1、第 1 页（共 18 页） 2021 年广西桂林市、崇左市高考数学联考试卷（文科） （二模）年广西桂林市、崇左市高考数学联考试卷（文科） （二模） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1，2， 2 |Bx xx，则(AB ) A0 B1 C0，1 D0，1，2 2 （5 分）复数 2 1 i z i 的模为( ) A1 B2 C3 D2 3 （5 分）已知 1 2 23,1 ( )? log (1),1
2、x x f x x x ，则( ( 3)(f f ) A1 B1 C2 D2 4 （5 分）若sincos?2，则sin2( ) A1 B1 C 1 ? 2 D 1 ? 2 5 （5 分）已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为(2,0)F，且其离心率为 1 ? 2 ，则C的方 程为( ) A 22 1 1612 xy B 22 1 164 xy C 22 1 169 xy D 22 1 42 xy 6 （5 分）已知数列 n a为等差数列， n S是其前n项和，且 357 90aaa，则 9 (S ) A200 B270 C250 D150 7 （5 分）函数( ) x f xeax在0 x 处
3、的切线与直线10axy 平行，则实数(a ) A1 B1 C 1 ? 2 D 1 ? 4 8 （5 分） 聊斋志异中有这样一首诗： “挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无 所阻，额上坟起终不悟 ”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术” ： 22 22 33 ， 33 33 88 ， 44 44 1515 ， 55 55 2424 则按照以上规律，若 88 88 nn 具有“穿墙术” ，则(n ) A7 B35 C48 D63 第 2 页（共 18 页） 9 （5 分）若圆 22 :(2)(1)4Cxy恰好被直线:1(0,0)l axbyab平分，则 12 ab 的 最小值为( )
4、A8 2 B6 2 C8 D6 10 （5 分）函数 2 ( )sin(1)f xx lnxx的图象大致为( ) A B C D 11 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2a ， 1nn aS ，若(0,2020) n a ，则称项 n a 为“和谐项” ，则数列 n a的所有“和谐项”的平方和为( ) A 11 18 4 33 B 11 14 4 33 C 10 18 4 33 D 12 14 4 33 12 （5 分） 已知 1 F， 2 F为双曲线 22 22 :?1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点，点A为双曲线E 右支上一点，G为 12 AFF的内心，
5、若G到y轴的距离为2b，且 11 22 ? GAFGF FGAF SSS， 则( ) A 5 5 B 2 5 5 C 2 2 D 3 3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知向量(2,3)a ，(4,1)bmm，若0a b，则m 14 （5 分）设变量x，y满足约束条件 3 ?5 0 21 0 x xy xy ，则2zxy的最大值为 15 （5 分） 已知函数( )22sin(?)(0 3 f xx ，0)为奇函数， 且曲线( )yf x 相邻两对称轴之间的距离为? 2 ，则(?) 6 f 16 （5 分）已知函数( )(2)
6、1f xxlnxa有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题 第 3 页（共 18 页） 考生都必须作答。第考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 s i ns i ns i n ? ACB c bc a （1）求角A的大小； （2）若2? 3a ，且2? 3
7、ABC S，求ABC的周长 18 （12 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G分别为AB，BC， 1 CC 的中点 （1）证明： 11/ / AC平面EFG； （2）求三棱锥 1 AEFG的体积 19 （12 分）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的 举措某市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、 衣帽、玩具、饰品、果蔬等，各类商贩所占比例如图 （1） 该市城管委为了更好地服务百姓， 打算从流动商贩中随机抽取 100 家进行政策问询 如 果按照分层抽样的方式抽取，请问果蔬类、小吃类商贩各抽取多
