1、第七章 立体几何 第一讲第一讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直观图 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 结构 特征 有两个面互相_平行且全等 _，其余各面都是_四边形_. 每相邻两个四边形的公共边 都互相_平行_ 有一个面是_多边形 _， 其余各面都是有一 个公共顶点的_三角 形_的多面体 用一个平行于棱锥底 面的平面去截棱锥， _截面_和_底面_ 之间的部分 侧棱 _平行且相等_ 相交于_一点_但不 一定相等 延长线交于_一点_ 侧面 形状 _平行四边形_ _三角形_ _梯形_ 知识点二 旋转体的结构
2、特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等， _垂直_于底面 相交于_一点_ 延长线交于_一 点_ 轴截面 全等的_矩形_ 全等的_等腰三角 形_ 全等的_等腰梯 形_ _圆_ 侧面展开图 _矩形_ _扇形_ _扇环_ 知识点三 三视图与直观图 三视图 三视图包括_正(主)视图_、_侧(左)视图_、_俯视图_ 画法规则：长对正、高平齐、宽相等 直观图 斜二测面法：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中 x轴、y轴 的夹角为_45 或 135 _，z轴与 x轴和 y轴所在平面_垂直_. (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍_平行于坐标轴_，平行于 x
3、轴 和 z 轴的线段在直观图中保持原长度_不变_，平行于 y 轴的线段在直观图中 长度为_原来的一半_. 归 纳 拓 展 1三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方 观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽 度；左视图反映了物体的宽度和高度；由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等 2一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变” 三变：坐标轴的夹角改变，与 y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变 三不变：平行性不变，与 x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变 双 基 自 测 题组一 走
4、出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱( ) (6)菱形的直观图仍是菱形( ) 题组二 走进教材 2(必修 2P19T2)下列说法正确的是( D ) A相等的角在直观图中仍然相等 B相等的线段在直观图中仍然相等 C正方形的直观图是正方形 D若两条线段平行，则在直观图中
5、对应的两条线段仍然平行 解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变 题组三 走向高考 3(2020 新课标卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正 四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧 面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C ) A 51 4 B 51 2 C 51 4 D 51 2 解析 如图，设 CDa，PEb，则 PO PE2OE2b2a 2 4 ，由题意 PO21 2ab， 即 b2a 2 4 1 2ab，化简得 4 b a 22 b a10，解得 b a 1 5 4 (负值舍去
6、)故选 C 4(2017 北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( B ) A3 2 B2 3 C2 2 D2 解析 根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥 PABCD)如图所示， 将该四棱锥放入 棱长为 2 的正方体中由图可知该四棱锥的最长棱为 PD，PD 2222222 3.故选 B 5(2018 全国)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如下图，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在侧视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上， 从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( B ) A2 17 B2 5 C3 D2 解析 先画出圆
7、柱的直观图，根据题中的三视图可知，点 M，N 的位置如图所示 圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图所示，连接 MN， 则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径 |ON|1 4164，|OM|2， |MN| |OM|2|ON|2 22422 5. 考点突破 互动探究 考点一 空间几何体的结构特征自主练透 例 1 (1)给出下列四个命题，其中错误命题 的序号是( D ) 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 侧面 都是矩形的直四棱柱是长方体 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 A B C D (2)下列结论：以直角三角形的一边为
8、轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形 的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面 截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；用任意一个平面截一个几何体，所得截面都是圆面， 则这个几何体一定是球 其中正确结论的序号是_. 解析 (1)认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析， 例：在如图所示的平行六面体中，ADD1A1及 BCC1B1都是矩形，且平面 ABB1A1及 DCC1D1都 与底面 ABCD 垂直，故错误；将菱形沿一条对角线折起所得三棱锥各面都是等腰三角形， 但该棱锥不一定是正棱锥，故错误；侧面都是矩形但底面为梯形的直四棱柱不是长方体
9、， 故错误故选 D (2)中这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，错；中这条腰若不是垂直于 两底的腰，则得到的不是圆台，错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，错误；中如 果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，错；只有球满足任意截 面都是圆面，正确 名师点拨 空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面 关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定 (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析 考点二 空间几何体的三视图多维探究 角度 1 由几何体的直观图识别三视图 例 2 (2018 课标)中国古建筑借助榫卯
10、将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫 头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯 眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( A ) 解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A 角度 2 由空间几何体的三视图还原直观图 例 3 (2018 北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三 角形的个数为( C ) A1 B2 C3 D4 解析 由该四棱锥的三视图， 得其直观图如图， 由正视图和侧视图都是等腰直角三角形， 知 PD平面 ABCD，所以侧面 PAD 和 PDC 都是直角三角形，由俯视
