1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(理) 第一讲第一讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理理) 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有 m2种不同的方法，在第 n 类方案中有 mn种不同的方法，则完成这件事共有 N_m1 m2mn_种不同的方法 知识点二 分步乘法计数原理 完成一件事需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法，
2、， 完成第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有N_m1 m2 mn_ 种不同的方法 归 纳 拓 展 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都 可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只 有各个步骤都完成了才算完成这件事 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事( ) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步
3、完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这 件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成( ) (4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤， 在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i1,2,3， ， n)，那么完成这件事共有 m1m2m3mn种方法( ) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( ) 题组二 走进教材 2(P10练习 T4)已知某公园有 4 个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为 ( C ) 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - A16 B13 C12 D10 解析 将 4 个门编号为 1,2,3,4，从 1
4、号门进入后，有 3 种出门的方式，共 3 种走法，从 2,3,4 号门进入，同样各有 3 种走法，共有不同走法 3412(种) 另解：A2412(种) 完成这件事需分成 2 个步骤进 4 种、出 3 种， 共有 4312 3(教材习题改编)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中，任取两个不同数字，其和为偶数的不同 取法种数为_6_；能排成的两位偶数的个数为_13_ 解析 和为偶数的取法可分为两类：取两奇数或取两偶数，各有 3 种取法，故共有 6 种取法；排成的两位偶数可分成三类：个位是 0 或 2 或 4，显然个位为 0 的有 5 个，个位为 2 或 4 的各有 4 个，故共有 13 个 题
5、组三 走向高考 4(2020 新课标)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区， 每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_36_种 解析 因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有 C24A3336 种 5(2017 天津)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四 位数，这样的四位数一共有_1_080_个(用数字作答) 解析 根据题意，分 2 种情况讨论： 四位数中没有一个偶数数字，即在 1、3、5、7、9 种任选 4 个，组成一个四位数即可， 有 A45120 种情况，即有 120 个没有一个偶数数字四位
6、数； 四位数中只有一个偶数数字，在 1、3、5、7、9 种选出 3 个，在 2、4、6、8 中选出 1 个，有 C35 C1440 种取法， 将取出的 4 个数字全排列，有 A44 24 种顺序，则有 4024 960 个只有一个偶数数字 的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有 1209601 080 个 考点突破 互动探究 考点一 分类加法计数原理自主练透 例 1 (1)(2020 常州模拟)已知 I1,2,3，A，B 是集合 I 的两个非空子集，且 A 中 所有元素的和大于 B 中所有元素的和，则集合 A，B 共有( D ) A12 对 B15 对 C18 对 D20 对 (2)(2
7、020 山东济宁模拟)6 人分乘两辆不同的出租车， 每辆车最多乘 4 人， 则不同的乘车方 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 案数为( C ) A70 B60 C50 D40 (3)(2021 山东日照联考)要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分别到 A，B，C 三个班级中，要求 每个班级至少分到一人，则甲被分到 A 班的分法种数为_12_(用数字作答) 解析 (1) 依题意，当 A，B 中均有一个元素时，有 3 对；当 B 中有一个元素，A 中 有两个元素时，有 C13C13C128(对)；当 B 中有一个元素，A 中有三个元素时，有 3 对；当 B 中有两个元素，
8、A 中有三个元素时，有 3 对；当 A，B 中均有两个元素时，有 3 对所以共 有 3833320(对)，选 D (2)C46C36C2650 或 C46 A22C3650故选 C (3)由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到 A，有 6 种；第二类，甲单独在 A，则 两人在 B 有 C233 种或两人在 C 有 C233 种，共有 6 种，共 12 种 名师点拨 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关 键位置 (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准 (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类 的两种方法是不同的方
9、法，不能重复 (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏 考点二 分步乘法计数原理师生共研 例 2 (1)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处 的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( B ) A24 B18 C12 D9 (2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有 _120_种不同的报名方法 解析 (1)从 E 点到 F 点的最短路径有 6 条，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 条，所以从 E 点到 G 点的最短路径有 6318(条)，故选 B (2)每项限报一人，且每人至多参加一项
10、，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法， 第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 方法共有 654120(种) 引申 1本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加 一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？ 解析 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步 乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 36729(种) 引申2本例(2)中若将条件“每项限报一人， 且每人至多参加一项”改为“每项限报一人， 但每人参
11、加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？ 解析 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分 步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 63216(种) 引申 3本例(1)中若去掉“先到 F 处与小红会合”，则最短路径的条数为_35_ 解析 C3735(条) 名师点拨 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序 的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才 算完成这件事 (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步 完成 变式训练 1 (1)(2021 厦门模
12、拟)从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与 体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_36_种(用数字作答) (2)(2021 湖南永州模拟)某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将 6 名优秀 干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排 1 名，周五安排 2 名，则不同的安 排方法共有( B ) A320 种 B360 种 C370 种 D390 种 解析 (1)第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的 3 人中选 1 人 当文娱委员，有 3 种选法 第二步，从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行
