1、上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编四上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编四 1. （建平）已知（建平）已知3 xy，那么，那么 y x y x y x2 的值的值 。 解：显然解：显然yx、同号同号 若若0 x，0 y，则，则322 xyxyxy y x y x y x 若若0 x，0 y，则，则322 xyxyxy y x y x y x 2. （交附）小明负责小组里（交附）小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。如果他随机的分发个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。如果他随机的分发4个同学个同学 的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是的本子，那么他把每个同学的本子
2、都发错的概率是 。 解：分母为解：分母为 4 4 P；第一个同学发错有；第一个同学发错有3种可能，假设第一个同学拿了第四个同学的本子，则第四个同学种可能，假设第一个同学拿了第四个同学的本子，则第四个同学 的本子必错，也有的本子必错，也有3种可能，剩下的只能种可能，剩下的只能是第二个同学拿第三个同学的本子；第三个同学拿第二是第二个同学拿第三个同学的本子；第三个同学拿第二 个同学的本子，个同学的本子，每个同学的本子都发错的概率为每个同学的本子都发错的概率为 8 3133 4 4 P . 3. （上中）定圆（上中）定圆A的半径为的半径为72，动圆，动圆B的半径为的半径为r，72 r且且r是一个整数，
3、动圆是一个整数，动圆B保持内切于保持内切于 圆圆A且沿着圆且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r共有共有 个可能的值？个可能的值？ 解：若动圆解：若动圆B开始滚动时切点与结束时的切点是同一点；开始滚动时切点与结束时的切点是同一点； 则则722 是是r 2的倍数；的倍数； 23 3272 ，72有有12)12()13( 个正因数；个正因数； 72 r r有有11112 个可能的值。个可能的值。 4. （上中）学生若干人租游船若干只，如果每船坐（上中）学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下人
4、，就余下20人；如果每船坐人；如果每船坐8人，那么就有人，那么就有 一船不空也不满。则学生共一船不空也不满。则学生共有有 人？人？ 解：设租游船解：设租游船x只；只； 由题意得由题意得xxx8204)1(8 解得解得75 x 正整数解为正整数解为6 x； 学生共有学生共有442064 人。人。 5. （建平）如图，（建平）如图，AB是是O的直径，且的直径，且10 AB，弦，弦MN的长为的长为8，若弦，若弦MN的两端在圆上滑的两端在圆上滑 动时，始终与动时，始终与AB相交，记点相交，记点BA、到到MN的距离分别为的距离分别为 21 hh、，则，则 | 21 hh。 h h2 2 h h1 1 D
5、 D G G E E F F N N M M B B O O A A h h2 2 h h1 1 E E F F N N M M B B O O A A 解：易知解：易知 DO DA OG h 2 ， DO DB OG h 1 2 )()( 21 OD ODOAOBOD DO DADB OG hh 易知易知3 OG 6 21 |hh。 6. （华二）解关于（华二）解关于x的方程的方程ax 3|2 2 1 |。 解：解：3|2 2 1 | ax 当当03 a即即3 a时，原方程无解；时，原方程无解； 当当03 a即即3 a时，时，4 x 当当03 a即即3 a时，时，32 2 1 ax或或)3(
6、2 2 1 ax 解得：解得：102 ax或或22 ax。 7. （复附）二次函数（复附）二次函数)(xf的图像开口向上，与的图像开口向上，与x轴交于轴交于BA、两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，以，以D为顶为顶 点，若点，若 ABC的外接圆与的外接圆与y轴相切，且轴相切，且 150ADB，则，则0 x时，时， | )( x xf 的最小值的最小值 是是 。 解：设解：设)0()( 2 acbxaxxf， 圆心坐标为圆心坐标为), 2 (c a b M ,则则| 2 | a b MC 2 2 2 22 4 4 ) 2 (c a acb c a b xMA A MCMA 2 2 2 2 2
7、4 4 4 c a acb a b ，化简得：，化简得：1 ac， a c 1 在在 ADB中，中，DBDA ， 150ADB， 15DBADAB. a AB ， a yD 4 32 2 1 | 15tan AB yD AByD)32(|2 aa )32( 4 2 ，解得，解得31628 ， 316284 2 acb 22 )26(431632 b )26(2 b 当当0 x时，时，22262)26(22 | 1 | | )( b xa xa x xf （此时（此时b取负）取负） 当当0 x时，时，22262)26(22 | 1 | | )( b xa xa x xf （此时（此时b取正） 。
8、取正） 。 综上当综上当0 x时，时， | )( x xf 的最小值是的最小值是22262 。 8. （华二） （华二） （1）设）设n是给定的正整数，化简：是给定的正整数，化简：1 )1( 11 1 22 nn ； （2）根据（）根据（1）的结果，计算）的结果，计算 222222 10 1 9 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 的值。的值。 解：（解：（1）1 )1( 1232 1 )1( )1()1( 1 )1( 11 1 234 22 2222 22 nn nnnn nn nnnn nn （注：用倒数方程因式分解）（注：用倒数方程因式分解）1 )1( 1 11 1 1 )1
9、( 2 2 2 22 nnnn nn nn nn 1 11 )1( 1 nnnn （2） 1 11 1 )1( 11 1 22 nnnn 1 1 11 )1( 11 1 22 nnnn 原式原式 10 99 1) 10 1 9 1 (1) 3 1 2 1 (1) 2 1 1( 。 9. （复附（复附）已知实数）已知实数 n aaa、 21 满足：满足： 0 21 n aaa；1 21 | n aaa。 求证：求证：k个数个数), 3 , 2 , 1(nk ， 2 1 | 21 k aaa。 证明：设证明：设 n aaa、 21 中全体非负数之和为中全体非负数之和为A，全体负数之和为，全体负数之
10、和为B， 则则0 21 n aaaBA，1 21 | n aaaBA， 2 1 A， 2 1 B. （1） 若若 k aaa、 21 全是非负数，则全是非负数，则 2 1 | 21 | Aaaa k ), 3 , 2 , 1(nk （2） 若若 k aaa、 21 全是负数，则全是负数，则 2 1 | 21 | Baaa k ), 3 , 2 , 1(nk （3） 若若 k aaa、 21 有非负数和负数， 记有非负数和负数， 记 k aaa、 21 中全体非负数之和为中全体非负数之和为C， 全体负数之和， 全体负数之和 为为D， | 21 DCaaa k 当当DC 时，时， 2 1 | AC
11、DC 当当DC 时，时， 2 1 | BDDC 2 1 | 21 DCaaa k 综上：综上：k个数个数), 3 , 2 , 1(nk ， 2 1 | 21 k aaa。 【备用】【备用】 1. 对于正整数对于正整数n，定义，定义123)2()1(! nnnn，如果，如果 00076642432902008!20 xy )9,0( yx，那么，那么 yx（ ） 。） 。 1. A 1 .B 2. C 2 .D 解：解：!20中含中含20、15、10、5、4 !20的末四位数都是的末四位数都是0，即，即0 x !20中含中含3 466782923423 y y 23 y可能为可能为1或或4或或7 结合选项可知，结合选项可知，1 y，1 yx 2. 已知函数已知函数 3232 3 2 )1( 1 )( xxxx xf ，则，则 )511()2()1(fff 。 解：设解：设ax 3 1，bx 3 ，则，则1 33 ba ba bababa ba baba xf )( 1 )( 2222 33 1xx )511()2()1(fff 333333 5115122312 7181512 3 。
