Bx x或5x ，则(AB ) A |25xx B |4x x 或5x C |23xx D |2x x 或5x 【解答】解：集合 |24Axx， |3Bx x或5x ， |23ABxx 故选：C 3 （4 分）定义域为R的四个函数 3 yx，2xy ， 2 1yx，2sinyx中，奇函数的个数 是( ) A4 B3 C2 D1 【解答】解： 3 yx的定义域为R，关于原点对称，且
10、 33 () xx，所以函数 3 yx为奇函 数； 2xy 的图象过点(0,1)，既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数； 2 1yx的图象过点(0,1)关于y轴对称，为偶函数； 2sinyx的定义域为R，关于原点对称，且2sin()2sinxx ，所以2sinyx为奇函数； 所以奇函数的个数为 2， 故选：C 第 5 页（共 12 页） 4 （4 分）已知三个数 0.7 6a ， 0.8 0.7b ， 0.7 0.8c ，则三个数的大小关系是( ) Aabc Bbca Ccba Dacb 【解答】解：指数函数6xy 在R上为单调增函数， 0.70 661a 指数函数0.7xy 在
11、R上为单调减函数， 0.80.70 0.70.70.71b 幂函数 0.7 yx在(0,)上为单调增函数， 0.70.7 0.70.81c acb 故选：D 5 （4 分）若等差数列 n a的前n项和 n S满足 4 4S ， 6 12S ，则 2 (S ) A1 B0 C1 D3 【解答】解：等差数列 n a的前n项和 n S满足 4 4S ， 6 12S ， 2 S， 42 SS， 64 SS成等差数列， 42264 2()()SSSSS， 即 22 2(4)8SS， 解得 2 0S 故选：B 6 （4 分）已知点(a，2)(0)a 到直线:30l xy的距离为 1，则(a ) A2 B2
12、2 C21 D21 【解答】解：由点到直线的距离公式得： |23| 1 1 1 a ， 即2 |1|a， 0a ， 21a 故选：C 7 （4 分）已知点( 3, 1)A 和(4, 6)B在直线:320lxya的两侧，则a的取值范围是( ) A( 24,7) B( 7,24) C(，7)(24，) D(，24)(7，) 【解答】解：点( 3, 1)A 和(4, 6)B在直线:320lxya的两侧， 第 6 页（共 12 页） ( 3) 32 ( 1)3 42 ( 6)0aa ， 化为(7)(24)0aa， 解得724a 故选：B 8 （4 分）已知为第二象限角， 3 sincos 3 ，则co
13、s2( ) A 5 3 B 5 9 C 5 9 D 5 3 【解答】解： 3 sincos 3 ，两边平方得： 1 1sin2 3 ， 2 sin2 3 ， 2 5 (sincos)1sin2 3 ， 为第二象限角， sin0，cos0， 15 sincos 3 ， cos2(sincos )(sincos ) 153 () 33 5 3 故选：A 9 （4 分）在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的 数字外完全相同 现从中随机取出 2 个小球， 则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率 是( ) A 3 10 B 1 5 C 1 10 D 1
14、12 【解答】解：随机取出 2 个小球得到的结果数有 2 5 1 5410 2 C 种 取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的结果为1，2，1，5，2，4共 3 种， 3 10 P， 故选：A 第 7 页（共 12 页） 10 （4 分）若实数x，y满足条件 01 02 21 x y yx 剟 剟 ，则224zyx的最小值为( ) A3 B4 C6 D8 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由224zyx得 1 2 2 yxz， 平移直线 1 2 2 yxz，由图象知当直线经过C点时，直线的截距最小，此时z最小， 由 1 21 x yx 得 1 1 x y ，即(1,1)C， 此
15、时2244z ， 故选：B 11 （4 分）已知向量(1, 3)a ，(cos ,sin )b，若/ /ab，则tan( ) A 3 3 B3 C 3 3 D3 【解答】解：根据题意，向量(1, 3)a ，(cos ,sin )b， 若/ /ab，则有1 sin3cos， 变形可得 13 cossin ， 则tan3； 故选：B 12 （4 分）设不等式组 02 02 x y 剟 剟 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此 第 8 页（共 12 页） 点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) A 4 B 2 2 C 6 D 4 4 【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为 2
16、的正方形，面积为 1 4S ， 满足到原点的距离大于 2 所表示的平面区域是以原点为圆心，以 2 为半径的圆外部， 面积为 2 2 2 44 4 S ， 在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 4 4 P 故选：D 13 （4 分）设函数2sin21yx的最小正周期为T，最大值为A，则( ) AT，1A B2T，1A CT，2A D2T，2A 【解答】解：函数2sin21yx， 函数的周期 2 2 T ， 1 sin21x 剟， 当sin21x 时，函数取的最大值， 即2 1 1A ， 故选：A 14 （4 分）已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足/ /m，
