1、第 1页（共 16页） 2021 年湖南省金太阳高考数学联考试卷（年湖南省金太阳高考数学联考试卷（3 月份）月份） 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，共小题，共 40.0 分）分） 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， |3Bx x，则(AB ) A |03xx B |2x x或03x C | 20 xx D |0 x x或23x 2 （5 分）复数 3 (1)zi，则复数z在复平面内所对应的点在() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （5 分）在等比数列 n a中， “ 37 9a a ”是“ 5 3a ”的() A充要条件B充分不必要条件 C
2、必要不充分条件D既不充分也不必要条件 4 （5 分） 已知F为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点， 过点F的直线l与C交于A，B两点， 且| 8AB ，若线段AB中点的横坐标为 3，则(p ) A1B2C3D4 5 （5 分）已知圆锥的轴截面是边长为 8 的等边三角形，则该圆锥的侧面积是() A64B48C32D16 6 （5 分） 算法统宗古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传 ”意为：996 斤棉 花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩子 为止分配时一
3、定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为() A65B99C133D150 7 （5 分） 6 (1)(2)xx的展开式中的 3 x的系数为() A80B80C400D400 8 （5 分）已知M，N是函数( )2cos()(0)f xx 图像与直线3y 的两个不同的交 点若|MN的最小值是 12 ，则() A6B4C2D1 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 9 （5 分）已知向量(2,)am ，( 3, )bn ，则下列说法正确的是() 第 2页（共 16页） A若/ /ab ，则230nmB若/ /ab ，则230
4、nm C若(2)abb ，则 2 230nmnD若|2|5ab ，则22mn 10 （5 分）清华大学全面推进学生职业发展指导工作通过专业化、精细化、信息化和国 际化的就业工作， 引导学生把个人职业生涯科学发展同国家社会需要紧密结合， 鼓励到祖国 最需要的地方建功立业2019 年该校毕业生中，有本科生 2971 人，硕士生 2527 人，博士 生 1467 人学校总体充分就业，毕业生就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保 持 高 位 和 就 业 质 量 稳 步 提 升 根 据 如 图 ， 下 列 说 法 正 确 的 有( ) A博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业 B毕业生总人数超半数
5、选择在北京以外的单位就业 C到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多 D到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8% 11 （5 分）为了得到函数()yln ex的图象，可将函数ylnx的图象() A纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍 B纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 e C向上平移一个单位长度 D向下平移一个单位长度 12 （5 分）在棱长为33的正方体 1111 ABCDABC D中，球 1 O同时与以B为公共顶点的三 个面相切，球 2 O同时与以 1 D为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球 1 O， 2 O的 半径分别为 1 r， 2 r，则() A
6、 11 3O Br 第 3页（共 16页） B 12 3rr C这两个球的体积之和的最大值是9 D这两个球的表面积之和的最小值是18 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 13 （5 分）某大学学生会为了解该校大学生对篮球和羽毛球的喜爱情况，对该校学生做了 一次问卷调查，通过调查数据得到该校大学生喜欢篮球的人数占比为65%，喜欢羽毛球的 人数占比为80%，既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数占比为55%，则该校大学生喜欢篮球或 喜欢羽毛球的人数占比是 14 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且(0)2f，f（1）3写出( )f x的 一个
7、解析式为 15（5分） 已知正数x，y满足440 xyxy， 则xy的最小值为，xy的最小值为 16（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2， 且双曲线C与椭圆 2 2 1 5 x y 有相同的焦点点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别 为A，B，则|AB的最小值为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin22sinBB （1）求B； （2）若8a ， 3 cos 5 A ，求BC边上的中线AD的长 18
