1、第二讲第二讲 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括_平行、相交、重合_三种情况 (1)两条直线平行 对于直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1k2，且 b1b2 对于直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20， l1l2A1B2A2B10，且 B1C2B2C10(或 A1C2A2C10) (2)两条直线垂直 对于直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1 k21 对于直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2_A1A2B1B2
2、0_ 知识点二 两条直线的交点 直线 l1和 l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解 相交方程组有_唯一解_； 平行方程组_无解_； 重合方程组有_无数个解_ 知识点三 三种距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2| x1x22y1y22 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP| x2y2 (2)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C| A2B2 (3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离为 d |C1C2| A2B2
3、归 纳 拓 展 1求解距离问题的规律 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时， 需先把两平行线方程中 x，y 的系数化为相同的形式 2对称问题的求解规律 (1)中心对称：转化为中点问题处理 (2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理特殊地：点 P(a，b)关于直线 xym0 对称 的点坐标为(bm，am)，点 P(a，b)关于直线 xym0 对称的点坐标为(bm，a m) 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，那么它们的
4、斜率之积一定等于1( ) (3)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 若直线 l1l2，则 A1A2B1B20( ) (4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b| 1k2( ) (5)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k0)对称，则直线 AB 的斜率等于1 k，且线段 AB 的 中点在直线 l 上( ) 题组二 走进教材 2(课本习题改编)过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是( A ) Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10 3 (必修 2P110B 组 T2)已知点(
5、a,2)(a0)到直线 l： xy30 的距离为 1， 则 a 等于( C ) A 2 B2 2 C 21 D 21 解析 由题意得|a23| 11 1 解得 a1 2或 a1 2 a0，a1 2 题组三 走向高考 4(2020 高考全国)点(0，1)到直线 yk(x1)距离的最大值为( B ) A1 B 2 C 3 D2 解析 解法一：由 yk(x1)可知直线过定点 P(1,0)，设 A(0，1)，当直线 yk(x 1)与 AP 垂直时，点 A 到直线 yk(x1)距离最大，即为|AP| 2，故选 B 解法二：因为点(0，1)到直线 yk(x1)距离 d |1k| k21 k22k1 k21
6、 1 2k k21； 要求距离的最大值，故需 k0；可得 d1 2 k1 k 2，当且仅当 k1 时取等号，故 选 B 5(2018 全国)坐标原点关于直线 xy60 的对称点的坐标为_(6，6)_ 解析 设坐标原点关于直线 xy60 的对称点的坐标为(a，b)，则 b a11 a 2 b 260 ， 解得 a6，b6，坐标原点关于直线 xy60 的对称点的坐标为(6，6) 考点突破 互动探究 考点一 两条直线平行、垂直的关系自主练透 例1 (1)(2021 高安期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直 线 l 的方程是( A ) A6x4y30 B3x2y30 C2x3y2
7、0 D2x3y10 (2)“m3”是“直线 l1：2(m1)x(m3)y75m0 与直线 l2：(m3)x2y50 垂直”的( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (3)(2021 青岛调研)直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则 m( C ) A2 B3 C2 或3 D2 或3 (4)等腰直角三角形斜边的中点是 M(4,2)，一条直角边所在直线的方程为 y2x，则另外两 边所在直线的方程为_x3y20、x2y140_ 解析 (1)因为抛物线 y22x 的焦点坐标为 1 2，0 ，直线 3x2y50 的斜率为 3 2，所以 所求
8、直线 l 的方程为 y3 2 x1 2 ，化为一般式，得 6x4y30 (2)由 l1l2，得 2(m1)(m3)2(m3)0，m3 或 m2，m3 是 l1l2的充 分不必要条件 (3)由题意知 mm16， 4m4， 解得 m2 或3故选 C (4)设斜边所在直线的斜率为 k，由题意知 tan 4 2k 12k1，k 1 3， 斜边所在直线方程为 y21 3(x4)， 即 x3y20， 由 y2x x3y20 可知 A 2 5， 4 5 ， A 关于 M 的对称点 B 38 5 ，16 5 ， 另一条直角边的方程为 y16 5 1 2 x38 5 ， 即 x2y140，故填 x3y20、x2
9、y140 名师点拨 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的 一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一 隐含条件 (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 变式训练 1 (1)(2021 吉林长春模拟)曲线 f(x)2sin x 在 x 3处的切线与直线 axy10 垂直，则 a _1_ (2)(2012 浙江)设 aR， 则“a1”是“直线 l1： ax2y0 与直线 l2： x(a1)y40” 平行的( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不
