1、F F E E G GD D B B C C A A 上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编二上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编二 1.1. （华二）有一个多项式，除以（华二）有一个多项式，除以32 2 x，商式是，商式是47 x，余式是，余式是25 x，则该多项式为，则该多项式为 。 解：解：1426814)25()47)(32()( 232 xxxxxxxf。 2.2. （ 复 附 ） 若（ 复 附 ） 若 n xxxx、 321 只 能 取只 能 取102 、 ， 且 满 足， 且 满 足17 21 n xxx， 37 22 2 2 1 n xxx，则，则 33 2 3 1n xxx
2、。 解：设解：设 n xxxx、 321 有有a个个2 ，b个个0，c个个1。 则则 374 172 ca ca ，解得，解得 1 9 c a 718 33 2 3 1 caxxx n 。 3.3. （华二）有一张长方形纸片，其长为（华二）有一张长方形纸片，其长为a，宽为，宽为b)(ba ，先将这张纸片按下右图的方式拼成矩形，先将这张纸片按下右图的方式拼成矩形 ABCD，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S，当，当BC的长改变的长改变 时，时，S不变，不变，a和和b满足的关系为满足的关系为 。 a a b b
3、D D B B C C A A 解：设解：设xBC ，易知，易知bBE4 ，bxCE4 ，aCFDG ，bDF3 ，axAG ， abxabbxaaxbS )3()4()(3， 当当BC的长改变时，的长改变时，S不变，不变， 03 ab，ba3 。 4. （上中）有（上中）有 个实数个实数x，可以使得，可以使得x 120为整数？为整数？ 解：设解：设nx 120（n为自然数） ；为自然数） ； 2 120nx ； 22 1112010 ；不大于；不大于120的平方数有的平方数有11个（个（n可取可取10, 2 , 1 , 0） ；） ； 则有则有11个实数个实数x，可以使得，可以使得x 120
4、为整数。为整数。 O O1 1 O O2 2 B BC C A A F F E E O O1 1 O O2 2 D D B BC C A A 5. （上中）设（上中）设 2013 1007 5 3 3 2 1 1 2222 a， 2015 1007 7 3 5 2 3 1 2222 b，则以下四个选，则以下四个选 项中最接近项中最接近ba 的整数为（的整数为（ ） 252.A 504.B 1007.C 2013.D 解：解： ba ) 2013 1007 5 3 3 2 1 1 ( 2222 ) 2015 1007 7 3 5 2 3 1 ( 2222 2015 1007 ) 2013 100
5、6 2013 1007 () 5 2 5 3 () 3 1 3 2 () 1 0 1 1 ( 222222222 2015 1007 2013 )10061007()10061007( 3 )12()12( 1 )01()01( 2 2015 1007 111 2 11007 个 2015 10081007 ) 2015 1007 1(1007 2015 1007 1007 2 2 1 503 2 1007 2016 10081007 2015 10081007 ； 504 2 1008 2014 10081007 2015 10081007 504 2 1 503 ba，最接近最接近ba 的
6、整数为的整数为504；故选；故选B. 6.6. （复附）如图，（复附）如图， 2 O是等腰是等腰ABC的内切圆，的内切圆， 1 O与与 2 O外切且与外切且与ACAB、相切，相切， 1 O与与 2 O的半径分别为的半径分别为21、，求，求ABC的面积。的面积。 解：解：FOEO 21 / 2 1 2 1 2 1 FO EO AO AO 21 2 1 AOAO ，3 21 OO， 3 1 AO, , 8 AD，22 2 1 2 1 EOAOAE AD BD AE EO BAD 1 tan 22 BD 2162 2 1 ADBDS ABC . . 7.7. （交附）证明（交附）证明2不是有理数。
7、（七年级第二学期第不是有理数。 （七年级第二学期第 1212 章阅读材料）章阅读材料） 证明：假设证明：假设2是一个有理数，那么可以得到是一个有理数，那么可以得到 b a 2，其中，其中ba、为整数，为整数，a与与b互素，且互素，且0 b， 2 2 2 b a ，于是有，于是有 22 2ba ，则，则a是是2的倍数，的倍数， 在设在设ma2 ，则，则 22 2)2(bm ， 22 2mb ，则，则b是是2的倍数，的倍数， 可见可见a与与b不是互素的，与前面所假设的不是互素的，与前面所假设的a与与b互素矛盾，因此互素矛盾，因此2不是有理数。不是有理数。 8.8. （交附）如图，分别以（交附）如图
8、，分别以RtABC的三边向外作正方形的三边向外作正方形ABEF、BCIJ、CAHG，证明：，证明： 222 ABBCAC 。 （八年级第一学期第。 （八年级第一学期第 1919 章阅读材料二）章阅读材料二） N N M M G G H HI I J J E E F F A A B B C C G G H HI I J J E E F F A A B B C C 证明：过点证明：过点C作作ABCN 于点于点N，交，交AB于点于点M，连结，连结AJ，CE。 易证易证CBEJBA（SAS） ABJEBC SS ACBJ/，CNBE/ BCIJBJCABJ SSS 2 1 ， BENMBEMBEC S