8、少家？ （2） 为了更好的了解商贩的收入情况， 工作人员对某果蔬商贩最近 50 天的日收入进行了统 计（单位：元） ，所得频率分布直方图如图所示： （） 请根据频率分布直方图估计该果蔬商贩的日平均收入 （同一组中的数据用该组区间的 中间值代替） ； （）若从该果蔬商贩这 50 天中日收入不低于 250 元的天数中随机抽取 2 天，求这 2 天的 日收入至少有一天不低于 300 元的概率 第 4 页（共 18 页） 20 （12 分）已知函数( )?(1) lnx f xa x x （1）若0a ，求( )f x的单调区间； （2）若( )( )g xxf x，且对任意的1x，)有( ) 0g
9、x ，求a的取值范围 21 （12 分）已知抛物线 2 :4E yx的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过F的直线m与 抛物线E交于A、B两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M （1）若直线m的斜率为? 3，求 | ? | AF BF 的值； （2）设AB的中点为N，若O、M、N、F四点共圆，求直线m的方程 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中
10、，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系， 曲线M的极坐标方程为2cos， 若极坐标系内异于O的三点 1 (A，)， 2 (B， ) 6 ， 3 (C， 1 )( 6 ， 2 ， 3 0)都在曲线M上 （1）求证： 123 3； （2）若过B，C两点直线的参数方程为 3 2 2 ( 1 2 xt t yt 为参数） ，求四边形OBAC的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数a，b，c，满足1abc （1）若a，bR，0c ，求证： 22 1125 ()() 2 ab ab ； （2）设abc， 222 1abc，求证：1ab 第 5 页（共 18 页） 第
11、6 页（共 18 页） 2021 年广西桂林市、崇左市高考数学联考试卷（文科） （二模）年广西桂林市、崇左市高考数学联考试卷（文科） （二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1，2， 2 |Bx xx，则(AB ) A0 B1 C0，1 D0，1，2 【解答】解：集合 1A ，0，1，2， 2 | 0Bx xx，1， 0AB，1 故选：C 2 （5 分）复数 2
12、 1 i z i 的模为( ) A1 B2 C3 D2 【解答】解： 22 (1)22 1 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 故|2z ， 故选：B 3 （5 分）已知 1 2 23,1 ( )? log (1),1 x x f x x x ，则( ( 3)(f f ) A1 B1 C2 D2 【解答】解：根据题意， 1 2 23,1 ( )? log (1),1 x x f x x x ， 则 2 ( 3)log 42f ， ( ( 3)f ff（2）231 ， 故选：B 4 （5 分）若sincos?2，则sin2( ) A1 B1 C 1 ? 2 D 1 ? 2 【解答】解：
13、sincos? 2，平方可得12sincos1sin22 ， 第 7 页（共 18 页） 则sin21， 故选：A 5 （5 分）已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为(2,0)F，且其离心率为 1 ? 2 ，则C的方 程为( ) A 22 1 1612 xy B 22 1 164 xy C 22 1 169 xy D 22 1 42 xy 【解答】解：中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为(2,0)F，且其离心率为 1 ? 2 ， 所以2c ，4a ，所以 22 12bac， 所以椭圆方程为： 22 1 1612 xy 故选：A 6 （5 分）已知数列 n a为等差数列， n S是其前n项和，且 3
14、57 90aaa，则 9 (S ) A200 B270 C250 D150 【解答】解：因为等差数列 n a中， 3575 390aaaa， 所以 5 30a ，则 19 95 9() 9270 2 aa Sa 故选：B 7 （5 分）函数( ) x f xeax在0 x 处的切线与直线10axy 平行，则实数(a ) A1 B1 C 1 ? 2 D 1 ? 4 【解答】解：函数( ) x f xeax的导数为( ) x f xea， 可得在0 x 处的切线的斜率为1a， 由切线与直线10axy 平行，可得1aa， 解得 1 2 a ， 故选：C 8 （5 分） 聊斋志异中有这样一首诗： “挑
