1、为成功的人生做准备！ 高中数学基础知识汇总 第一章集合与简易逻辑： 偶次根式：被开方式，例：；对数：真数，例： 一集合 1、集合的有关概念和运算 （1）集合的特性：确定性、互异性和无序性； 4、求值域的一般方法： 图象观察法：；单调函数法： （2）元素 a 和集合 A 之间的关系：aA，或 aA； 2、子集定义：A 中的任何元素都属于 B，则 A 叫 B 的子集 ；记作：AB， 二次函数配方法：， 注意：AB 时，A 有两种情况：A与 A 3、真子集定义：A 是 B 的子集 ，且 B 中至少有一个元素不属于 A；记作：； “一次”分式反函数法：；换元法： 5、求函数解析式 f（x）的一般方法：
2、 4、补集定义：； 待定系数法：一次函数 f（x），且满足，求 f（x） 5、交集与并集交集：；并集： 配凑法：求 f（x）；换元法：，求 f（x） 6、集合中元素的个数的计算：若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_， 所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是。6、函数的单调性： 二简易逻辑： 1复合命题： 三种形式：p 或 q、p 且 q、非 p； 判断复合命题真假： （1）定义：区间 D 上任意两个值，若时有，称为 D 上增函 数； 2.真值表：p 或 q，同假为假，否则为真；p 且 q，同真为真；非 p，真假相反。 若时有，称为 D 上减函数。（一致为增，不同为减） 3.四
3、种命题及其关系： 原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p； 否命题：若p 则q；逆否命题：若q 则p； 互为逆否的两个命题是等价的。 原命题与它的逆否命题是等价命题。 4.充分条件与必要条件： 若，则 p 叫 q 的充分条件； 原命题 若p则 q 互 否命题 互 互 互 为 为 逆 逆 逆命题 若 q 则 互 逆 否 命 （2）区间 D 叫函数的单调区间，单调区间定义 域； （3）复合函数的单调性：即同增异减； 7.奇偶性： 定义：注意区间是否关于原点对称，比较 f(x) 与 f(-x) 的关系。 若，则 p 叫 q 的必要条件；若p 则 互 题f(x) f(-x)=0f(x) =f
4、(- x)f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0f(x) =f(-x)f(x)为奇函数。 若，则 p 叫 q 的充要条件； 8.周期性： 第二章 函数 定义：若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足：f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。 一 函数 9函数图像变换： 1、映射：按照某种对应法则 f ，集合 A 中的任何一个元素，在 B 中都有唯一确定的元素和它对应， 记作 f：AB，若，且元素 a 和元素 b 对应，那么 b 叫 a 的象，a 叫 b 的原象。 （1）平移变换y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法则：加左减右，加上减下 （3）注意：（
5、）有系数，要先提取系数。如：把函数()经过平移得到函 数 2、函数：（1）、定义：设 A，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系 f，对于集合 A 中的任意 一个 数 x，集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，就称 f：AB 为集合 A 到集合 B 的一 个函数，记 ()的图象。（）会结合向量的平移，理解按照向量（，）平移的意 义。 作 y=f（x）， 10.函数的图象 和它的反函数的 图象关于直线对称； 点（a，b）关于直线 （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则； 的对称点为（b， a）； 3、求定义域的一般方法：整式：全体实数 R；分式：分母，0 次幂：底数； 二、指对运
6、算： - 1 - 为成功的人生做准备！ 1. 指数及其运算性质：当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时， 象图象 特征 图象在 x 轴上方图象在 y 轴 右边 图象 关系 2.分数指数幂：正分数指数幂：；负分数指数幂： 第三章 数列 的图象与的图象关于直线对称 3.对数及其运算性质：一数列：（1）前 n 项和：；（2）前 n 项和与通项的关系： （1）定义：如果，以 10 为底叫常用对数，记为 lgN，以 e=2.7182828为底叫 二等差数列 ： 自然对数，记为 lnN1.定义：。2.通项公式：（关于 n 的一次函数）， （2）性质：负数和零没有对数，1 的对数等于 0：，底的对数等于 1：
7、，3.前 n 项和：（1）（2）.（即 Sn= An2+Bn） 4.等差中项：或 积的对数：，商的对数：， 5.等差数列的主要性质： 幂的对数：，方根的对数：，（1）等差数列，若，则。 三指数函数和对数函数的图象性质 函数指数函数对数函数 也就是：，如图所示： 定义 （）（） （2）若数列是等差数列，是其前 n 项的和，则，成等差 a10a10a1 图象 y y=ax y=axyy y=logax y 数列。如下图所示： O 1 x 1 Ox O1 x O1 x y=logax 三等比数列： 1.定义：；2.通项公式：（其 中：首项是，公比是） 定义域（-，+）（0，+） 3.前 n 项和：（
8、推导方法：乘公比，错位相减） （-，+）（0，+） 性值域（0，+）（-，+） 单调性在（-，+）在（-，+）在（0，+）在（0，+） 上是增函数上是减函数上是增函数上是减函数 说明：； 2； 3 当时为常数 列，。 函数值 质 变化 4.等比中项：，即（或，等比中项有两个） 5.等比数列的主要性质： （1）等比数列，若，则 图定点 过定点（0，1）过定点（1，0） - 2 - 为成功的人生做准备！ 也就是：。如图所示： （2）若数列是等比数列，是前 n 项的和，则，成等比数列。 6、两角和与差的正弦、余弦、正切 如下图所示： 四求数列的前 n 项和的常用方法：分析通项，寻求解法 1.公式法：
