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1、第 1页（共 21页） 2021 年陕西省宝鸡市高考数学检测试卷（文科年陕西省宝鸡市高考数学检测试卷（文科）（二（二）（二模）（二模）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的有一个是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx，集合 |1Bx x，则(AB ) A1，2BC(，0D0，1) 2 （5 分）复数 2 ( 1 i zi i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （5 分

2、）某校甲、乙课外活动小组（两小组人数相等）20 次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲、乙两组平均成绩分别用 1 x， 2 x表示，标准差分别用 1 s， 2 s表示，则() A 1212 ,xx ssB 1212 ,xx ss C 1212 ,xx ssD 1212 ,xx ss 4 （5 分）已知向量( , 2)am 与(4, )bn 共线，则m n的值为() A8B8C4D4 5 （5 分）已知 n a是等差数列，满足 15369 3()2()18aaaaa，则该数列前 8 项和为( ) A36B24C16D12 6 （5 分）函数 1| ( ) xx ln x f x

3、ee 的图象大致为() 第 2页（共 21页） A B C D 7 （5 分）ABC中，已知13AC ，60ABC，ABBC，且ABC的面积为3 3，则AB边上的高等于() A2 3B2C3D2 8 （5 分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为() A8B 8 3 C 82 3 D 16 6 9 （5 分）设抛物线 2 :4C xy的焦点为F，准线l与y轴的交点为M，P是C上一点，若第 3页（共 21页） | 5PF ，则| (PM ) A21B5C2 7D41 10 （5 分）已知函数 22 ( )2sin cos3(sincos)f xxxxx，判断下列给出的四个命题，其中错

4、误的命题有()个对任意的xR，都有 2 ()( ) 3 fxf x ；将函数( )yf x的图象向左平移 12 个单位，得到偶函数( )g x；函数( )yf x在区间(12 ， 7 ) 12 上是减函数； “函数( )yf x取得最大值”的一个充分条件是“ 12 x ” A0B1C2D3 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO， 2 PF分别交双曲线C的左，右支于另一点M， N，若 12 | 3|PFPF，且 2 60MF N，则双曲线的离心率为() A

5、5 2 B3C2D 7 2 12 （5 分）如图是一个底面半径和高都是 1 的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积V是水面高度x的函数( )Vf x，若正数a，b满足1ab，则f（a）f（b）的最小值为() A 12 B 6 C 4 D 3 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 20 分分（注注：16 题第一空题第一空 3 分分，第二空第二空 2 分分） 13 （5 分）已知曲线 9 :(0)C yxx x ，若过曲线C上点P的切线与直线20 xy平行，则点P的坐标为 14 （5 分）我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最

6、大公约数是一个伟大创举这个伟大创举与古希腊的算法“辗转相除法”实质一样如图的程序框图第 4页（共 21页）即源于“辗转相除法” ，若输入288a ，123b ，输出结果时，循环体被执行了次 15 （5 分）若函数 3 2 , ( ) , xx t f x xxt 是R上的增函数，则实数t的取值范围是 16 （5 分）一个多面体的顶点是四个半径为3且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为；内切球的体积为三三、解答题解答题：共共 70 分解答须写出文字说明分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题题为必考题，每每个试题考生都必须作答第

7、个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列 n a的公差2d ，且 12 6aa，数列 n b是各项均为正数的等比数列，且满足 1 1 2 b ， 3 5 1 256 b b （1）求数列 n a与 n b的通项公式；（2）设数列 n c满足 1 2 nnn ca b，其前n项和为. n T求证：2 n T 18 （12 分）某社区组织了以“共同保护生态环境，共建绿色生态环境家园”为主题的垃圾分类、环境保护宣传咨询服务活动组织方从参加活动的群众中随机抽取 120

8、名群众，按他们的年龄分组：第 1 组20，30)，第 2 组30，40)，第 3 组40，50)，第 4 组50，60)，第 5 组60，70，得到的频率分布直方图如图所示（1）若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访，求被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率；（2）已知第 1 组群众中男性有 2 人，组织方要从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成宣传志愿者服务小组，求至少有 1 名男性的概率第 5页（共 21页） 19（12 分）如图，在四边形ABCD中，2AB ，1PDDCBC，/ /ABDC，90BCD， F为AB上的点且 1 2 AF ，若PD 平面ABC