15、水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无 所阻，额上坟起终不悟 ”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术” ： 22 22 33 ， 33 33 88 ， 44 44 1515 ， 55 55 2424 第 8 页（共 18 页） 则按照以上规律，若 88 88 nn 具有“穿墙术” ，则(n ) A7 B35 C48 D63 【解答】解 22 2222 2222 321321 ， 2 333 333 8318 ， 2 444 444 154115 ， 2 555 555 245124 则按照以上规律 88 88 nn ，可得 2 8163n ， 故选：D 9 （5 分）若圆 22 :(2
16、)(1)4Cxy恰好被直线:1(0,0)l axbyab平分，则 12 ab 的 最小值为( ) A8 2 B6 2 C8 D6 【解答】解：因为直线:1l axby平分圆 22 :(2)(1)4Cxy， 所以圆心(2,1)C在直线l上，则有21ab， 所以 121244 ()(2)4 248 baba ab abababab ， 当且仅当 4ba ab ，即 1 2 2 ba时取等号， 所以则 12 ab 的最小值为 8 故选：C 10 （5 分）函数 2 ( )sin(1)f xx lnxx的图象大致为( ) A B C D 【解答】解：根据题意， 2 ( )sin(1)f xx lnxx
17、，则 22 ()sin()(1)sin(1)( )fxx lnxxx lnxxf x ， 第 9 页（共 18 页） 即函数( )f x为偶函数，排除A、B， 2 2 1 ( )sin(1)sin() 1 f xx lnxxx ln xx ， 在 区 间(0, )上 ，s i n0 x ， 2 1 ()0 1 ln xx ，则( )0f x ，排除D； 故选：C 11 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2a ， 1nn aS ，若(0,2020) n a ，则称项 n a 为“和谐项” ，则数列 n a的所有“和谐项”的平方和为( ) A 11 18 4 33 B 11
18、14 4 33 C 10 18 4 33 D 12 14 4 33 【解答】解：因为 1nn aS ，所以 1( 2) nn aSn ，则 11nnnn aaSS ，即 1nnn aaa ， 1 2 nn aa ， 所以 1 2(2) n n a n a ，因为 1 2a ，所以 211 2aSa， 故 1 2,2 2,1 n n n a n ， 因为(0,2020) n a ，所以111n剟， 于是数列 n a 的所有“和谐项“的平方和为： 1011 222221011 121011 4(14 )4418 4444444 14333 aaaa ， 故选：A 12 （5 分） 已知 1 F，
19、2 F为双曲线 22 22 :?1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点，点A为双曲线E 右支上一点，G为 12 AFF的内心，若G到y轴的距离为2b，且 11 22 ? GAFGF FGAF SSS， 则( ) A 5 5 B 2 5 5 C 2 2 D 3 3 【解答】解：设 12 AFF的内切圆的半径r， 由 11 22 ? GAFGF FGAF SSS， 可得 1221 111 | 222 rAFrAFrF F ， 即为 1221 | |AFAFF F ， 即为 1221 |AFAFF F， 由点P为双曲线右支上一点， 第 10 页（共 18 页） 由定义可得22ac， 即ac，
20、 由 1c e a ， 若G到y轴的距离为2b， 可得2ab， 即 2 2 5 1 2 b e a ，则 2 5 5 ， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知向量(2,3)a ，(4,1)bmm，若0a b，则m 1 【解答】解：向量(2,3)a ，(4,1)bmm， 0a b， 可得2(4)3(1)0mm，解得1m 故答案为：1 14 （5 分）设变量x，y满足约束条件 3 ?5 0 21 0 x xy xy ，则2zxy的最大值为 11 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 11 页（共 18 页） 联立
21、3 210 x xy ，解得(3,5)A， 由2zxy，得2yxz ，由图可知，当直线2yxz 过A时， 直线在y轴上的截距最大，z有最大值为23511 故答案为：11 15 （5 分） 已知函数( )22sin(?)(0 3 f xx ，0)为奇函数， 且曲线( )yf x 相邻两对称轴之间的距离为? 2 ，则(?) 6 f 11 3 【解答】由函数( )22sin(?) 3 f xx 为奇函数，所以(0)22sin()0 3 f ， 即sin()0 3 ，所以 3 k ，kZ， 解得 3 k ，kZ， 又0，所以 3 ， 又曲线( )yf x相邻两对称轴之间的距离为? 2 ，所以 22 T
