1、上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编六上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编六 1. （华二）四个互不相等的整数（华二）四个互不相等的整数DCBA、，满足下列关系式，则，满足下列关系式，则D可能有可能有 个取值。个取值。 D B D D DD B D D D + + B C A D AB C A D A A B B C BA B B C B 解：结合万位数、百位数、个位数得：解：结合万位数、百位数、个位数得：DBA ，结合千位数、十位数得：，结合千位数、十位数得：0 C， DCBA、互不相等互不相等 D可能取可能取9876543、。共。共7个。个。 2. （ 上 中 ） 设（ 上 中 ） 设
2、zyx、为 整 数 且 满 足为 整 数 且 满 足1| 20132012 zyyx， 则 代 数 式， 则 代 数 式 333 |xzzyyx。 解：解：zyx、为整数，为整数， |yx 、|zy 都是自然数，都是自然数， 1| 20132012 zyyx 0| 1| zy yx 或或 1| 0| zy yx zy yx1| 或或 1|zy yx 2| 333 xzzyyx 3. （复附）已知（复附）已知 yxpxy 2，p为奇质数，求满足条件的为奇质数，求满足条件的yx、)(yx 的整数解。的整数解。 解：解： yxpxy 2 0224 pypxxy 2 )2)(2(ppypx yx、为整
3、数，且为整数，且yx px 2、py 2为整数，且为整数，且px 2py 2 2 2 12 ppy px 或或 12 2 2 py ppx 2 2 1 2 pp y p x 或或 2 1 2 2 p y pp x 。 4. （交附（交附）先计算）先计算14321 ，15432 的结果，再推导出一般式并证明。的结果，再推导出一般式并证明。 解：解：2514321 ，12115432 一般式为：一般式为： 22 )13(1)3)(2)(1( nnnnnn 证明：证明：1)3)(2)(1( nnnn 1)23)(3( 22 nnnn 1)3(2)3( 222 nnnn 22 )13( nn. . 5
4、. （建平（建平）如图，在直角坐标系）如图，在直角坐标系xoy中，中，RtOAB和和RtOCD的直角顶点的直角顶点CA、始终在始终在x轴轴 的正半轴上，的正半轴上，DB、在第一象限内，点在第一象限内，点B在直线在直线OD上方，上方，CDOC ，2 OD，M为为OD的的 中点，中点，AB与与OD相交于相交于E，当点，当点B位置变化时，位置变化时，RtOAB的面积恒为的面积恒为 2 1 。 试解决下列问题：试解决下列问题： （1）设点）设点B横坐标为横坐标为t，请把，请把BD长表示成关于长表示成关于t的函数关系式，并化简；的函数关系式，并化简； （2）等式）等式BDBO 能否成立？为什么？能否成立
5、？为什么？ （3）设）设CM与与AB相交于相交于F，当，当BDE为直角三角形时，判断四边形为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明的形状，并证明 你的结论。你的结论。 x x y y E E F F M M A A C C O O D D B B 解：点解：点B横坐标为横坐标为t，RtOAB的面积恒为的面积恒为 2 1 。 ) 1 ,( t tB（0 t） CDOC ，2 OD， )2,2(D 22 )2 1 ()2( t tBD 4) 1 (22 1 2 2 t t t t 2 )2 1 ( t t |2 1 | t t， （， （2 1 t t） 2 1 t t。 （2）若）若BD
6、BO ，则点，则点B在线段在线段OD的垂直平分线上的垂直平分线上 易知易知CM为线段为线段OD的垂直平分线的垂直平分线 点点B在直线在直线2: xylCM上上 2 1 t t 2 1 t t显然无解（显然无解（2 1 t t） 等式等式BDBO 不能成立。不能成立。 （也可利用（也可利用BDBO 列出关于列出关于t的方程解）的方程解） （3）易知）易知CDAB/， 45BED 若若 90BDE，则，则CFBD/，四边形，四边形BDCF为平行四边形，为平行四边形， 2 BFCDtOAOCACAF 2，FBAFAB ， 22 1 t t ，22 1 t t BDCD t t 22 1 平行四边形平
7、行四边形BDCF为菱形；为菱形； 若若 90DBE，则，则ACBD/，2 CDAB， 2 2 t，四边形，四边形BDCF 为直角梯形；为直角梯形； 6. （交附）已知，在（交附）已知，在ABC中，中，1 BCAC， 36C，求，求ABC的面积的面积S。 解：作解：作CAB 的平分线的平分线AD，设，设xAB ,则则xCDAD ,xBD 1, 易知易知BADBCA BCBDBA 2 xx 1 2 解得：解得： 2 15 x（负值舍）（负值舍）.（即（即ABC为黄金三角形）为黄金三角形） 过过A作作BCAE 于于E。 2 2 22222 ) 2 () 2 1 ( x x x xBEABAE 2 5