17、n，则( ) A/ /ml B/ /mn Cnl Dmn 【解答】解：互相垂直的平面，交于直线l，直线m，n满足/ /m， / /m或m或m与相交，l， n， 第 9 页（共 12 页） nl 故选：C 15 （4 分） 已知一组数据 1 x， 2 x， n x的平均值为 2， 方差为 1， 则 1 21x ， 2 21x ， 21 n x 平均值方差分别为( ) A5，4 B5，3 C3，5 D4，5 【解答】解：因为 1 x， 2 x， n x的平均值为x， 所以 1 21x 、 2 21x 、21 n x 的平均值为 12 3() n xxx n 即为215x ， 其方差为 222 12
18、 1 ()()() n xxxxxx n ， 新数列的方差为： 2 12 1(2 121)(2121)(2121) n xxxxxx n 222 12 1 4()()() n xxxxxx n ， 4， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分将正确答案填在题中横线上）分将正确答案填在题中横线上） 16 （4 分）某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职 工为 7 人，则样本容量为 15 【解答】
19、解：根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率等于 71 35050 设样本容量等于n，则有 1 75050 n ，解得15n ， 故答案为 15 17 （4 分）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69， 1.77，则这组数据的中位数是 1.76 （米) 【解答】解：6位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80， 位于中间的两个数值为 1.75，1.77， 这组数据的中位数是：1.75 1.77 1.76 2
20、（米) 故答案为：1.76 18 （4 分） 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等 第 10 页（共 12 页） 差数列， 上面 4 节的容积共为 3 升， 下面 3 节的容积共 4 升， 则第 5 节的容积为 67 66 升 【解答】解：由题设知 1 11 43 43 2 9 865 (9)(6)4 22 ad adad ， 解得 1 137 , 2266 ad， 5 13767 4 226666 a 故答案为： 67 66 19 （4 分）若点(4,3)A，(5, )Ba，(6,5)C三点共线，则a的值为 4 【解答】解：(4,3)A，(5, )Ba，(
21、6,5)C三点共线， ABAC kk 353 5464 a ，化为31a ，解得4a 故答案为 4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 个题，共个题，共 24 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤）步骤） 20 （12 分）已知函数( )2sin(2)1 4 f xx （1）求它的振幅、最小正周期、初相； （2）画出函数( )yf x在, 2 2 上的图象 【解答】解： （1）由函数( )2sin(2)1 4 f xx ， 振幅2A ，最小正周期 22 2 T ，初相 4 ， （2）, 2 2 x 做出函数图象如图， 5 2
22、44 x ， 3 4 ， 列表： 2 4 x 5 4 2 0 2 3 4 x 2 3 8 8 8 3 8 2 y 1 0 2 0 2 1 作图： 第 11 页（共 12 页） 21 （12 分）已知四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA 的中点求证： （1）/ /PC平面EBD； （2）平面PBC 平面PCD 【解答】证明： （1）连接AC交BD与O，连接EO， E，O分别为PA，AC的中点， / /EOPC 又PC 平面EBD，EO 平面EBD， / /PC平面EBD （2）PD 平面ABCD，BC 平面ABCD， PDBC， ABCD为正方形，BCCD，
23、又PDCDD， BC平面PCD， BC 平面PBC， 平面PBC 平面PCD 第 12 页（共 12 页） 22 （12 分）等比数列 n a的各项均为正数，且 12 231aa， 2 326 9aa a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 31323 logloglog nn baaa，求数列 1 n b 的前n项和 n T 【解答】解： （1）设数列an的公比为q，由 2 326 9aa a得 22 34 9aa所以 2 1 9 q 由条件可知0q ，故 1 3 q 由 12 231aa，得 11 231aa q，所以 1 1 3 a 故数列 n a的通项式为 1 3 n n a （6 分） （2） (1 2 3) 313233123 (1) loglogloglog ()log (3)(123) 2 n nnn n n baaaa aan 故 1211 2() (1)1 n bn nnn ， 数列 1 n b 的前n项和： 12 111111112 2(1)()() 22311 n n n T bbbnnn 所以数列 1 n b 的前n项和为： 2 1 n n T n （12 分）