22、 ， 解得T，所以 2 2 T ， 所以( )22sin2f xx， 所以(?)22sin(2)22sin11 3 663 f 故答案为：11 3 16 （5 分）已知函数( )(2)1f xxlnxa有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 (22 2,)ln 【解答】解：函数( )(2)1f xxlnxa， 第 12 页（共 18 页） 即为ya与 1 ( )2g xlnx x 有两个不同的交点， 22 2121 ( ) x g x xxx ， 1 0 2 x时，( )0g x，函数( )g x递减， 1 2 x 时，( )0g x，函数( )g x递增， 11 ( )( )2222 2 2
23、2 min g xglnln， ya与 1 ( )2g xlnx x 有两个不同的交点时，需222aln， 故答案为：(22 2,)ln 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 s i ns i ns i n ? ACB c bc a （1
24、）求角A的大小； （2）若2? 3a ，且2? 3 ABC S，求ABC的周长 【解答】解： （1）由 sinsinsin ? ACB cbca ， 利用正弦定理可得：()()()ac cab cb， 化为： 222 cbabc， 222 1 cos 22 cba A bc ， (0, )A， 3 A （2）2? 3a ，且2? 3 ABC S， 第 13 页（共 18 页） 222 (2 3)cbbc， 1 sin2 3 23 bc ， 化为： 2 ()3123 8 1236bcbc ， 解得6bc， ABC的周长62 3bca 18 （12 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱
25、长为 2，E，F，G分别为AB，BC， 1 CC 的中点 （1）证明： 11/ / AC平面EFG； （2）求三棱锥 1 AEFG的体积 【解答】 （1）证明：由正方体的性质可知 11/ / ACAC， 因为E，F分别为AB，BC的中点，所以/ /ACEF， 所以 11/ / ACEF， 11 AC 平面EFG，EF 平面EFG， 所以 11/ / AC平面EFG； （2）解：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2E，1，0)，(1F，2，0)，(0G，2，1)， 1(2 A，0，2)， 设平面EFG的一个法向量为( , , )nx y z， 而( 1,1,0)EF ，( 2
26、,1,1)EG ， 1 (0,1, 2)AE ， 所以 0 20 EF nxy EG nxyz ，不妨令1x ，则1y ，1z ， 所以(1n ，1，1)， 所以 1 A到平面EFG的距离为 1 |12|3 |33 AE n d n ， 点G到EF的距离为 2 6 2 d ， 第 14 页（共 18 页） 所以三棱锥 1 AEFG的体积 1 112 1111631 |2 3326236 AEFGEFG VSdEFdd 19 （12 分）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的 举措某市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、 衣帽
27、、玩具、饰品、果蔬等，各类商贩所占比例如图 （1） 该市城管委为了更好地服务百姓， 打算从流动商贩中随机抽取 100 家进行政策问询 如 果按照分层抽样的方式抽取，请问果蔬类、小吃类商贩各抽取多少家？ （2） 为了更好的了解商贩的收入情况， 工作人员对某果蔬商贩最近 50 天的日收入进行了统 计（单位：元） ，所得频率分布直方图如图所示： （） 请根据频率分布直方图估计该果蔬商贩的日平均收入 （同一组中的数据用该组区间的 中间值代替） ； （）若从该果蔬商贩这 50 天中日收入不低于 250 元的天数中随机抽取 2 天，求这 2 天的 日收入至少有一天不低于 300 元的概率 【解答】解： （
28、1）由扇形统计图可知，果蔬类商贩所占比例为15%，故果蔬类商贩抽取 15% 10015家， 第 15 页（共 18 页） 小 吃 类 商 贩 所 占 比 例 为125%15%10%5%5%40%， 故 小 吃 类 商 贩 抽 取 40% 10040家； （2）( ) i估计该果蔬商贩的日平均收入为： (0.002750.00561250.00641750.0042250.00122750.0008325)50173 元； ( )ii日收入不低于 250 元的天数为(0.00120.0008) 50 505天， 日收入不低于 300 元的天数为0.000850502天， 所以这 2 天的日收入至
29、少有一天不低于 300 元的概率为 112 232 2 5 7 10 C CC C 20 （12 分）已知函数( )?(1) lnx f xa x x （1）若0a ，求( )f x的单调区间； （2）若( )( )g xxf x，且对任意的1x，)有( ) 0g x ，求a的取值范围 【解答】解： （1）0a 时，( ) lnx f x x ，则 2 1 ( )(0) lnx fxx x ， 令( )0fx，解得0 xe，令( )0fx，解得xe， 故( )f x在(0, ) e递增，在( ,)e 递减； （2） 2 ( )( )()(1)g xxf xlnxa xx x， 若( ) 0g
