1、第 1页（共 21页） 2021 年江西省赣州市高考数学摸底试卷（理科年江西省赣州市高考数学摸底试卷（理科） （一模）（一模） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |(12 )Mx ylnx， 2 |0Nx xx，则(MN ) A 1 (0, ) 2 B 1 (0, 2 C 1 ,1) 2 D 1 ( ,1) 2 2（5 分） 已知复数z满足 3 ()(12 )ziii（其中i为虚数单位） ， 则复
2、数z的虚部等于() A 6 5 iB 6 5 C 4 5 iD 4 5 3 （5 分）某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进 行测量（单位：厘米） ，左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展 所对应的散点图，并求得其回归方程为1.1630.75yx，以下结论中不正确的为() A15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 C可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 4（5 分） 已知点( , )m n在关于x，y的不等式组 0
3、 0 22 xy xy xy 所表示的平面区域内， 则 22 mn 的最小值为() A 2 5 B 10 5 C 2 5 5 D 2 3 5 （5 分）设函数 3 ( )sin(0 xx f xaabxc a 且1)a 若()1ft，( )3f t ，则(c ) 第 2页（共 21页） A1B2C3D4 6 （5 分）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋” ，它的画法是：以斐波那契 数：1，1，2，3，5，8，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角 为90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波那契螺 旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺
4、旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆 弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为() A 13 2 B 13 15 4 C 13 4 D 13 2 7（5 分） 已知数列 n a满足 1 2a ， m nmn aaa ， 记 n S为正项等比数列 n b的前n项和 若 48 ba， 2 41 4 nnn bbb ，则 2 log (2)( n S ) A1nB1n C2n Dn 8 （5 分）在 5 1 (21)x x 的展开式中，除 2 x项外，其余各项的系数之和为() A230B231C232D233 9 （5 分）已知函数( )cos()(0f xAxA，0)的周期(, ) 2 T 若
5、7 ()0 12 f ， (0)() 2 ff ，则() A 7 2 B 10 3 C3D 5 2 10 （5 分）已知函数( )2sin() 6 f xx ，当0 x，10时，把函数( )( )1F xf x的所有 零点依次记为 1 x， 2 x， 3 x， n x，且 123n xxxx，记数列 n x的前n项和为 n S， 则( n S ) A 20 3 B 40 3 C 80 3 D 140 3 11 （5 分）已知M，N是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上关于原点对称的两点，P是C 上异于M，N的动点，设直线PM，PN的斜率分别为 1 k， 2 k若直线 1
6、2 yx与曲线C没 有公共点，当双曲线C的离心率取得最大值时，且 1 23k，则 2 k的取值范围是() 第 3页（共 21页） A 1 1 , 12 8 B 11 , 812 C 1 1 , 3 2 D 11 , 23 12 （5 分）在三棱锥SABC中，SA 平面ABC，2 3SAAB，2BC ，2 7SC 若 P，Q分别是SB，BC的中点，则平面APQ被三棱锥SABC的外接球所截得的截面面积 为() A 43 7 B 13 4 C 21 5 D 14 3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）平面向量a 与
7、b 的夹角为30，( 3,0)a ，| 1b ，则|2|ab 14（5 分） 记 n S为数列 n a的前n项和 若 1 1a ， 2 1 n n S a n ， 则数列 n a的通项公式为 15 （5 分）已知函数( )f xlnxax，若 1 2 x 是( )f x的极值点，则( )f x在1x 处的切线方 程为 16 （5 分）设抛物线 2 :2C yx的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA 为半径的圆交l于B，D两点若0FB FD ，则ABD的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