9、SS 2 1 BENMBCIJ SS 同理可得：同理可得： AMNFACGH SS ABEFACGHBCIJ SSS 222 ABBCAC 。 9.9. 帕普斯对勾股定理的“推广” ：公元前帕普斯对勾股定理的“推广” ：公元前300年，古希腊数学家帕普斯证明了勾股定理的一个有趣的年，古希腊数学家帕普斯证明了勾股定理的一个有趣的 变形，他将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作图方法如下：变形，他将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作图方法如下： 如图，对于如图，对于RtABC， （1 1） 分别以两直角边分别以两直角边ACAB、为边，作两个平行四边
10、形；为边，作两个平行四边形； （2 2） 分别延长两个平行四边形中平行与直角边的两边，他们相交于点分别延长两个平行四边形中平行与直角边的两边，他们相交于点P； （3 3） 作射线作射线PA，与，与BC相交于点相交于点R，再截取，再截取PARQ ； （4 4） 以以BC为一边作平行四边形，使另一组对边平行且等于为一边作平行四边形，使另一组对边平行且等于RQ。 对于以上的作图，试证明：对于以上的作图，试证明： 斜边上的平行四边形面积等于两条直角边上的平行四边形的面积的和。斜边上的平行四边形面积等于两条直角边上的平行四边形的面积的和。 H H M M N N Q Q R R P P F F D D
11、B B C C E E G G A A M M N N Q Q R R P P F F D D B B C C E E G G A A 证明：如图，延长证明：如图，延长MC，交，交FG于点于点H. . 易知四边形易知四边形ACHP为平行四边形，为平行四边形， ACHP与与ACFG同底同高，同底同高， ACFGACHP SS 易知四边形易知四边形CMQR为平行四边形，且为平行四边形，且PARQ ，PQHM / ACHPCMQR SS ACFGCMQR SS 同理可证：同理可证： ABDEBNQR SS x x y y 北北 D D B B A A C C ABDEACFGBCMN SSS . .
12、 10. （建平）如图，在任意（建平）如图，在任意ABC中，有以下定理成立：中，有以下定理成立： （1） C c B b A a sinsinsin （2）Abccbacos2 222 ，Baccabcos2 222 ，Cabbaccos2 222 。 阅读以上定理，解下面问题：阅读以上定理，解下面问题： 某观测站某观测站C在目标在目标A南偏西南偏西 25方向上，从方向上，从A出发有一条南偏东出发有一条南偏东 35走向的公路，在走向的公路，在C处测处测 得公路上与相距得公路上与相距)13(10 千米千米的的B处有一处有一人人正沿着此公路向正沿着此公路向A走去，走走去，走210千米到达千米到达D
13、，此，此 时测得时测得CD距离为距离为20千米，求此人所在千米，求此人所在D处距处距A还有多少千米？还有多少千米？ x x y y 北北 A A 解：解： 2 2 210)13(102 400200)13(100 2 cos 2222 BDBC CDBDBC B 45B B AC BAC BC sinsin BCAC 3 2 BACABACABACBC cos2 222 ABBCABBCBC 3 2 3 2 222 0 3 1 3 2 22 BCABBCAB 2 3 4 3 2 3 2 22 BCBCBC AB 2 2 3 2 BCBC （负值舍去）（负值舍去） 32 )62(BC 32 )1
14、3(10)13(2 210 3 620 3 620 BDABAD。 【备用】【备用】 1. 已知已知 3 3 7 3 2 1 a， 3 3 7 3 2 1 b，则，则 ba。 解：易知解：易知 2 3 1 27 28 1 33 3 ba ab )(3)( 333 baabbaba 02)()( 3 baba 02)()(1( 2 bababa 1 ba 2. 正实数正实数 2013321 ,aaaa满足满足1 2013321 aaaa，设，设 131313 201321 aaaP，则（，则（ ） 。） 。 2014. PA 2014. PB 2014. PC .DP与与2014的大小关系不确定
15、的大小关系不确定 解：正实数解：正实数 2013321 ,aaaa满足满足1 2013321 aaaa 1,0 2013321 aaaa 131313 201321 aaaP 121212 2013 2 20132 2 21 2 1 aaaaaa 20142013)(111 201321201321 aaaaaa 3.3. 如图，正方形如图，正方形ABCD外取一点外取一点E，联结，联结DEBEAE,. .过点过点A作作AE的垂线交的垂线交ED于于 点点P. .若若1 APAE, ,5 PB, ,则正方形则正方形ABCD的面积是的面积是 。 P BC A D E 解：易证解：易证APDAEP 135APDAEB PDEB 又又 45AEP 90PEB 又又2 EP 5 PB 3 EB ) 2 2 (31231135cos2 2 222 PDADPDAPAD 正方形正方形ABCD的面积的面积64 。