8、（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60BAD，ACPB， 22PBABPD （1）证明：PD 平面ABCD （2）求二面角DPBC的余弦值 19 （12 分）已知正项数列 n a的前n项和为 n S， 2 22 nnn Saa 第 4页（共 16页） （1）证明：数列 n a是等差数列 （2）若 2 ( 1)n nn ba ，求数列 n b的前2n项和为 2n T 20 （12 分） 为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度， 美中亚裔健康协会日前通过社交媒体， 进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作 用其实任何一种疫苗都有一定
9、的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的， 这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用在接种新冠疫苗 的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的 副作用，某组织随机抽取了某地 200 人进行调查，得到统计数据如下： 无疲乏症状有疲乏症状总计 未接种疫苗10020120 接种疫苗 xyn 总计160 m 200 （1）求22列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症 状与接种此种疫苗有关 （2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出 8 人，再从 8 人中 随机抽取 3 人做进一步
10、调查若初始总分为 10 分，抽到的 3 人中，每有一人有疲乏症状减 1 分，每有一人没有疲乏症状加 2 分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望 2 0 ()P Kk 0.1500.1000.0500.0250.010 0 k2.0722.7063.8415.0246.635 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在椭圆C 上，且 12 | 8PFPF， 12 PF F面积的最大值是 8 （1）求椭圆C的标准方程 （2）若直线: l xmyt与椭圆C交于A，B两点，点(0,4)D，若直线AD与直线BD关于 y轴对
11、称，试问直线l是否过定点？若是，求出该定点坐标；若否，说明理由 22 （12 分）已知函数( )f xxlnxx （1）求( )f x的最小值 （2）证明：对任意的(0,)x， 2 (1)()40 xxx exlnxx exe 恒成立 第 5页（共 16页） 2021 年湖南省金太阳高考数学联考试卷（年湖南省金太阳高考数学联考试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，共小题，共 40.0 分）分） 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， |3Bx x，则(AB ) A |03xx B |2x x或03x C
12、 | 20 xx D |0 x x或23x 【解答】解： |2Ax x或0 x， |3Bx x， |2ABx x 或03x 故选：B 2 （5 分）复数 3 (1)zi，则复数z在复平面内所对应的点在() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：因为 32 (1)(1) (1)2 (1)22ziiiiii ， 所以复数z在复平面内对应的点( 2, 2)z 在第三象限 故选：C 3 （5 分）在等比数列 n a中， “ 37 9a a ”是“ 5 3a ”的() A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：由等比数列的性质可得 2 537 9aa
13、 a， 则 5 3a ， 则 37 9a a ”是“ 5 3a ”的必要不充分条件 故选：C 4 （5 分） 已知F为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点， 过点F的直线l与C交于A，B两点， 且| 8AB ，若线段AB中点的横坐标为 3，则(p ) A1B2C3D4 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 线段AB中点的横坐标为 3，则 12 236xx， 由题意可得 12 |68ABxxpp，则2p 第 6页（共 16页） 故选：B 5 （5 分）已知圆锥的轴截面是边长为 8 的等边三角形，则该圆锥的侧面积是() A64B48C32D16 【解答】解：
14、因为圆锥的轴截面是边长为 8 的等边三角形， 故圆锥的底面半径为 4，底面周长为8， 故圆锥的侧面积是 1 8832 2 故选：C 6 （5 分） 算法统宗古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传 ”意为：996 斤棉 花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩子 为止分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为() A65B99C133D150 【解答】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列 n a， 由题设知：公差17d ， 又 12381