8、第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分） 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边， 且 3 sin() 32 cBa （1）求角C； （2）设5BC ，7AB ，若延长CB到D，使 21 cos 7 ADC，求CD的长 18（12 分） 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是菱形， 平面PBD 底面ABCD， 且BDPC （1）求证：PAPC； （2）设BDPB，60BAD，E为PC的中点，求直线
9、BE与平面PAB所成角的正弦值 第 4页（共 21页） 19 （12 分）有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有 5 个球的袋中(3个白 球和 2 个黑球）轮流摸出 1 球（摸后不放回） ，摸到第 2 个黑球的人获胜，同时结束该次游 戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏 （1）求先摸球者获胜的概率； （2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩 3 次，第 1 次游戏由小李先摸球，并且某一次游 戏输者在下一次游戏中先摸球每次游戏获胜者得 1 分，但若先摸球者输则1分，后摸球 者输则得 0 分记 3 次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望EX 20 （12 分）设离心率
10、为 1 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，点 P在E上，且满足 12 60F PF， 12 PF F的面积为3 （1）求a，b的值； （ 2 ） 设 直 线:2(0)l ykxk与E交 于M，N两 点 ， 点A在x轴 上 ， 且 满 足 0AM MNAN MN ，求点A横坐标的取值范围 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )2() 2 f xlnxxax aR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2） 是否存在一条直线l与曲线( )yf x相切于两个不同的点 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()f x？
11、若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第第 1 题计分题计分.作答时请用作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.选修选修 4-4： 坐标系与参数方坐标系与参数方 程程（10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程为 2 2 2 1 ( 2 1 t x t t y t 为参数， 且0)t 以 坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为
12、(4,) 6 （1）求 1 C的极坐标方程； （2）设曲线 2 C的直角坐标方程为 22 16xy，以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC的 顶点B，C均在 2 C上若B在第二象限，直线BC交 1 C于点M，求|BM 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 22 ( ) |21|5|f xxx 第 5页（共 21页） （1）求不等式( )5f x 的解集； （2）若( )f xtx对任意1x，)恒成立，求实数t的取值范围 第 6页（共 21页） 2021 年江西省赣州市高考数学摸底试卷（理科年江西省赣州市高考数学摸底试卷（理科） （一模）（一模） 参考答案与试题解
13、析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |(12 )Mx ylnx， 2 |0Nx xx，则(MN ) A 1 (0, ) 2 B 1 (0, 2 C 1 ,1) 2 D 1 ( ,1) 2 【解答】解： 1 |120 |, |01 2 Mxxx xNxx， 1 (0, ) 2 MN 故选：A 2（5 分） 已知复数z满足 3 ()(12 )ziii（其中i为虚数单位） ， 则复数
14、z的虚部等于() A 6 5 iB 6 5 C 4 5 iD 4 5 【解答】解：因为 3 ()(12 )ziiii ， 所以 226 12555 ii ziii i ，虚部为 6 5 故选：B 3 （5 分）某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进 行测量（单位：厘米） ，左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展 所对应的散点图，并求得其回归方程为1.1630.75yx，以下结论中不正确的为() A15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 C可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65