10、充分也不必要条件 解析 (1)由题得 f(x)2cos x，kf 3 1所以 1(a)1，a1 (2)l1l2a2a20a1 或2，a1 是 l1l2的充分不必要条件故选 A 考点二 两直线的交点、距离问题师生共研 例 2 (1)两条垂直直线 l1：2xy10 与 l2：ax4y60 的交点到原点的距离为 _ 2_ (2)已知点 P(2，1) 求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程； 求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？ 是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明 理由 (3)(2020 上海)已知直线 l1：
11、 xay1， l2： axy1， 若 l1l2， 则 l1与 l2的距离为_ 2_ 解析 (1)kl12，kl2a 4 ，由 l1l2知2 a 4 1，a2，l2：x2y3 0，由 2xy10 x2y30 得交点 A(1，1)，|AO| 2 (2)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过点 P(2， 1)且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2 若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)， 即 kxy2k10 由已知得|2k1| k21 2，解得 k3 4 此时 l 的方程为 3x4y100 综上，可得直线 l 的方程为
12、 x2 或 3x4y100 作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图 由 lOP，得 klkOP1， 所以 kl 1 kOP2 由直线方程的点斜式，得 y12(x2)，即 2xy50 所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为|5| 5 5 由可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线，因此不存在过点 P 且到原点的 距离为 6 的直线 (3)直线 l1：xay1，l2：axy1， 当 l1l2时，a210，解得 a 1； 当 a1 时 l1与 l2重合，不满足题意； 当 a1 时 l1l2， 此时 l1：x
13、y10，l2：xy10； 则 l1与 l2的距离为 d |11| 1212 2 名师点拨 距离的求法 (1)点到直线的距离： 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式 (2)两平行直线间的距离： 利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距 离； 利用两平行线间的距离公式 提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使 x、y 的系 数分别相等 变式训练 2 (1)(2021 西南名校联盟联考)设直线 l1：3xy10 与直线 l2：x2y50 的交点为 A， 则 A 到直线 l：xby2b0 的距离的最大值为( C
14、 ) A4 B 10 C3 2 D 11 (2)已知两点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 mxy30 距离相等，则 m 的值可以为( C ) A6 或1 2 B1 2或 1 C1 2或6 D1 或6 (3)(2021 绵阳模拟)若P， Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点， 则|PQ| 的最小值为( C ) A9 5 B18 5 C29 10 D29 5 解析 (1)解法一：显然 l1与 l2的交点 A(1,2)，又直线 l 过点 B(2，1)，所求最大距 离为|AB|3 2，故选 C 解法二：显然 l1与 l2的交点为 A(1,2)，则 A 到直线 l 的距离 d|12b2
15、b| 1b2 3 1b22b 1b2 31 2b 1b23 2(当且仅当 b1 时取等号)，故选 C (2)直线 mxy30 与直线 AB 平行或过 AB 中点，m 42 13 1 2，即 m 1 2；AB 中点(1,3)，m330 即 m6，故选 C (3)因为3 6 4 8 12 5 ， 所以两直线平行， 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距 离，即|245| 6282 29 10，所以|PQ|的最小值为 29 10 考点三,对称问题多维探究 角度 1 线关于点的对称 例 3 (2021 河北五校联考)直线 axy3a10 恒过定点 M，则直线 2x3y6 0 关于 M 点对称
16、的直线方程为( D ) A2x3y120 B2x3y120 C2x3y120 D2x3y120 解析 由 axy3a10，可得 y1a(x3)，所以 M(3,1)，M 不在直线 2x3y 60 上，设直线 2x3y60 关于 M 点对称的直线方程为 2x3yc0(c6)，则 |636| 49 |63c| 49 ，解得 c12 或 c6(舍去)，所以所求方程为 2x3y120，故 选 D 另解： 在直线 2x3y60 上取点 A(0,2)、 B(3,0)， 则 A、 B 关于 M 的对称点分别为 A( 6,0)，B(9,2)，又 kAB 20 96 2 3，故所求直线方程为 y 2 3(x6)，
17、即 2x3y 120故选 D 角度 2 点关于线的对称 例 4 (2021 长沙一模)已知入射光线经过点 M(3,4)， 被直线 l： xy30 反射， 反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_6xy60_ 解析 设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在 直线过点 M，所以 b4 a31， 3a 2 b4 2 30， 解得 a1，b0又反射光线经过点 N(2， 6)，所以所求直线的方程为y0 60 x1 21，即 6xy60 (代入法)当 x3 时，由 xy30 得 y0， 当 y4 时，由 xy30 得 x1 M(3,4)关于直线
18、l 的对称点为 M(1,0) 又 kNM60 216， 所求直线方程为 y6(x1)，即 6xy60 引申本例中入射光线所在直线的方程为_x6y270_ 解析 N(2,6)关于直线 l 的对称点 N(3,5)， 又 kMN 54 33 1 6， 所求直线方程为 y 41 6(x3)，即 x6y270 角度 3 线关于线的对称 例 5 (2021 合肥模拟)已知直线 l：xy10，l1：2xy20若直线 l2与 l1 关于 l 对称，则 l2的方程是( B ) Ax2y10 Bx2y10 Cxy10 Dx2y10 解析 解法一：因为 l1与 l2关于 l 对称，所以 l1上任一点关于 l 的对称
19、点都在 l2上，故 l 与 l1的交点(1,0)在 l2上又易知(0，2)为 l1上一点，设它关于 l 的对称点为(x，y)，则 x0 2 y2 2 10， y2 x 11， 解得 x1， y1， 即(1,0)，(1，1)为 l2上两点，可得 l2的方程为 x 2y10 解法二：在 l1上取两点 A(0，2)，B(1,0)，则 A、B 关于 l 的对称点分别为 A(1， 1)，B(1,0)，kAB01 11 1 2l2的方程为 y0 1 2(x1)，即 x2y10故选 B 解法三：设 P(x，y)是直线 l2上任一点，则 P 关于直线 l 的对称点为 P(y1，x1)，又 Pl1，2(y1)(