15、 87 817996 2 aaaaa ，解得 1 65a ， 故 51 4654 17133aad， 故选：C 7 （5 分） 6 (1)(2)xx的展开式中的 3 x的系数为() A80B80C400D400 【解答】解： 6 (2)x 的展开式的通项为 6 16 ( 2)r rr r TC x ， 令62r，得4r ，则 4222 54 ( 2)240TC xx ， 令63r，得3r ，则 3333 46 ( 2)160TC xx ， 故 6 (1)(2)xx的展开式中的 3 x的系数为240160400 故选：C 8 （5 分）已知M，N是函数( )2cos()(0)f xx 图像与直线
16、3y 的两个不同的交 点若|MN的最小值是 12 ，则() A6B4C2D1 第 7页（共 16页） 【解答】解：由于M，N是函数( )2cos()(0)f xx 图像与直线3y 的两个不同 的交点， 故M，N的 横 坐 标 是 方 程2cos()3x的 解 ， 即M，N的 横 坐 标 是 方 程 3 cos() 2 x的解， 可得| 312 min MN ，解得4 故选：B 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 9 （5 分）已知向量(2,)am ，( 3, )bn ，则下列说法正确的是() A若/ /ab ，则230nmB若/ /ab
17、，则230nm C若(2)abb ，则 2 230nmnD若|2|5ab ，则22mn 【解答】解：由/ /ab ，得230nm，则A正确，B错误； 因为，(2,)am ，( 3, )bn ， 所以，2(1,2)abmn ， 由(2)abb ，得3(2)0mn n ，即 2 230nmn，则C正确； 由|2|5ab ，得 22 1(2)5mn，则22mn ，则D错误； 故选：AC 10 （5 分）清华大学全面推进学生职业发展指导工作通过专业化、精细化、信息化和国 际化的就业工作， 引导学生把个人职业生涯科学发展同国家社会需要紧密结合， 鼓励到祖国 最需要的地方建功立业2019 年该校毕业生中，
18、有本科生 2971 人，硕士生 2527 人，博士 生 1467 人学校总体充分就业，毕业生就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保 持 高 位 和 就 业 质 量 稳 步 提 升 根 据 如 图 ， 下 列 说 法 正 确 的 有( 第 8页（共 16页） ) A博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业 B毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业 C到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多 D到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8% 【解答】解：A：北京地区博士生52.1%50%，故正确； B：北京地区有2971 21.9%252739.6%146752.1%
19、2416人， 因此北京以外有6965241645492416，故正确； C：硕士毕业生人数约为25273.2%81人博士毕业生人数14673.7%54人， 因此硕士多于博士，故正确； D：浙江就业人数有2971 3%25275.6%14674.2%292人， 因此占总人数的比例为29269654.2%12.8%，故错误 故选：ABC 11 （5 分）为了得到函数()yln ex的图象，可将函数ylnx的图象() A纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍 B纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 e C向上平移一个单位长度 D向下平移一个单位长度 【解答】解：由题意函数ylnx的图象纵坐标不变，横坐标缩
20、短为原来的 1 e ，可得到函数 ()yln ex的图象，则A错误，B正确； 因为()1yln exlnx，则将函数ylnx的图象向上平移一个单位可得到函数()yln ex的 图象，则C正确，D错误 第 9页（共 16页） 故选：BC 12 （5 分）在棱长为33的正方体 1111 ABCDABC D中，球 1 O同时与以B为公共顶点的三 个面相切，球 2 O同时与以 1 D为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球 1 O， 2 O的 半径分别为 1 r， 2 r，则() A 11 3O Br B 12 3rr C这两个球的体积之和的最大值是9 D这两个球的表面积之和的最小值是18 【解
21、答】解：由题意可得 11 3O Br， 212 3O Dr， 则 121 ( 31)( 31)3(33)rrBD，从而 12 3rr， 故这两个球的体积之和为： 3322 121211 22 44 ()()() 33 rrrrrrrr， 因为 12 3rr，所以 22212 1211 221 2 27 ()()3(93) 393 () 24 rr rrrrrrrr ， 即 33 12 4 () 9 3 rr，当且仅当 12 3 2 rr时等号成立； 这两个球的表面积之和 22212 12 4 () 4 ()9 2 rr Srr ，当且仅当 12 3 2 rr时等号成立 故选：AB 三、填空题（
22、本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 13 （5 分）某大学学生会为了解该校大学生对篮球和羽毛球的喜爱情况，对该校学生做了 一次问卷调查，通过调查数据得到该校大学生喜欢篮球的人数占比为65%，喜欢羽毛球的 人数占比为80%，既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数占比为55%，则该校大学生喜欢篮球或 喜欢羽毛球的人数占比是90% 【解答】解：该校大学生喜欢篮球的人数占比为65%，喜欢羽毛球的人数占比为80%， 既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数占比为55%， 设集合A表示喜欢篮球的大学生，集合B表示喜欢羽毛球的大学生， 则作出韦恩图如下： 第 10页（共 16页） 由题意可得该