9、D，E为PC的中点（1）求证：/ /EF平面PAD；（2）求四棱锥PABCD的侧面积 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 3 2 ，点G是椭圆上一点， 12 GF F的周长为64 3 （1）求椭圆C的方程；（2）直线: l ykxm与椭圆C交于A，B两点，且四边形OAGB为平行四边形，求证：四边形OAGB的面积为定值 21 （12 分）已知 2 1 ( )4 2 f xlnxxa， 2 1 ( )(44) x g xxxe e （1）求函数( )g x的单调区间；（2）若( )( )f xg x恒成

10、立，求实数a的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请先涂题号第一题计分。作答时请先涂题号.选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为 4coscos ( 3sinsin x R y ，为参数）第 6页（共 21页）（1）求曲线 1 C的普通方程并说明曲线 1 C的形状；（2）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 sin()0 4

11、，求曲线 1 C的对称中心到曲线 2 C的距离的最大值选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23已知函数( ) |24|1|f xxx （1）求不等式( ) 8f x 的解集；（2）设a，b，cR，且1abc证明： 333 1 abc bcacab 第 7页（共 21页） 2021 年陕西省宝鸡市高考数学检测试卷（文科年陕西省宝鸡市高考数学检测试卷（文科）（二（二）（二模）（二模）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只

12、有一个是符合题目要求的有一个是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx，集合 |1Bx x，则(AB ) A1，2BC(，0D0，1) 【解答】解： |02Axx ， |1Bx x， 0AB ，1) 故选：D 2 （5 分）复数 2 ( 1 i zi i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：复数 22 (1)2 (1) 1 1(1)(1)2 iiiii zi iii 在复平面上对应的点(1,1)位于第一象限故选：A 3 （5 分）某校甲、乙课外活动小组（两小组人数相等）20 次活动成绩组成一个样本，得到如图所示

13、的茎叶图，若甲、乙两组平均成绩分别用 1 x， 2 x表示，标准差分别用 1 s， 2 s表示，则() A 1212 ,xx ssB 1212 ,xx ss C 1212 ,xx ssD 1212 ,xx ss 【解答】解：由茎叶图中的数据可得， 1 1 (285291295300304306311312322324325326330333337343345354356362)305.8 2 x 第 8页（共 21页）， 2 1 (292304311312322323326331332334335340342345346347352353354365)333.3 2 x ，所以 12 x

14、x，根据集中定律，由茎叶图可得，乙组的集中程度明显比甲组高，故 12 ss 故选：C 4 （5 分）已知向量( , 2)am 与(4, )bn 共线，则m n的值为() A8B8C4D4 【解答】解：由向量( , 2)am 与(4, )bn 共线，所以8m n 故选：B 5 （5 分）已知 n a是等差数列，满足 15369 3()2()18aaaaa，则该数列前 8 项和为( ) A36B24C16D12 【解答】解：因为 n a是等差数列， 15369 3()2()18aaaaa，所以 36 6618aa，即 36 3aa，则 81836 4()4()12Saaaa 故选：D 6

15、（5 分）函数 1| ( ) xx ln x f x ee 的图象大致为() A B 第 9页（共 21页） C D 【解答】解：( )f x的定义域为(，0)(0，)， 1 ()( ) xx lnx fxf x ee ，则函数( )f x为偶函数，其图象关于y轴对称，则CD排除，又f（1） 1 0 1 e e ，则排除A，故选：B 7 （5 分）ABC中，已知13AC ，60ABC，ABBC，且ABC的面积为3 3，则AB边上的高等于() A2 3B2C3D2 【解答】解：因为60ABC，且ABC的面积为3 3，所以 1 sin603 3 2 ac ，即12ac ，又13bAC，

16、所以 222 2cos6013bacac ，可得： 22 13acac，解得： 4 3 c a ， 3 4 c a ，因为ca，可得 3 4 c a ，设AB边上的高为h，所以 11 33 3 22 chh ，解得2 3h 故选：A 第 10页（共 21页） 8 （5 分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为() A8B 8 3 C 82 3 D 16 6 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为有一个四棱柱锥体挖去一个半径为 1，高为 2 的半圆锥；如图所示：故： 2 1118 22212 3233 V 故选：B 9 （5 分）设抛物线 2 :4C xy的