9、等差等比数列 ；2.分部求和法：如 an=2n+3 n ： ： 3.裂项相消法：如 an=；4.错位相减法：“差比之积”的数列：如 an=(2n-1)2 n 第四章 三角函数： 1、角：与终边相同的角的集合为 7、辅助角公式： 2、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 （2）度数与弧度数的换算：弧度，1 弧度 （其中称为辅助角，的终边过点，） （3）弧长公式：（是角的弧度数） 扇形面积： 8、二倍角公式：（1）、：（2）、降次公式： 3、三角函数 定义：（如图） y P（x，y） ： r 4、同角三角函数基本关系式 （）平方关系：（）商数关系：
10、（）倒数关系： 0 x ： 9、三角函数的图象性 质 （1）函数的周期性： 定义：对于函数 f（x），若存在一个非零常数 T，当 x 取定义域内的每一个值时，都有：f （x+T）= f 5、诱导公式（理解记忆方法：奇变偶不变，符号看象限）（x），那么函数 f（x）叫周期函数，非零常数 T 叫这个函数的周期； 公式一： 如果函数 f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫 f（x）的最小正 周期。 （2）函数的奇偶性： 公式二：公式三：公式四：公式五：定义：对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有：f（-x）= - f（x），则称 f（x）是奇 函数，f （-x）=f（x）
11、，则称 f（x）是偶函数 奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称； - 3 - 为成功的人生做准备！ （3）正弦、余弦、正切函数的性质（）函数定义域值域振幅周期频率相位初相图 象 函数定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间-A，AA 五点法 -1，1奇函数 的图象与的关系： -1，1偶函数 当 A时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的 A 倍 （-,+）奇函数 振幅变换： 当A时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的 A 倍 当时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍 周期变换： 图象的五个关键点：（0，0），（，1） ， （，0） ， （，-1），（，0）；
12、当时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍 图象的五个关键点：（0，1），（，0） ， （，-1），（，0） ， （，1）； y 相位变换： 当时，图象上的各点向左平移个单位倍 当时，图象上的各点向右平移个单位倍 1 第五章平面向量 0 x 1向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向 量。 2向量的运算：（1）、向量的加减法： -1 向量的加法 y三角形法则平行四边形法则 向量的减法 1 0 x -1 首位连结指向被减向量 y （2）实数与向量的积：定义：实数与向量的积是一个向量，记 作：； 它的长度：； ox ：它的方向：当，与的方向相同；当，与的方向相
13、反；当时，= ； 3平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量， (4)、函数的相关概念： - 4 - 为成功的人生做准备！ 有且只有一对实数，使； （1）三角形的面积公式： 4平面向量的坐标运算：（2）正，余弦定理 正弦定理： （）坐标运算：设，则 设 A、B 两点的坐标分别为（x1，y1） ， （ x2，y2），则. 余弦定理： （2）实数与向量的积的运算律: 设，则， （3）平面向量的数量积： 求角： 定义：，. 第六章不等式 平面向量的数量积的几何意义：向量的长度|与在的方向上的投影|的乘积； 一、不等式的基本性质： 1特值法是判断不等式命题是否成立的
14、一种方法，此法尤其适用于不成立的命 题。 、坐标运算:设,则； 2中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大 小 二均值不等式： 向量的模|：；模| 1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若，则（当且仅 当时取等号） 、设是向量的夹角，则。 2.基本变形：；若，则 5、重要结论：3.基本应用：求函数最值： （1）两个向量平行的充要条件：注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。 常用的方法为：拆、凑、平方；如：函数的最小值。 设，则 （2）两个非零向量垂直的充要条件： 若正数满足，则的最小值。 设，则 （3）两点的距离： 三、绝对值不等式： ，
15、注意：上述等号“”成立的条件； 五、不等式的解法： （5）平移公式：如果点 P（x，y）按向量平移至 P（x，y），则 6、解三角形：1.一元二次不等式的图解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系） - 5 - 为成功的人生做准备！ 判别式：=b2-4ac 二次函数 y y y (3)两点式：(4)截 距式： (5)一般式AxByC=0(A、B 不同时为 0) 的图象 O x1x2 xO x1=x2 x O x 3两条直线的位置关系 (1)平行：当直线 l1和 l2有斜截式方程时，k1=k2且 b1b2； (2)重合：当 l1和 l2有斜截式方程时，k1=k2且 b1=b2； 一元
16、二次方程有两相异实数根有两相等实数根没有实数根 (3)相交：当 l1，l2是斜截式方程时，k1k2 （4）垂直：设两条直线和的斜率分别为和，则 有 的根 一般式方程时，（优点：对斜率是否存在不讨论） 一元二次不等式R 的解集 （5）交点：求两直线交点，即解方程 组 “”取两边 一元二次不等式 4点到直线的距离：设点，直线到 的距离为. 的解集 “”取中间 3.绝对值不等式的解法：（“”取两边，“”取中间） 5.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间 （1）当时，的解集是，的解集是 的距离为，则有. （2）当时， 4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； 6. 关于点对称和关于某直