15、厘米 第 7页（共 21页） D身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 【解答】解：对于A，身高极差大约是 25，臂展极差大于等于 30，故A正确； 对于B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些， 展臂就会长一些，故B正确； 对于C， 身高为 190 厘米， 代入回归方程可得展臂等于 189.65 厘米， 但不是准确值， 故C正 确； 对于D，身高相差 10 厘米的两人展臂的估计值相差 11.6 厘米，但不是准确值， 回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误； 故选：D 4（5 分） 已知点( , )m n在关于x，y的不等式组 0 0 22 x
16、y xy xy 所表示的平面区域内， 则 22 mn 的最小值为() A 2 5 B 10 5 C 2 5 5 D 2 3 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 点( , )m n在平面区域内， 22 mn的最小值为O到直线220 xy的距离， 等于 22 | 2|2 5 5 2( 1) 故选：C 5 （5 分）设函数 3 ( )sin(0 xx f xaabxc a 且1)a 若()1ft，( )3f t ，则(c ) A1B2C3D4 第 8页（共 21页） 【解答】解：根据题意，函数 3 ( )sin xx f xaabxc ， 则 33 ()sin ()(sin) xxxx fxaa
17、bxcaabxc ， 则有( )()2f xfxc，则()( )2ftf tc， 若()1ft，( )3f t ，则()( )24ftf tc，必有2c ， 故选：B 6 （5 分）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋” ，它的画法是：以斐波那契 数：1，1，2，3，5，8，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角 为90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波那契螺 旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆 弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为() A 13 2 B 13 15 4 C 13 4 D
18、13 2 【解答】解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， 即接下来的圆弧对应的圆面半径是5813，对应的弧长是 113 213 42 l ， 设圆锥底面半径为r，则 13 2 2 r ，解得 13 4 r ， 所以圆锥的高为 22 1313 15 13() 44 h 故选：B 7（5 分） 已知数列 n a满足 1 2a ， m nmn aaa ， 记 n S为正项等比数列 n b的前n项和 若 48 ba， 2 41 4 nnn bbb ，则 2 log (2)( n S ) A1nB1n C2n Dn 【解答】解：数列 n a满足 1 2a ， m nmn a
19、aa ， 当1mn时，解得 2 224a ， 当2mn时， 422 8aaa， 同理，当4mn时， 844 16aaa， 第 9页（共 21页） 记 n S为正项等比数列 n b的前n项和，若 48 ba， 2 41 4 nnn bbb ， 则 422 4 nnn bqbbq， 整理得2q （负值舍去） ，故2n n b 则 1 2(21) 22 21 n n n S ， 所以 2 log (2)1 n Sn 故选：B 8 （5 分）在 5 1 (21)x x 的展开式中，除 2 x项外，其余各项的系数之和为() A230B231C232D233 【解答】解：在 5 1 (21)x x 的展开
20、式中，令1x ，可得各项系数和为 32 而 5 1 (21)x x 表示 5 个因式 1 (21)x x 的乘积， 要得到含 2 x的项，需有 2 个因式取x，其余的 3 个因式都取( 1)； 或有 3 个因式取x，一个因式取 1 x ，一个因式取1， 故含 2 x的项的系数为 2233331 5352 2( 1)2( 1)40 160200CCCC ， 除 2 x项外，其余各项的系数之和为32( 200)232 ， 故选：C 9 （5 分）已知函数( )cos()(0f xAxA，0)的周期(, ) 2 T 若 7 ()0 12 f ， (0)() 2 ff ，则() A 7 2 B 10
21、3 C3D 5 2 【解答】解：因为( )cos()f xAx， 7 ()0 12 f ， 可得 2 ( 2 T ，)，(2,4)， 所以 7 cos()0 12 ，即 7 122 k ，kZ， 又(0)() 2 ff ， 所以coscos() 2 AA ，可得coscos() 2 ， 第 10页（共 21页） 所以 2 m ，或2 2 m ，mZ， 若 2 m ，则2m，mZ，又24，可得无解； 若2 2 m ，mZ，则22 2 m ，mZ， 所以 7 2, 122 22, 2 nnZ mmZ ，解得 7 (42 ) 62 nm ， 所以3(2)nm，( ,)n mZ， 所以为整数，且(2,