13、：先选学习委员有 4 种选法，再选体育委员有 3 种选法由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有 343 36(种) (2)第一步安排周五 2 名，有 C2615(种)方法； 第二步安排周一至周四，有 A4424(种)方法， 故不同的安排方法共有 1524360 种，故选 B 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 考点三,两个计数原理的综合应用多维探究 角度 1 与数字有关的问题 例 3 (2020 天津和平区二模)在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数 中，能被 5 整除的个数有( D ) A512 B192 C240 D108 解析 能被
14、5 整除的四位数末位是 0 或 5 的数，因此分两类， 第一类，末位为 0 时，其它三位从剩下的数中任意排 3 个即可，有 A35 60 个， 第二类，末位为 5 时，首位不能排 0，则首位只能从 1,2,3,4 选 1 个，第二位和第三位从 剩下的 4 个数中任选 2 个即可，有 A14 A24 48 个， 根据分类计数原理得可以组成 6048 108 个不同的能被 5 整除的四位数，故选 D 引申(1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为_252_； (2)本例组成的四位数中偶数的个数为_156_个，其中比 2 310 大的四位偶数的个数为 _109_个 解析 (1)C15C16C16C
15、12360,360108252 (2)个位为 0 时有 A3560 个；个位非 0 时有 C14A24C1296 个， 故四位偶数有 156 个；其中比 2 310 大的数中 前三位为 231 的有 1 个； 前两位为 23 第三位为 4 或 5 的有 3 个； 前一位为 2 第二位为 4 或 5 的有 9 个； 前一位为 4 的有 C12A2224 个； 前一位为 3 或 5 的各有 C13A2436 个，故共有 109 个 角度 2 与涂色有关的问题 例 4 将一个四棱锥的每个顶点染上 1 种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若 只有 4 种颜色可供使用，则不同的染色方法有( B ) A4
16、8 种 B72 种 C96 种 D108 种 解析 如图四棱柱 PABCD，涂 P 有 4 种方法涂 A 有 3 种方法涂 B 有 2 种方法 涂 C C与A同色有1种方法 C与A不同色有1种方法 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 涂 D 有2种方法 有1种方法 ，则不同的涂法共有 432(1211)72 种，故选 B 角度 3 与几何有关的问题 例 5 (2018 上海)九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥 为阳马，设 AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( D )
17、 A4 B8 C12 D16 解析 根据正六边形的性质， 则 D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而 C1，E1，C，D，E 和 D1一样，有 248， 当 A1ACC 为底面矩形，有 4 个满足题意， 当 A1AEE1为底面矩形，有 4 个满足题意，故有 84416，故选 D 引申本例中若去掉“以 AA1为底面矩形的一边”，则阳马的个数为_72_个 以六棱柱的顶点为顶点的四棱锥有_300_个 解析 矩形在棱柱底面上的阳马有 24 个； 矩形为棱柱侧面的阳马有 24 个； 矩形为棱柱对角面的阳马有 24 个； 故共有 72 个 底面在棱柱底面上的四棱锥有 2C46C16180 个； 底
18、面四边形含两条侧棱的有 C26C18120 个； 故共有 300 个 名师点拨 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 1弄清完成一件事是做什么 2确定是先分类后分步，还是先分步后分类 3弄清分步、分类的标准是什么 4利用两个计数原理求解 注意：(1)相同元素不加区分；(2)数字问题中 0 不能排在数的首位 变式训练 2 (1)(角度 2)(2021 宁波模拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个 区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( C ) A24 种 B48 种 C72 种 D9
19、6 种 (2)(角度1)(2020 四川成都青羊区模拟)由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数， 比2 019 大的有( )个( B ) A10 B11 C12 D13 (3)(角度 3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面 组” 在一个长方体中， 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组” 的个数是( B ) A60 B48 C36 D24 解析 (1) 区域 A B E C D 涂法 4 3 2 (与 A 同色)1 2 与 A 不同色 1 1 不同的涂色方法共有 4321(21)72(种)，故选 C (2)千位数字为 3 时满足题意的数字
20、个数为：3！6千位数字为 2 时，只有 2 013 不满足 题意，则满足题意的数字的个数为 3！15，综上可得：比 2 019 大的有 6511 个 (3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6636， 另含4个顶点的6个面(非 表面)构成的“平行线面组”的个数为 6212，故符合条件的“平行线面组”的个数是 36 1248 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 名师讲坛 素养提升 巧用图表法、间接法求解计数问题 例 6 (1)将编号为 1,2,3,4,5,6 的六个小球放入编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子中，每个 盒子放一个小球，若有且只有两个盒
21、子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 _135_ (2)(2021 吉林模拟)一只蚂蚁从正四面体 ABCD 的顶点 A 出发，沿着正四面体 ABCD 的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第 1 秒后到点 B，第 4 秒后又回 到 A 点的不同爬行路线有( B ) A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 (3)(2021 济南模拟)如图，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个焊接 点 A、B、C、D、E、F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通，那么焊接 点脱落的可能情况共有_63_种 解析 (1)(图表法)两个小球放入编号相同的盒子中
22、有 C2615 种方法，将剩余四个小球 放入四个盒子，由图知共有 9 种方法，故符合题意的放法总数为 159135 注：结论：把编号为 1、2、3、4 的小球，放入编为 1、2、3、4 的小盒中号码不同的放 法共有 9 种 (2)根据已知，可作出下图，如图知，不同的爬行线路有 7 条，故选 B 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - (3)(间接法)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电 路就不通，故共有 26163(种)可能情况 名师点拨 (1)当问题中涉及到的元素个数较少时，可通过图表将各种情况一一列出求解计数问题； (2)当要求计数
23、的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间接法求解即问题所 有情况种数减去不合题意的情况种数 变式训练 3 (1)(2021 保定质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4 次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( B ) A4 种 B6 种 C10 种 D16 种 (2)(2021 江苏淮阴淮安中学测试)若把单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误 写法的种数为( C ) A17 B18 C19 D20 解析 (1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有 3 种传递方式(如图)， 同理，甲先传给丙时，满足条件的也有 3 种传递方式 由分类加法计数原理可知，共有 336(种)传递方式 (2)将 5 个字母排成一排，可分三步进行： 第一步：排 e，o，共有 A2520 种排法； 第二步：排三个 r，共有 C331 种排法； 将 5 个字母排成一排共有 20120 种排法， 可能出现的错误写法的种数为 20119 种； 故选 C