17、焦点为F，准线l与y轴的交点为M，P是C上一点，若 | 5PF ，则| (PM ) A21B5C2 7D41 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点(0,1)F，准线方程为：1y ，第 11页（共 21页）可得准线与y轴的交点(0, 1)M，设( , )P m n，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到直线的距离：|15PFn ，解得：4n ，代入抛物线的方程可得 2 44m ，所以| 4m ，即( 4,4)P ，所以 22 |4(41)41PM ，故选：D 10 （5 分）已知函数 22 ( )2sin cos3(sincos)f xxxxx，判断下列给出的四个命题，其中错误的命题有

18、()个对任意的xR，都有 2 ()( ) 3 fxf x ；将函数( )yf x的图象向左平移 12 个单位，得到偶函数( )g x；函数( )yf x在区间(12 ， 7 ) 12 上是减函数； “函数( )yf x取得最大值”的一个充分条件是“ 12 x ” A0B1C2D3 【解答】解：函数 22 ( )2sin cos3(sincos)sin23cos22sin(2) 3 f xxxxxxxx ，对于， 22 ()2sin(2()2sin(2(2)2sin(2)( ) 33333 fxxxxf x ，所以对；对于，函数( )yf x的图象向左平移 12

19、个单位，得到函数 ( )2sin(2()2cos2 123 g xxx ，所以对；对于，因为(12x ， 7 )2( 1232 x ，3) 2 ，所以( )f x在区间(12 ， 7 ) 12 上是减函数，所以对；对于，因为()2sin(2)2 12123 f ，所以() 12 f 为最大值，即“函数( )yf x取得最大值”的一个充分条件是“ 12 x ” ，所以对故选：A 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原第 12页（共 21页）点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，

21、| 3|PFPF，可得 1 |MFa， 2 | 3MFa， 12 |2F Fc，代入上式子中，得到 2222 943aaca，即 22 74ac，结合离心率满足 c e a ，即可得出 7 2 e ，故选：D 12 （5 分）如图是一个底面半径和高都是 1 的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积V是水面高度x的函数( )Vf x，若正数a，b满足1ab，则f（a）f（b）的最小值为() 第 13页（共 21页） A 12 B 6 C 4 D 3 【解答】解：圆锥形容器的底面半径与高均为 1，又水面高度为x，容器中水的体积 3 1 ( ) 3 Vf xx， 1ab，1(01)

22、baa ，则f（a）f（b） 33 11 (1) 33 aa 3232 111 (133) 333 aaaaaa，其对称轴方程为 1 2 a ，当 1 2 a 时， 111 ( )( ) 42312 min f af b 故选：A 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 20 分分（注注：16 题第一空题第一空 3 分分，第二空第二空 2 分分） 13 （5 分）已知曲线 9 :(0)C yxx x ，若过曲线C上点P的切线与直线20 xy平行，则点P的坐标为( 3，4 3) 【解答】解： 9 (0)yxx x 的导数为 2 9 1y x ，设

23、( , )P m n，可得切线的斜率为 2 9 1k m ，0m ，由切线与直线20 xy平行，可得 2 9 12 m ，解得3m （负值舍去），所以 9 34 3 3 n ，即切点( 3P，4 3) 故答案为：( 3，4 3) 14 （5 分）我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举这个伟大创举与古希腊的算法“辗转相除法”实质一样如图的程序框图即源于“辗转相除法” ，若输入288a ，123b ，输出结果时，循环体被执行了4次第 14页（共 21页）【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下； 288a ，123b ，执行循环体，42r ，

24、123a ，42b ，不满足退出循环的条件，执行循环体，39r ，42a ，39b ，不满足退出循环的条件，执行循环体，3r ，39a ，3b ，不满足退出循环的条件，执行循环体，0r ，3a ，0b ，满足退出循环的条件0r ，退出循环，输出a的值为 3 可得循环体被执行了 4 次故答案为：4 15 （5 分）若函数 3 2 , ( ) , xx t f x xxt 是R上的增函数，则实数t的取值范围是0，1 【解答】解：函数 3 2 , ( ) , xx t f x xxt 是R上的增函数，则有 32 tt且0t，即 2( 1) 0tt ，解得01t ，所以实数t的取值范围是