22、4)， 所以3 故选：C 10 （5 分）已知函数( )2sin() 6 f xx ，当0 x，10时，把函数( )( )1F xf x的所有 零点依次记为 1 x， 2 x， 3 x， n x，且 123n xxxx，记数列 n x的前n项和为 n S， 则( n S ) A 20 3 B 40 3 C 80 3 D 140 3 【解答】解：( )( )1F xf x的零点即( )1f x ，即 1 sin() 62 x ， 由 62 xk ，kZ，解得 2 3 xk，0k ，2，4，6，8，即为2sin() 6 yx 的 图象的对称轴方程， 则 12 4 3 xx， 34 16 3 xx，
23、 910 52 3 xx， 可得 1 452140 ()5 2 333 n S ， 故选：D 11 （5 分）已知M，N是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上关于原点对称的两点，P是C 上异于M，N的动点，设直线PM，PN的斜率分别为 1 k， 2 k若直线 1 2 yx与曲线C没 有公共点，当双曲线C的离心率取得最大值时，且 1 23k，则 2 k的取值范围是() A 1 1 , 12 8 B 11 , 812 C 1 1 , 3 2 D 11 , 23 【解答】解：因为直线 1 2 yx与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 没有公共点，所以渐进线
24、第 11页（共 21页） 的斜率 1 ,) 2 k ，而双曲线的离心率取得最大值，故 1 2 b a ，即2ab，则双曲线方程为 22 22 1 4 xy bb ， 设 1 (M x， 1) y， 1 (Nx， 1) y， 0 (P x， 0) y，则 22 11 22 22 00 22 1 4 1 4 xy bb xy bb ， 两式相减得： 10101010 22 ()()()() 4 xxxxyyyy bb ，即 12 1 4 kk， 又 1 23k， 2 1 1 , 12 8 k 故选：A 12 （5 分）在三棱锥SABC中，SA 平面ABC，2 3SAAB，2BC ，2 7SC 若
25、P，Q分别是SB，BC的中点，则平面APQ被三棱锥SABC的外接球所截得的截面面积 为() A 43 7 B 13 4 C 21 5 D 14 3 【解答】解：如图， SA 平面ABC，AC 平面ABC，SAAC， 又2 3SA ，2 7SC ， 22 (2 7)(2 3)4AC， 又2 3AB ，2BC ， 222 ABBCAC，即ABBC， 则SC的中点O即为三棱锥SABC外接球的球心，半径为 1 7 2 SC ， P，Q分别是SB，BC的中点， 1 7 2 PQSC， 22 12113AQABBQ ， SAB为等腰直角三角形， 11 2 66 22 APSP， 222 AQAPPQ，即A
26、PPQ， 由图可知，O到平面APQ的距离等于B到平面APQ的距离，设B到平面APQ的距离为h， 第 12页（共 21页） 由 P ABQB APQ VV ，可得 1111 2 3 1367 3232 h ， 解得 42 7 h ，可得平面APQ被三棱锥SABC的外接球所截得的截面圆的半径 4243 7 497 r 平面APQ被三棱锥SABC的外接球所截得的截面面积为 2 4343 () 77 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）平面向量a 与b 的夹角为30，( 3,0)a ，| 1b ，则|2|ab
27、 19 【解答】解：由已知|3a ， 3 3 1 cos30 2 a b ， 所以 222 3 |2|44434119 2 abaa bb ， 所以|2|19ab 故答案为：19 14 （5 分）记 n S为数列 n a的前n项和若 1 1a ， 2 1 n n S a n ，则数列 n a的通项公式为 n an 【解答】解：因为 2 1 n n S a n ，则(1)2 nn naS 所以 11 (2)2 nn naS 可得 11 (2)(1)2 nnn nanaa ，所以 1 (1) nn nana ， 即 1 1 nn aa nn ，所以 1221 1 1221 nnn aaaaa nn
28、n ， 所以 n an， 故答案为： n an 15 （5 分）已知函数( )f xlnxax，若 1 2 x 是( )f x的极值点，则( )f x在1x 处的切线方 程为10 xy 【解答】解：( )f xlnxax的导数为 1 ( )fxa x ， 由 1 2 x 是( )f x的极值点，可得 1 ( )20 2 fa， 解得2a ， 第 13页（共 21页） 所以( )2f xlnxx， 导数为 1 ( )2fx x ， 则( )f x在1x 处的切线的斜率为121 ， 切点为(1, 2)， 所以( )f x在1x 处的切线方程为2(1)yx ， 即为10 xy 故答案为：10 xy
29、16 （5 分）设抛物线 2 :2C yx的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA 为半径的圆交l于B，D两点若0FB FD ，则ABD的面积为2 【解答】解：如图所示，设l与x轴交于H，且 1 (2F，0)， 1 : 2 l x ， 因为若0FB FD ，则BFFD，可得 1 ( 2 B ，1)， 1 ( 2 D ，1) 可得 22 11 |()12 22 FB ， 所以圆的半径为| | |2FAFBFD，A的横坐标为： 1 2 2 ， A到抛物线的准线的距离为：2 所以ABD的面积为 11 |222 22 BD d ， 故答案为：2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.