20、x1)20，即直线 l2的方程为 x2y10故选 B 名师点拨 对称问题的解法 以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见 的有： (1)中心对称 点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足 x2ax， y2by. 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 (2)轴对称 点 A(a ， b) 关 于 直 线 Ax By C 0(B0) 的 对 称 点 A(m ， n) ， 则 有 nb ma A B1， A am 2 B bn 2 C0. 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 特别地，当对称轴的斜率为 1 时，可类比关
21、于 yx 的对称问题采用代入法，如(1,3)关于 yx1 的对称点为(31，11)，即(2,2) 变式训练 3 已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)求： (1)(角度 2)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标； (2)(角度 3)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程； (3)(角度 1)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程 解析 (1)设 A(x，y)，由已知条件得 y2 x1 2 31， 2x1 2 3y2 2 10， 解得 x33 13， y 4 13. A 33 13， 4 13 (2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0
22、)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上 设对称点 M(a，b)，则 2a2 2 3b0 2 10， b0 a2 2 31， 得 M 6 13， 30 13 设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则 由 2x3y10， 3x2y60， 得 N(4,3) 又m经过点 N(4,3)， 由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020 (3)设 P(x，y)在 l上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)， 点 P在直线 l 上， 2(2x)3(4y)10， 即 2x3y90 名师讲坛 素养提升 巧用直线系求直线方程 例 6 (1)求证：动直线(m22m3)x(1
23、mm2)y3m210(其中 mR)恒过定 点，并求出定点坐标； (2)求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x4y5 0 垂直的直线 l 的方程 解析 (1)证明：解法一：令 m0，则直线方程为 3xy10 再令 m1 时，直线方程为 6xy40 和联立方程组 3xy10， 6xy40， 得 x1， y2. 将点 A(1,2)的坐标代入动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210 中， (m22m3)(1)(1mm2)23m21(312)m2(22)m2130， 故动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210 恒过定点 A 解法二：将动直线方程按
24、 m 降幂排列整理，得 m2(xy3)m(2xy)3xy10， 不论 m 为何实数，式恒为零， 有 xy30， 2xy0， 3xy10， 解得 x1， y2. 故动直线恒过点 A(1,2) (2)解法一：解方程组 x2y40， xy20， 得 P(0,2) 因为 l3的斜率为3 4，且 ll3，所以直线 l 的斜率为 4 3， 由斜截式可知 l 的方程为 y4 3x2， 即 4x3y60 解法二：设所求直线方程为 4x3ym0， 将解法一中求得的交点 P(0,2)代入上式可得 m6， 故所求直线方程为 4x3y60 解法三：设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420
25、 又ll3，3(1)(4)(2)0， 解得 11 直线 l 的方程为 4x3y60 引申若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线 l 的方程为_3x4y80_ 名师点拨 1确定方程含参数的直线所过定点的方法： (1)将直线方程写成点斜式 yy0f()(xx0)，从而确定定点(x0，y0) (2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为 0 确定定点 (3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标 2直线系的主要应用 (1)共点直线系方程：经过两直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 交点的直线 系方程为 A1xB1yC1(A2xB
26、2yC2)0，其中 A1B2A2B10，待定系数 R在这个 方程中，无论 取什么实数，都得不到 A2xB2yC20，因此它不能表示直线 l2 (2)过定点(x0，y0)的直线系方程为 yy0k(xx0)(k 为参数)及 xx0 (3)平行直线系方程：与直线 ykxb 平行的直线系方程为 ykxm(m 为参数且 mb)； 与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBy0(C， 是参数) (4)垂直直线系方程：与直线 AxByC0(A0，B0)垂直的直线系方程是 BxAy 0( 为参数) 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系 方程来求解 变式训练 4 (
27、1)(2021 启东模拟)不论 m 为何值时，直线(m1)x(2m1)ym5 恒过定点( D ) A 1，1 2 B(2,0) C(2,3) D(9，4) (2)与直线 l：5x12y60 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程是_5x12y320 或 5x12y200_ 解析 (1)解法一：由(m1)x(2m1)ym5，得(x2y1)m(xy5)0，由 x2y10， xy50， 得定点坐标为(9，4)，故选 D 解法二：令 m1，则 y4；令 m1 2，则 1 2x 9 2，即 x9，直线过定点(9，4)， 故选 D 解法三：将直线方程化为(2m1)(ya)(1m)(xb)，则 ab5 2ab1 ，即 a4 b9 ， y4 1m 2m1(x9)，故直线过点(9，4)，故选 D (2)设所求直线的方程为 5x12yc0，则 |c6| 521222，解得 c32 或20，故所求直 线的方程为 5x12y320 或 5x12y200