17、线对称：利用直线垂直，平行等解 决 7简单的线性规划-线性规划的三种类型： 1截距型：形如 z=ax+by, 把 z 看作是 y 轴上的截距，目标函数的最值就转化为 y 轴上的截距 的最值。 ；（2）； 2斜率型：形如时,把 z 看作是动点与定点连线的斜率，目标函数的最值就 5.高次不等式组的解法：数轴标根法。 转化为 PQ 连线斜率的最值。 第七章 直线和圆的方程 3距离型：形如时,可把 z 看作是动点与定点距离的平方，这 一、直线 1直线的倾斜角和斜率 样目标函数的最值就转化为 PQ 距离平方的最值。 (1)直线的倾斜角0，)(2)直线的斜率，即二、曲线和方程：求曲线方程的步骤：建系，设点
18、；列式；代入化简；证明 三、圆 (3)斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为 1圆的方程: (1)标准方程(xa)2(yb)2=r2(a，b) 为圆心，r 为半径 (2) 圆的一般方程：（.） 2直线的方程 (1)点斜式：yy0=k(xx0)(2)斜截式：y=kxb （3）圆的参数方程：（为参数）. - 6 - 为成功的人生做准备！ 2点和圆的位置关系：给定点及圆. 第八章圆锥曲线 一椭圆的定义标准方程及其几何性质 在圆内；在圆上 定义 平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨 迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦 距若为椭
19、圆上任意一点，则有 在圆外 方程 3直线和圆的位置关系： 设圆圆：；直线 ：； 圆心到直线 的距离. 图像 几何法：时， 与相切；时， 与相交；时， 与相离. 代数法：方程组用代入法，得关于 （或）的一元二次方程，其判别式为， a,b,c 关系 则：与相切；与相交；与相离. 焦点 注意：几何法优于代数法 4求圆的切线方法 若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条。利用相切条件求 k 值即可。 范围 若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为 yy0=k(xx0)，再利用相切条件求 k，这时必 有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 5 圆 与 圆 的 位 置 关 系 ： 已
20、 知 两 圆 圆 心 分 别 为 O1、 O2， 半 径 分 别 为 r1、 r2， 则 对称 性 顶点 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心. 长短 轴 离心 率 (0e0相交；=0相切； 1)第九章 立体几何 准线 1.平面的基本性质：三个公理及推论。 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异 面； 3.直线与平面 渐近线 （） 位置关系（1）直线在平面内有无数个公共点 。（2）直线和平面相交有且只有一 个公共 点（3）直线和平面平行没有公共点 直线和平判 定 定 理性 质 定 理 - 8 - 为成功的人生做准备！ 面平行（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直 面垂 如果一个平面经过另
21、一个平面的一条垂 于它们的交线的直线垂直于另一个平面 直 线，那么这两个平面互相垂直 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平 面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一 个平面内 直线与平 面垂直 判 定 定 理性 质 定 理 5. 常用证明方法： (1)判断线线平行的常用方 法： ab,bc,ac;a,a,bab a,bab;，a,bab (2)判定线线垂直的常用方法. a，bab； bc,acab a，bab； 三垂线定理及逆定理 直线与平（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 面所成的（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角(3)判定线面平
22、行的常用方法： 角 三垂线定 理 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是 00的角 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。 定义 a,b且 aba.,a a; (4)判定线面垂直的常用方法 三垂线逆在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 ca,cb 且 a,b,a，b 无公共点c；ab 且 ab 定理 4.平面与平面位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况） 且 a a (5)判定面面平行的常用方法： 空两个判定性质 a、b,abA，若 a,b 间平面 （1）如果一个平面内有两条相交直线
23、平（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线 两平行行于另一个平面，那么这两个平面平行必平行于另一个平面a, 个 平 面 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个 平面，它也垂直于另一个平面 ，r (6)判定面面垂直的常用方法. a,a ，br r 相交 的两 平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的 线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是