30、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 第 14页（共 21页） 分分. 17 （12 分） 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边， 且 3 sin() 32 cBa （1）求角C； （2）设5BC ，7AB ，若延长CB到D，使 21 cos 7 ADC，求CD的长 【解答】解： （1）由正弦定理及条件得， 133 sin( sincos)s
31、in 222 CBBA， 即 13333 sin( sincos)sin()sincoscossin 22222 CBBBCBCBC， 整理得tan3C ， 又C为三角形内角，所以60C ； （2）在ABC中，由余弦定理得， 2 25549ACAC，解得8AC ， ACD中， 5 7 sinsin()sincoscossin 14 CADCDCDCD， 由正弦定理得： sinsin CDAC CADADC ， 所以10CD 18（12 分） 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是菱形， 平面PBD 底面ABCD， 且BDPC （1）求证：PAPC； （2）设BDPB，60BAD，E为PC的中点
32、，求直线BE与平面PAB所成角的正弦值 【解答】证明： （1）连接AC交BD于点O连PO， 因为ABCD是菱形，所以ACBD， 又BDPC，AC 平面POC，PC 平面POC， 从而BD 平面POC，PO 平面POC，所以POBD， 又平面PBD 底面ABCD，所以PO 平面ABCD，AC 平面ABCD，于是POAC， 而O是AC的中点，故PAPC （2）解：设2BD ，则ABD，BCD，PBD均为边长为 2 的正三角形 第 15页（共 21页） 如图，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系 则(1B，0，0)，(0, 3,0)C，(0,3,0)A，(0,0, 3)P， 333
33、3 (0,)( 1,) 2222 EBE ， (1, 3,0)AB ，(1,0,3)PB ， 设平面PAB的一个法向量为( , , )nx y z ， 则 30 30 n ABxy n PBxz ， 令3x ，得( 3, 1,1)n ， 设直线BE与平面PAB所成角为，则 |6 sin 5| | BE n BEn ， 所以直线BE与平面PAB所成角的正弦值为 6 5 19 （12 分）有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有 5 个球的袋中(3个白 球和 2 个黑球）轮流摸出 1 球（摸后不放回） ，摸到第 2 个黑球的人获胜，同时结束该次游 戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次
34、游戏 （1）求先摸球者获胜的概率； （2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩 3 次，第 1 次游戏由小李先摸球，并且某一次游 戏输者在下一次游戏中先摸球每次游戏获胜者得 1 分，但若先摸球者输则1分，后摸球 者输则得 0 分记 3 次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望EX 【解答】解： （1）记事件A： “在一次游戏中先摸球者获胜” ，先摸球者获胜等价于将这 5 个球进行排序， 第 2 个黑球排在 3 号位置或 5 号位置，共有246种， 而 2 个黑球共有 2 5 10C 种位置， 第 16页（共 21页） 故 63 ( ) 105 P A （2）小李得分的所有可能取值为3，1
35、，0，1，2，3， 记事件 i A为“第i次游戏中小李先摸球获胜” ，记事件 i B为“第i次游戏中小张先摸球获胜” ， 则 3 ()() 5 ii P AP B， 123 2228 (3)() 555125 P XP A A A ， 123 22312 (1)() 555125 P XP A A A ， 123123 33223336 (0)() 555555125 P XP AB AA A B， 123 23212 (1)() 555125 P XP A A B， 123123 32333345 (2)() 555555125 P XP A B BAB A， 123 32212 (3)()
36、 555125 P XP A B B， 所以X的分布列为 X310123 p8 125 12 125 36 125 12 125 45 125 12 125 81236124512112 3( 1)0123 125125125125125125125 EX 20 （12 分）设离心率为 1 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，点 P在E上，且满足 12 60F PF， 12 PF F的面积为3 （1）求a，b的值； （ 2 ） 设 直 线:2(0)l ykxk与E交 于M，N两 点 ， 点A在x轴 上 ， 且 满 足 0AM MNAN
37、MN ，求点A横坐标的取值范围 【解答】解： （1）设椭圆短轴的端点为B，则 2 1 sin 2 OBF， 所以 2 6 OBF ， 12 3 FBF ， 所以点P即为点B，所以 1 2 1 23 2 PF F Sc bbc， 又 1 2 c a ， 222 abc，所以2a ，3b （2）设( ,0)A m， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，MN的中点 0 (H x， 0) y， 第 17页（共 21页） 由 22 2 3412 ykx xy ，得 22 (43)1640kxkx， 所以 222 (16 )16(43)48(41)0kkk， 又0k ，所以 1 2 k
38、， 所以 12 2 16 43 k xx k ，所以 12 0 2 8 243 xxk x k ， 所以 00 2 6 2 43 ykx k ，即 22 86 (,) 43 43 k H kk ， 因为()20AM MNAN MNAMANMNAH MN ， 所以AHMN， 所以 2 2 6 1 43 8 43 k k k m k ，得 2 22 3 43 4 k m k k k ， 因为 1 2 k ，所以 3 44 3k k ，当且仅当 3 2 k 时取“”号， 所以 3 ,0) 6 m ，故点A的横坐标的取值范围是 3 ,0) 6 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )2() 2 f