8、3 2 x 4 5210 AE， 8 5210 2 1 AECBS. . 7. （复附）若（复附）若a、b、c为正有理数，为正有理数， 证明： （证明： （1）若）若ba 为有理数，则为有理数，则a、b为有理数。为有理数。 （2）若）若cba 为有理数，则为有理数，则a、b、c为有理数。为有理数。 解： （解： （1）设）设mba (m为正有理数为正有理数) bma bmbma2 2 m abm b 2 2 m abm ma 2 2 a，b为有理数为有理数 （2）设）设mcba ，则，则cmba cmbacmab22 2 bacmcmab 2 22 2 2 2 bacm cmab 。 把把ab
9、看成（看成（1 1）中的）中的a， 2 cm看成（看成（1 1）中的）中的b， 由（由（1 1）知）知 2 cm为有理数，为有理数，cm为有理数，为有理数，c为有理数为有理数 cmba ba 为有理数为有理数 由（由（1）知）知a、b为有理数为有理数 a、b、c为有理数。为有理数。 8. （上中）解方程组（上中）解方程组 22 22 22 )(3 )(2 )(1 yxz xzy zyx 解：解： 3)( 2)( 1)( zyxzyx zyxzyx zyxzyx 6)()()( 222 zyxzyxzyx 6)()( zyxzyxzyx 3 6 2 6 6 zyx zyx zyx 或或 3 6
10、2 6 6 zyx zyx zyx 解得：解得： 4 63 4 6 2 6 3 62 6 6 2 6 12 65 6 6 4 6 z y x 或或 4 63 4 6 2 6 3 62 6 6 2 6 12 65 6 6 4 6 z y x 9. （上中） （上中） （1）10321， ，求其中任意两个元素的乘积之和；，求其中任意两个元素的乘积之和； （2） 10 1 3 1 2 1 1，求其中任意偶数个元素的乘积之和。，求其中任意偶数个元素的乘积之和。 解： （解： （1）由公式）由公式 2 321 )( n aaaa )(2 123213121 22 2 2 1nnnnn aaaaaaaaa
11、aaaaaa 得：得： 10910232101312 1 )1021()1021( 2 1 2222 1320 。 （2）构造多项式）构造多项式 ) 10 1 () 3 1 )( 2 1 )(1(xxxx 01 8 8 9 9 10 axaxaxax 8 a表示表示 10 1 3 1 2 1 1，任意两个元素的乘积之和，任意两个元素的乘积之和， 6 a表示表示 10 1 3 1 2 1 1，任意四个元素的乘积之和，。任意四个元素的乘积之和，。 当当1 x时，时，01 0189 aaaa 当当1 x时，时，111 0189 aaaa 11)1(2 068 aaa 2 9 068 aaa. 【备用
12、】【备用】 1. 已知三个关于已知三个关于x的一元二次方程的一元二次方程0 2 cbxax，0 2 acxbx，0 2 baxcx有一有一 个公共实个公共实数根，则数根，则 cabcab 111 解：设公共根为解：设公共根为m，则，则0 2 cbmam，0 2 acmbm，0 2 bamcm 0)()()( 2 cbamcbamcba 即即0)1)( 2 mmcba 0 cba 0 111 abc cba cabcab 2. 若实数若实数yx、满足满足1 5232 3333 yx ，1 5434 3333 yx ，则，则 yx 解：可以看成解：可以看成 3 2和和 3 4是关于是关于z的方程的
13、方程1 53 33 z y z x 的两根的两根 方程可化简为：方程可化简为：03553)35( 3333332 yxzyxz 由韦达定理得：由韦达定理得： 3333 5342 yx 2245432 3333 yx 3. 当当x为何有理数时，代数式为何有理数时，代数式2239 2 xx的值恰为两个连续正偶数的乘积？的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 解：设两个偶数为解：设两个偶数为n2，)0(22 nn，则，则)22(22239 2 nnxx 即即0)22(22239 2 nnxx x为有理数为有理数，则方程的，则方程的 为完全平方数为完全平方数 565)12(36565)144(36)22(229423 222 nnnnn 设设 2 m （m为正整数）为正整数） 51131565565)612)(612()12(36 22 nmnmnm 当当565612 nm，1612 nm时，时，23,283 nm 当当113612 nm，5612 nm时，时，4,59 nm 当当23 n时，时，48462239 2 xx，解得：，解得：17 x或或 9 130 x 当当4 n时，时，1082239 2 xx，解得：，解得：2 x或或 9 41 x