30、x 在1，)上恒成立，即 2 () 0lnxa xx在1，)上恒成立， 令 2 ( )h xxx，则( )210h xx 在1，)上恒成立， 故( )h x在1，)递增，故( )h xh（1）0， 1x 时，g（1）0 0 恒成立， 1x 时，问题转化为 2 lnx a xx 在1，)恒成立， 令 2 ( ) lnx s x xx ，1x，)，则 22 12 ( ) () xxlnxlnx s x xx ， 令( )12(1)t xxxlnxlnx x ， 则 1 ( )12t xlnx x ， 2 21 ( )0tx xx ， 故( )t x在1，)递增，故( )t xt（1）0， 故( )
31、t x在1，)递增，( )t xt（1）0， 故( ) 0s x，( )s x在1，)递增， 第 16 页（共 18 页） 故( )s x的最小值是s（1）1， 故1a，即a的取值范围是(，1 21 （12 分）已知抛物线 2 :4E yx的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过F的直线m与 抛物线E交于A、B两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M （1）若直线m的斜率为? 3，求 | ? | AF BF 的值； （2）设AB的中点为N，若O、M、N、F四点共圆，求直线m的方程 【解答】解： （1）如图， 由抛物线 2 4yx，得(1,0)F，则直线m的方程为3(1)yx， 联立 2
32、3(1) 4 yx yx ，得 2 31030 xx， 解得： 1 1 3 x ， 2 3x ， 不妨设A在第一象限，则3 A x ， 1 3 B x ， 则| 3 14AF ， 14 |1 33 BF ， |4 3 4 | 3 AF BF ； （2）设直线m的方程为1xty，由题意可得0t ， 否则，N与F重合，不存在O、M、N、F四点共圆， 把1xty代入 2 4yx，得 2 440yty 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 4yyt， 12 4y y 第 17 页（共 18 页） 2222 2121212 12 ()2(4 )8 42 444 yyyyy
33、yt xxt ， 2 (21Nt，2 ) t 直线m的斜率为 1 t ，直线n的斜率为t ，则直线n的方程为(1)yt x 由 1 (1) x yt x ，解得( 1,2 )Mt 若O、M、N、F四点共圆，再结合FNFM，得OMON， 则 22 1 (21)22210OM ONtttt ，解得 2 2 t ， 直线m的方程为2(1)yx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平
34、面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系， 曲线M的极坐标方程为2cos， 若极坐标系内异于O的三点 1 (A，)， 2 (B， ) 6 ， 3 (C， 1 )( 6 ， 2 ， 3 0)都在曲线M上 （1）求证： 123 3； （2）若过B，C两点直线的参数方程为 3 2 2 ( 1 2 xt t yt 为参数） ，求四边形OBAC的面积 【 解 答 】 解 （ 1 ） 由 1 2 c o s， 2 2cos() 6 ， 3 2cos() 6 ， 则 231 2 c o s ()2 c o s ()23 c o s3 66 ； （2）由曲线M的普通方程为：
35、22 20 xyx，联立直线BC的参数方程得： 2 30tt 解得 1 0t ， 2 3t ；平面直角坐标为： 1 ( 2 B， 3) 2 ，(2,0)C 则 2 1， 3 2， 6 ；又得 1 3 即四边形面积为 1213 113 3 sinsin 26264 OBAC S 为所求 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数a，b，c，满足1abc 第 18 页（共 18 页） （1）若a，bR，0c ，求证： 22 1125 ()() 2 ab ab ； （2）设abc， 222 1abc，求证：1ab 【解答】证明： （1）0c 时，1ab， 22 22 1111 ()()2()() 11 ()() 2 abab abab ab ab 22 1111 ()()(1) 22 ab abab ， a，bR，1ab， 1111 ()()2224 bab a ab abababa b ， 从而： 2 22 11(14)25 ()() 22 ab ab 当且仅当 1 11 ab ab ab ba ab ，即 1 2 ab时取等号； （2）假设1ab ，则由1abc，知0c，故0abc ， 又由 2222 ()221abcabcababcac， 得0abbcac， 但由0abc ，知0abbcac，矛盾， 故假设1ab 不成立，则1ab