11、图为直角梯形，易知 DC 平面 PAD又 ABDC，所以 AB平面 PAD，所以 ABPA，所以侧面 PAB 也是直角三角 形. 易知 PC2 2，BC 5，PB3，从而PBC 不是直角三角形，故选 C 角度 3 由三视图的两个视图推测另一视图 例 4 (2021 衡水金卷改编)某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不 可能是( C ) 解析 若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为 A；若几何体为四棱锥与圆锥的组 合体，则俯视图为 B；若几何体为两个三棱锥的组合体，则俯视图为 D；故选 C 名师点拨 1由几何体的直观图求三视图注意主视图、左视图和俯视图的观察方向，注意看到的 部分用实
12、线表示，看不到的部分用虚线表示 2由几何体的三视图还原几何体的形状，要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图 的形成原理，结合空间想象或长方体将三视图还原为实物图 常见三视图对应的几何体： 三视图为三个三角形，对应三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱 锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对 应三棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱 3由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测 直观图的可能形式，再找其剩下部分三视图的可能形式，当然作为选择题，也可将选项逐项 检验，看看给出的部分三视图是否符合 变式训练 1 (
13、1)(理)(角度 1)(2020 陕西省咸阳市三模)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的 体积过程中构造在一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面 在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)，其直观图如图所示，图 中四边形是体现其直观性所做的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯 视图分别是( A ) Aa，b Ba，c Ca，d Db，d (文)(角度1)(2019 河北衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示， 则该几何体的侧视图为( D ) (2)(理)(角度 2)(2021 温州模拟)若某几何体的三视图如
14、图所示，则此几何体的直观图是 ( A ) (文)(2021 贵州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( D ) (3)(角度 3)(2021 四川成都三诊)如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图 不可能是( A ) 解析 (1)(理)因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起 的方形伞(方盖)所以其正视图和侧视图是一个圆；若俯视图是从上向下看，相对的两个曲面 在同一个圆柱的侧面上，则俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形故选 A (文)易知侧视图的投影面为矩形，又 AF 的投影线为虚线， 即为左下角到右上角的对角线， 所以该几何体
15、的侧视图为选项 D 中图 (2)(理)利用排除法求解B 的侧视图不对C 图的俯视图不对，D 的正视图不对，排除 B， C，D，A 正确，故选 A (文)选项 A 的正视图、俯视图不符合要求，选项 B 的正视图不符合要求，选项 C 的俯视 图不符合要求，故选 D (3)若俯视图为 A，则正视图不符，故选 A 考点三 空间几何体的直观图师生共研 例 5 (2021 宁夏石嘴山三中模拟)已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么ABC 的平 面直观图ABC的面积为( D ) A 3 4 a2 B 3 8 a2 C 6 8 a2 D 6 16a 2 解析 如图、所示的实际图形和直观图 由可知， ABAB
16、a， OC1 2OC 3 4 a， 在图中作 CDAB于 D， 则 CD 2 2 OC 6 8 a. SABC1 2AB CD 1 2a 6 8 a 6 16a 2. 引申若已知ABC 的平面直观图A1B1C1是边长为 a 的正三角形，则原ABC 的面积 为_ 6 2 a2_. 解析 在A1D1C1中，由正弦定理 a sin 45 x sin 120 ，得 x 6 2 a， SABC1 2a 6a 6 2 a2. 名师点拨 1在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置，注意“三变”与“三不变”；平 面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系是 S直观图 2 4 S原图形 2在原图形中与 x
17、轴或 y 轴平行的线段，在直观图中与 x轴或 y轴平行，原图中不与 坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点， 作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出 变式训练 2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面四边形的面 积等于( B ) A 2 4 a2 B2 2a2 C 2 2 a2 D2 2 3 a2 解析 由题意可知原平行四边形一边长为 a，此边上的高为 2 2a，故其面积为 2 2a2. 故选 B 名师讲坛 素养提升 (理)三视图识图不准致误 例 6 (2020 福建福州模拟)如图为一圆柱切削后的几何体及其正视
18、图，则相应的侧 视图可以是( B ) 错因分析 (1)不能正确把握投影方向致误；(2)不能正确判定上表面椭圆投影形状致误； (3)不能正确判定投影线的虚实致误 解析 圆柱被不平行于底面的平面所截得的截面为椭圆，结合正视图，可知侧视图最高 点在中间，故选 B 名师点拨 对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的， 再画其三视图另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线 一定要画出，但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误 变式训练 3 (2019 河南省濮阳市模拟)设四面体 ABCD 各棱长均相等，S 为 AD 的中
19、点，Q 为 BC 上异 于中点和端点的任一点，则SQD 在四面体的面 BCD 上的射影可能是( C ) 解析 设 BC 的中点为 P，则由题意可知 DPBC 且平面 ADP平面 BDC，从而 S 在平 面 BCD 上的射影在 DP 上，SQD 在面 BCD 上的射影为 C，故选 C (文)三视图识图不准致误 例 6 (2021 四川阆中中学测试)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到如图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( B ) 错因分析 (1)不能正确把握投影方向、角度致误；(2)不能正确确定点、线的位置致误； (3)不能正确判断实线与虚线而致误 解析 其左视图即为几何体在平
20、面 BCC1B1上的投影，注意到加工后的几何体的棱 AD1 在平面 BCC1B1上的投影为 BC1且在左视图中能见到， 而棱 B1C 的投影即为它本身且在左视图 中看不见，故选 B 名师点拨 在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空 间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度，在绘制三视图时， 分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、 不见为虚” 变式训练 3 (2020 山东德州质检)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是 ( C ) 解析 此几何体侧视图是从左边向右边看故选 C