25、0，1 故答案为：0，1 16 （5 分）一个多面体的顶点是四个半径为3且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为 2 2 ；内切球的体积为第 15页（共 21页）【解答】解：由题意可得，该多面体为正四面体，棱长为2 3，如图，设底面三角形的中心为E，则 22 2 (2 3)( 3)2 3 BE ，则 22 (2 3)22 2AE ，正四面体的体积 1 2 2 3 BCD VS，设该多面体内切球的半径为r，则 11 42 2 33 BCDBCD SrS ，得 2 2 r 内切球的体积为 3 422 () 323 故答案为： 2 2 ； 2 3 三三、解答题解答题：共共 70

26、分解答须写出文字说明分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题题为必考题，每每个试题考生都必须作答第个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列 n a的公差2d ，且 12 6aa，数列 n b是各项均为正数的等比数列，且满足 1 1 2 b ， 3 5 1 256 b b （1）求数列 n a与 n b的通项公式；（2）设数列 n c满足 1 2 nnn ca b，其前n项和为. n T求证：2 n T 【解答】

27、解：（1）由公差2d ，且 12 6aa， 1 226a，解得 1 2a ， 22(1) n an，数列 n b是各项均为正数的等比数列，设公比为q，则0q ， 2 3 54 1 256 b bb， 3 41 1 16 bbq，第 16页（共 21页） 1 2 q， 1 111 ( )( ) 222 nn n b ；证明：（2） 11 ( ) 22 n nnn ca bn， 123 1111 1 ( )2( )3 ( )( ) 2222 n n Tn ， 2341 11111 1 ( )2( )3 ( )( ) 22222 n n Tn ，由得： 123111 11 1( ) 1

28、1111111 22 ( )( )( )( )( )( )1(2)( ) 1 22222222 1 2 n nnnn n Tnnn ， 1 2(2)( ) 2 n n Tn， 2 n T 18 （12 分）某社区组织了以“共同保护生态环境，共建绿色生态环境家园”为主题的垃圾分类、环境保护宣传咨询服务活动组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群众，按他们的年龄分组：第 1 组20，30)，第 2 组30，40)，第 3 组40，50)，第 4 组50，60)，第 5 组60，70，得到的频率分布直方图如图所示（1）若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访，求被采访人恰好在第

29、2 组或第 4 组的概率；（2）已知第 1 组群众中男性有 2 人，组织方要从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成宣传志愿者服务小组，求至少有 1 名男性的概率【解答】解：（1）第 2 组的频率为1(0.0050.010.020.03) 100.35，第 4 组的频率为0.02 100.2，所以被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率为0.350.20.55；第 17页（共 21页）（2）第 1 组的频数为1200.005 106，其中男性有 2 人，女性有 4 人，所以从中抽取两名群众，至少有一名男性的概率为 2 4 2 6 3 1 5 C C 19（12 分）如图，

30、在四边形ABCD中，2AB ，1PDDCBC，/ /ABDC，90BCD， F为AB上的点且 1 2 AF ，若PD 平面ABCD，E为PC的中点（1）求证：/ /EF平面PAD；（2）求四棱锥PABCD的侧面积【解答】（1）证明：取CD的中点为H，连结EH，FH，因为E为PC的中点，所以/ /EHPD，又因为PD 平面PAD，EH 平面PAD，所以/ /EH平面PAD，又因为1CD ，/ /ABDC， 1 2 AF ，所以/ /DHAF， 1 2 DHAF，所以四边形AFHD是平行四边形，所以/ /FHAD，又因为AD 平面PAD，FH 平面PAD，所以/ /FH平面PA

31、D，又EHFHH ，EH，FH 平面EFH，所以平面/ /PAD平面EFH，又因为EF 平面EFH，所以/ /EF平面PAD；（2）解：因为90BCD，所以CDBC，又因为PD 平面ABCD，所以PDBC，又PDCDD ，PD，CD 平面PDC，所以BC 平面PDC，又PC 平面PDC，所以PCBC，所以PDC，PDA，PCB为直角三角形，因为2AB ，1DCBC，/ /ABDC，90BCD，所以2,2,3,3PCADPAPB，第 18页（共 21页）所以 212 ,2 222 PBCPDCPDAPAB SSSS ，所以四棱锥PABCD的侧面积为 2124 21 2 2