23、校大学生喜欢篮球或喜欢羽毛球的人数占比是10%55%25%90% 故答案为：90% 14 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且(0)2f，f（1）3写出( )f x的 一个解析式为 2 ( )2f xx 【解答】解：因为函数( )f x是定义在R上的偶函数， 所以假设函数( )f x为二次函数， 设 2 ( )(0)f xaxbxc a所以对称轴为y轴，所以0b ， 因为(0)2f，f（1）3，所以2c ，3ac， 所以1a ，2c ，所以 2 ( )2f xx， 即满足题意得其中一个函数为 2 ( )2f xx， 故答案为： 2 ( )2f xx （答案不唯一） 15 （5
24、 分）已知正数x，y满足440 xyxy，则xy的最小值为1，xy的最小值 为 【解答】解：由题意可得444xyxyxy，则1xy（当且仅当4xy时，等号成立） ， 即xy的最小值为 1因为440 xyxy，所以 41 4 xy ， 所以 1 411 419 ()()(5)(2 45) 4444 yx xyxy xyxy ， 当且仅当2xy时，等号成立 故答案为：1， 9 4 16（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2， 且双曲线C与椭圆 2 2 1 5 x y 有相同的焦点点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别 第 1
25、1页（共 16页） 为A，B，则|AB的最小值为 3 2 【解答】解：由题意可得 2 512 c e a c ，则 2 1a 2 413b 故双曲线C的方程为 2 2 1 3 y x 其渐近线方程为30 xy 设点 0 (P x， 0) y，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B， 设|PAm，|PBn，则 00 |3| 2 xy m ， 00 |3| 2 xy n ， 故 22 00 |3| 4 xy mn 因为点P在双曲线C上所以 2 2 1 3 y x 则 3 4 mn 因为渐近线30 xy的倾斜角为 3 所以 2 3 AOB ，故 3 APB 在APB中，由余弦定理可得
26、 22222 3 |2cos 34 ABmnmnmnmn mn ， 当且仅当mn时等号成立，则 3 | 2 AB ，即|AB的最小值为 3 2 故答案为： 3 2 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin22sinBB （1）求B； （2）若8a ， 3 cos 5 A ，求BC边上的中线AD的长 【解答】解： （1）由题意可得2sincos2sinBBB， 因为0B， 所以sin0B ，则 2 cos 2 B ， 因为0B， 所以 4 B 第 12页（共 16页） （2）因为
27、 3 cos 5 A 所以 4 sin 5 A 因为ABC， 所以 42327 2 sinsin()sincoscossin 525210 CABABAB， 由正弦定理可得 sinsin ac AC ，则 7 2 8 sin 10 7 2 4 sin 5 aC c A ， 由余弦定理可得 222 2 2cos981627 2458 2 ADABBDAB BDB ， 则58AD 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60BAD，ACPB， 22PBABPD （1）证明：PD 平面ABCD （2）求二面角DPBC的余弦值 【解答】 （1）证明：因为底面ABCD是菱形所以
28、ACBD， 因为ACPB，且BDPBB ，BD，PB 平面PBD， 所以AC 平面PBD， 因为PD 平面PBD，所以ACPD， 因为ABAD，且60BAD，所以BDAB， 因为22PBABPD，所以 222 PDBDPB，则PDBD， 因为ACBDO ，AC，BD 平面ABCD， 所以PD 平面ABCD （2）解：以O为坐标原点，射线OA，OB分别为x，y轴正半轴，过点O的垂线为z轴， 第 13页（共 16页） 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 设2AB ， 则(0B， 1，0)，(3C ， 0，0)，(0P，1，2)， 从而(3, 1,0)BC ，(0, 2,2)BP ， 设平面PB
29、C的法向量(, )nx y x 则 30 220 n BCxy n BPyx ，令1x ，得(1,3,3)n ， 易知平面PBD的一个法向量(1m ，0，0)， 则cosn ， 17 |77 n m m n m ， 设二面角DPBC为，由图可知为锐角， 则coscosn ， 7 7 m 19 （12 分）已知正项数列 n a的前n项和为 n S， 2 22 nnn Saa （1）证明：数列 n a是等差数列 （2）若 2 ( 1)n nn ba ，求数列 n b的前2n项和为 2n T 【解答】解： （1）证明：因为 2 22 nnn Saa， 所以当1n 时， 2 1111 222Saaa，
30、 即 2 11 20aa， 解得 1 2a 或 1 1a （舍去） 当2n时， 2 111 22 nnn Saa ， 第 14页（共 16页） 则 22 11 22(2) nnnnn aaaaa ， 即 11 ()(1)0 nnnn aaaa ， 因为0 n a ， 所以 1 0 nn aa ，则 1 10 nn aa ， 即 1 1 nn aa ， * (nN，2)n 所以数列 n a是等差数列 （2）由（1）可得211 n ann ， * nN， 则 22 ( 1)( 1) (1) nn nn ban ， * nN， 从而 22 212 (2 )(21)41 nn bbnnn ， 故 2