24、直角的二面角叫做直二面角。 a,a 6棱柱 （1）棱柱的定义、分类，直棱柱、正棱柱的性质；（2）长方体的性质。 （3）平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体这些几何体之间的联系和区别， 以 及它们的特有性质。 （4）S侧各侧面的面积和；（5） V=Sh。 两平判定性质 - 9 - 为成功的人生做准备！ 7棱锥 4、不相邻问题插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的 棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心） 元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（有时候两端的空隙的插法是不符合题意的） 相关计算：S侧各侧面的面积和，V
25、=Sh 5、正难则反排除法（或淘汰法）：对于含有否定词语“至多”，“至少”类的问题，从正面解决 8球的相关概念：（1）S球=4R2V球R3（2）球面距离的概念 不容易，可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去，应注意既不能多减也不能少减。 9.计算问题：计算步骤：一作、二证、三算6、元素重复问题住店法（或映射法）：解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素 （1）异面直线所成的角范围：090方法：平移法；向量法.可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步 （2）直线与平面所成的角范围：090 方法：关键是作垂线，找射影.计数
26、原理直接求解的方法称为“住店法”。 （3）二面角方法：定义法；射影面积法：S=Scos三垂线法；向量法.四二项式定理： 其中二面角的平面角的作法1.(a+b)n=C 0ax+C1an1b1+ C2an2b2+ C3an3b3+ C ranrbr+ Cn1abn1+ Cnb n nnnnnn n 定义法：由二面角平面角的定义做出平面角；特别地：(1+x)n=1+C 1x+C 2x2+Crxr+Cnx n nnnn 三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。2.通项为第 r+1 项：Tr+1= Cnran rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问 题。 （
27、4）两点之间的距离.(5)点到直线的距离.3.主要性质和主要结论：对称性 Cnm=C n m n (6)点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2) 等体积法. (3) 向量法最大二项式系数在中间。（要注意 n 为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） (7)两条平行线间的距离.所有二项式系数的和：Cn +C1+C2+ C3+ C4+C r+Cn=2 n nnnnnn (8)两异面直线间的距离(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量法奇数项二项式系数的和偶数项而是系数的和 (9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面
28、之间的距离. (11)球面距离Cn +C+C+ C+ C+C+C+C+ C+ C +=2 n - 1 nnnnnnnnn 第十章 排列组合与二项式定理概率五概率必然事件： P(A)=1；不可能事件：P(A)=0；随机事件的定义： 0P(A)1。 一排列组合2.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能性都相等， 1.计数原理 分类原理：N=n1+n2+n3+nM(分类)分步原理：N=n1n2n3nM (分步) 那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概 率. 2.排列（有序）与组合（无序）3.互斥事件：不可能
29、同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发生 (即 A、 B 中有一个发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生的概率和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)； Anm=n(n1)(n2)(n3)(nm+1)=A n=n! n 推广：. 4.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.（A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同 时发 Cnm=C m= Cm1= C m+1k k!=(k+1)!k! nmC mC nnnnn+1 生）（A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。P （A）+ P(B) 5.相互独立独立事件：事
30、件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的 两个事件叫做 三.排列、组合问题几大解法：总原则：先选后排，先分再排相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1、多排问题直排法：把 n 个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方P(AB)=P(A)P(B). 法来处理推广：若事件相互独立，则. 2、特殊元素优先法：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。6.独立重复事件：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这 在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰 3、相邻问题捆绑法：对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个 好发生 k 次的概率：。特殊：令 k=0得：在 n 次独立重复试验中，事件 A 没有 发 元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 生的概率为 Pn( )=C0p0(1p)n=(1p)n令 k=n 得：在 n 次独立重复试验中，事件 A 全部发生的概率为 n Pn(n)=C npn(1p)0=p n n - 10 -