32、222 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 3 2 ，点G是椭圆上一点， 12 GF F的周长为64 3 （1）求椭圆C的方程；（2）直线: l ykxm与椭圆C交于A，B两点，且四边形OAGB为平行四边形，求证：四边形OAGB的面积为定值【解答】解：（1）由题意可知2264 3ac且 3 2 c a ，解得2 3a ，3c ， 2 3b，所以椭圆方程为 22 1 123 xy ；（2）证明：设 1 (A x， 1) y， 2 (x， 2) y， 0 (G x， 0) y，直线AB设为ykxm，

33、联立方程 22 1 123 ykxm xy ，得 222 (14)84120kxkmxm， 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 412 14 m x x k ， 1212 2 2 ()2 14 m yyk xxm k ，四边形OAGB为平行四边形， 1212 (,)OGOAOBxxyy ，得 22 82 (,) 1414 kmm G kk ，将点G坐标代入椭圆方程得 22 3 (14) 4 mk，点O到直线AB的距离为 2 | 1 m d k ， 2 12 |1|ABkxx，第 19页（共 21页）所以平行四边形OAGB的面积为： 2222 2 1212 2 2

34、|312|3433 3 | |()44 4 144 3 mmkmmm SdABmxxx x k m 21 （12 分）已知 2 1 ( )4 2 f xlnxxa， 2 1 ( )(44) x g xxxe e （1）求函数( )g x的单调区间；（2）若( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）因为( )yg x的定义域为R，又 22 ( )(24)(44)2(2)(2)(2) xxxxx g xxexxexexex xe，由( )0g x得2x 或0 x ， x(,0) 0 (0,2) 2 (2,) ( )g x 0 0 ( )g x 增极大减极小增所

35、以( )g x的单调递增区间为(,0)和(2,)，递减区间为(0,2)，（2）因为( )yf x定义域为(0,)，令 22 11 ( )( )( )(44)4(0) 2 x F xg xf xxxelnxxa x e ， 42 ( )(2)(2)() xx x F xx xexxxe xx ，所以当(0,2)x时，( )0F x；当(2,)x时，( )0F x，所以( )minF xF（2） 1 24 2lna e ，则 1 2420lna e ，所以 1 24 2aln e ，故实数a的取值范围为 1 (,24 2)ln e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第

36、分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请先涂题号第一题计分。作答时请先涂题号.选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为 4coscos ( 3sinsin x R y ，为参数）（1）求曲线 1 C的普通方程并说明曲线 1 C的形状；（2）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为第 20页（共 21页） sin()0 4 ，求曲线 1 C的对称中心到曲线 2 C的距离的最大值【解答】解：（1

37、）曲线 1 C的方程为 4coscos ( 3sinsin x R y ，为参数）整理得 4coscos ( 3sinsin x y 为参数），转换为直角坐标方程为 22 (4cos )(3sin )1xy，该曲线是以(4cos ,3sin )为圆心，1 为半径的圆；（2）曲线 2 C的极坐标方程为sin()0 4 ，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为0 xy 曲线 1 C的对称中心为(4cos ,3sin )，所以对称中心到直线0 xy的距离 |4cos3sin|5sin()| 22 d ，当sin()1 时， 55 2 22 max d 选修

38、选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23已知函数( ) |24|1|f xxx （1）求不等式( ) 8f x 的解集；（2）设a，b，cR，且1abc证明： 333 1 abc bcacab 【解答】（1）解：由题意， 331 ( ) |24|1|512 332 xx f xxxxx xx ，不等式( ) 8f x ，可转化为 338 1 x x ，或 58 12 x x ，或 33 8 2 x x ，解得 5 3 x或 11 3 x，故不等式的解集为 5 | 3 x x或 11 3 x；（2）证明： 4422 2aba b， 4422 2bcb c， 4422 2cac a，三式相加得 444222222 abca bb cc a，又 22222 2a bb cab c， 22222 2a bc aa bc， 22222 2b cc aabc，第 21页（共 21页）三式相加得 222222 ()a bb cc aabc abc，又因为1abc，所以 222222 a bb cc aabc，即 444 abcabc，又0abc ，所以 444 1 abc abc ，即 333 1 abc bcacab ，当且仅当 1 3 abc时，等号成立

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