39、xlnxxax aR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2） 是否存在一条直线l与曲线( )yf x相切于两个不同的点 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()f x？ 若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由 【解答】解： （1） 2 22 ( )(0) xax fxxax xx ， 2 8a， 当0，即2 22 2a 时，( ) 0fx，( )f x在(0,)递增， 当0，即2 2a 或2 2a 时， ( ) i若2 2a ，因0 x ，所以( )0fx，( )f x在(0,)递增， ( )ii若2 2a ，方程 2 20 xax的两根 2 1 8 2 aa x ，
40、 2 2 8 2 aa x ， 且 12 0 xx， 1 (0,)xx时，( )0fx， 2 (xx，)时，( )0fx， 所以( )f x在 1 (0,)x， 2 (x，)上递增， 1 (xx， 2) x时，( )0fx，故( )f x在 1 (x， 2) x上递减， 第 18页（共 21页） 综上：若2 2a，则( )f x在(0,)递增， 若2 2a ，则( )f x在 2 8 (0,) 2 aa ， 2 8 ( 2 aa ，)上递增， 在 2 8 ( 2 aa ， 2 8) 2 aa 上递减； （2）假设这样的直线存在，则曲线在 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 212
41、 ()(0)f xxx两处的切线 方程分别为： 111 ()()()yf xfxxx， 222 ()()()yf xfxxx， 依假设知 12 ()()fxfx且 111222 ()()()()f xx fxf xx fx， 即 12 2x x 且 22 1122 11 22 22 lnxxlnxx，消去 2 x，得 22 11 2 1 2 20(*) 22 xx ln x ， 令 2 1 2 x t ，由 12 0 xx且 12 2x x ，得(0,1)t， 设 1 ( )2p tlntt t ，则 2 (1) ( )0 t p t t ， 所以( )p t在(0,1)上递减，所以当01t
42、时，( )P tp（1）0， 故(*)式不能成立，所以假设不成立 即不存在一条直线与曲线( )yf x相切于两个不同点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第第 1 题计分题计分.作答时请用作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.选修选修 4-4： 坐标系与参数方坐标系与参数方 程程（10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程为 2 2 2 1 ( 2 1 t x t t y t 为参数
43、， 且0)t 以 坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为(4,) 6 （1）求 1 C的极坐标方程； （2）设曲线 2 C的直角坐标方程为 22 16xy，以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC的 顶点B，C均在 2 C上若B在第二象限，直线BC交 1 C于点M，求|BM 第 19页（共 21页） 【解答】解： （1）曲线 1 C的参数方程为 2 2 2 1 ( 2 1 t x t t y t 为参数，且0)t ，整理得xyt，所以 x t y ， 代入 2 2 1 y t ， 得到 22 20 xyy， 根据 222 cos sin x y xy ， 转换为极坐标方程为2
44、sin （2）点A的极坐标为(4,) 6 ，曲线 2 C的直角坐标方程为 22 16xy， 所以点A在曲线 2 C上， 以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC的顶点B，C均在 2 C上 故BC为曲线 2 C的直径，且点B在第二象限， 如图所示： 易知：原点O为BC与圆的交点，此时| | 4BMBO， 另一交点在第二象限内， 2 263 BOx ， 代入曲线 1 C的方程，得到2sin3， 所以|3OM， 所以| | 43BMBOOM 故| 4BM 或43 第 20页（共 21页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 22 ( ) |21|5|f xxx （1）
45、求不等式( )5f x 的解集； （2）若( )f xtx对任意1x，)恒成立，求实数t的取值范围 【解答】解： （1）因为函数 22 ( ) |21|5|f xxx，设 2 mx，则0m， 所以不等式( )5f x 可化为|21|5| 5mm， 等价于 1 0 2 (12 )(5)5 m mm ，或 1 5 2 (21)(5)5 m mm ，或 5 (21)(5)5 m mm ， 解得 11 32 m，或 1 1 2 m，或m， 即 1 1 3 m， 所以 2 1 1 3 x， 解得 3 1 3 x ，或 3 1 3 x， 所以( )5f x 的解集为( 1， 33 )( 33 ，1)； （2）1x，)时， 22 ( )21 |5|f xxx ， 当15x 时，( )f xtx等价于 22 (21)(5)xxtx， 即 4 xt x ， 又 44 24xx xx ，当且仅当2x 时取“” ， 所以4t； 当5x 时，( )f xtx等价于 22 (21)(5)xxtx， 即 6 3xt x ， 又 6 3yx x 在( 5x，)上单调递增， 所以 669 5 33 5 55 x x ， 所以 9 5 5 t ； 综上知，实数t的取值范围是4t 第 21页（共 21页）