31、212212 (541) (41)(421)(41)23 2 nnn nn Tbbbbnnn 20 （12 分） 为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度， 美中亚裔健康协会日前通过社交媒体， 进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作 用其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的， 这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用在接种新冠疫苗 的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的 副作用，某组织随机抽取了某地 200 人进行调查，得到统计数据如下： 无疲乏症状有疲乏
32、症状总计 未接种疫苗10020120 接种疫苗 xyn 总计160 m 200 （1）求22列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症 状与接种此种疫苗有关 （2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出 8 人，再从 8 人中 随机抽取 3 人做进一步调查若初始总分为 10 分，抽到的 3 人中，每有一人有疲乏症状减 1 分，每有一人没有疲乏症状加 2 分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望 2 0 ()P Kk 0.1500.1000.0500.0250.010 第 15页（共 16页） 0 k2.0722.7063.8415.0246
33、.635 【解答】解： （1）由题意得：20016040m ，2020ym， 16010060 x ，602080nxy， 因为 2 2 200(100202060)25 2.0832.072 16040 120 8012 K 所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关 （2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出 8 人，可知 8 人中 无疲乏症状的有 6 人，有疲乏症状的有 2 人，再从 8 人中随机抽取 3 人，当这 3 人中恰有 2 人有疲乏症状时，10X ；当这 3 人中恰有 1 人有疲乏症状时，13X ；当这 3 人中没有 人有疲乏症状时，16X 因为
34、21 26 3 8 3 (10) 28 C C P X C ； 12 26 3 8 15 (13) 28 C C P X C ； 03 26 3 8 5 (16) 14 C C P X C 所以X的分布列如下： X101316 P 3 28 15 28 5 14 期望 315555 ()101316 2828144 E X 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在椭圆C 上，且 12 | 8PFPF， 12 PF F面积的最大值是 8 （1）求椭圆C的标准方程 （2）若直线: l xmyt与椭圆C交于A，B两点，点(0
35、,4)D，若直线AD与直线BD关于 y轴对称，试问直线l是否过定点？若是，求出该定点坐标；若否，说明理由 【解答】解： （1）设椭圆C的焦距为2c，则 222 28, 8, . a bc cab 解得 2 16a 2 8b 故椭圆C的标准方程为 22 1 168 xy （2）设 11 ()A xy 2 (B x， 2) y联立 22 1 168 xmyt xy ，整理得 222 (2)2160mymtyt 则 2 1212 22 216 22 mtt yyy y mm 第 16页（共 16页） 因为(0,4)D，所以 121221 1212 44(4)()(4)() ADBD yyymytym
36、yt kk xxx x ， 因为直线AD与直线BD关于y轴对称， 所以0 ADBD kk即 1212 2(4)()80my ytmyyt 则 2 22 162 2(4 ) ()80 22 tmt mtmt mm ，即2tm ， 从而直线l的方程为2(2)xmymm y，故直线l过定点(0,2) 22 （12 分）已知函数( )f xxlnxx （1）求( )f x的最小值 （2）证明：对任意的(0,)x， 2 (1)()40 xxx exlnxx exe 恒成立 【解答】 （1）解：由题意可得( )f x的定义域为(0,)，且( )fxlnx 由( )0fx，得01x；由( )0fx，得1x
37、则( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 故( )minf xf（1）1 （2）证明：要证 2 (1)()40 xxx exlnxx exe ， 只需证 22 (1)40 xx exlnxxex ，即证 2 2 4 1 x x xlnxx ee 设( )1g xxlnxx，由（1）可知( )ming xg（1）0 设 2 2 4 ( )(0) x x h xx ee ，则 2 2 ( )(0) x xx h xx e 由( )0h x，得02x；由( )0h x，得2x ， 则( )h x在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减 故( )maxh xh（2）0， 因为( )g x与( )h x的最值不同时取得，所以( )( )g xh x，即 2 2 4 1 x x xlnxx ee 故当0 x 时，不等式 2 (1)()40 xxx exlnxx exe 恒成立
