1、高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 ,. 2.德摩根公式 . 3.包含关系 4.容斥原理 . 5集合的子集个数共有个；真子集有 1 个；非空子集有 1 个；非空的真子集有 2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式; (3)零点式. 7.解连不等式常有以下转化形式 . 8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者 的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在 内,等价于,或且,或且 . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区 间的两端点处取得，具体如下： (1)当 a0 时，若， 则； ，. (2)当
2、a0) （1），则的周期 T=a； （2）， 或， 或, 或,则的周期 T=2a； (3)，则的周期 T=3a； (4)且， 则 的周期 T=4a； (5) ,则的周期 T=5a； (6)，则的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1)（，且）. (2)（，且）. 31根式的性质 （1）. （2）当为奇数时，； 当为偶数时，. 32有理指数幂的运算性质 (1). (2). (3). 注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 . 34.对数的换底公式 (,且,且,). 推论(,且,且,). 35
3、对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则 (1); (2); (3). 36.设函数,记.若的定义域为, 则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检 验. 37. 对数换底不等式及其推广 若,则函数 (1)当时,在和上为增函数. ，(2)当时,在和上为减函数. 推论:设，且，则 （1）. （2）. 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有 . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 ( 数列的前 n 项的和为). 40.等差数列的通项公式 ； 其前 n 项和公式为 . 41.等比数列的通项公式 ； 其前 n 项的和公式为
4、或. 42.等比差数列:的通项公式为 ； 其前 n 项和公式为 . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为). 44常见三角不等式 （1）若，则. (2) 若，则. (3). 45.同角三角函数的基本关系式 ，=，. 46.正弦、余弦的诱导公式 (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 47.和角与差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(辅助角所在象限由点的象限决定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . . . 50.三角函数的周期公式 函数，xR 及函数，xR(A,为常数，且 A0， 0)的周期；函数，(A,
5、为常数，且 A 0，0)的周期. 51.正弦定理 . 52.余弦定理 ; ; . 53.面积定理 （1）（分别表示 a、b、c 边上的高）. （2）. (3). 54.三角形内角和定理 在ABC 中，有 . 55. 简单的三角方程的通解 . . . 特别地,有 . . . 56.最简单的三角不等式及其解集 . . . . . . 57.实数与向量的积的运算律 设 、为实数，那么 (1) 结合 律：(a)=()a; (2) 第一分配律： (+)a=a+a; (3)第二分配律： (a+b)=a+b. 58.向量的数量积的运算律： (1) ab= ba （交换律）; (2)（a）b=（ab）=ab=
6、 a（b）; (3)（a+b）c= a c +bc. 59.平 面向量基本定理 如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有 且只 有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 60向量平行的坐标表示 设 a=,b=，且 b0，则 a b(b0) . 53. a 与 b 的数量积 (或内积) ab=|a|b|cos 61. ab 的几何意 义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos的乘积 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a=,b=，则 a+b=. (2)设
7、 a=,b=，则 a-b=. (3)设 A，B,则. (4)设 a=，则a=. (5)设 a=,b=，则 ab=. 63.两向量的夹角公式 (a=,b=). 64.平面两点间的距离公式 = (A，B). 65.向量的平行与垂直 设 a=,b=，且 b0，则 A|bb=a. ab(a0)ab=0. 66.线段的定比分公式 设，是线段的分点,是实数，且，则 （）. 67.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为、,则ABC 的重心的坐 标是. 68.点的平移公式 . 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐 标为. 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点
8、按向量 a=平移后得到点. (2) 函数的图象按向量 a=平移后得到图象,则的函数解析式为 . (3) 图象按向量 a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解 析式为. (4) 曲 线:按 向 量 a=平 移 后 得 到 图 象, 则的 方 程 为 . (5) 向量 m=按向量 a=平移后得到的向量仍然为 m=. 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 （1）为的外心. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心. （5）为的的旁心. 71.常用不等式： （1）(当且仅当 ab 时取“=”号) （2）(当且仅当 ab 时取“=”号) （3）
9、（4）柯西不等式 （5）. 72.极值定理 已知都是正数，则有 （1）若积是定值，则当时和有最小值； （2）若和是定值，则当时积有最大值. 推广 已知，则有 （1）若积是定值,则当最大时,最大； 当最小时,最小. （2）若和是定值,则当最大时,最小； 当最小时,最大. 73.一元二次不等式，如果与 同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之 间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. ； . 74.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有 . 或. 75.无理不等式 （1）. （2）. （3）. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当时, ; . (2)当时, ; 77.斜率公式 （、
10、）. 78.直线的五种方程 （1）点斜式(直线 过点，且斜率为) （2）斜截式(b 为直线 在 y 轴上的截距). （3）两点式()(、(). (4)截距式(分别为直线的横、纵截距，) （5）一般式(其中 A、B 不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若， ; . (2)若,且 A1、A2、B1、B2都不为零, ； ； 80.夹角公式 (1). (，,) (2). (,). 直线时，直线 l1与 l2的夹角是. 81.到的角公式 (1). (，,) (2). (,). 直线时，直线 l1到 l2的角是. 82四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线
11、 ), 其 中是 待 定 的 系 数 ;经 过 定 点的 直 线 系 方 程 为 ,其中是待定的系数 (2)共点直线系方程：经过两直线,的交点 的直线系方程为(除)，其中是待定的系数 (3)平行直线系方程：直线中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系 方程与直线平行的直线系方程是()，是参 变量 (4)垂直直线系方程：与直线(A0，B0)垂直的直线系方程是 ,是参变 量 83.点到直线的距 离 (点,直线 ： ). 84.或所表示的平面区域 设直线，则或所表示的平面区域是： 若， 当与同号时，表示直线 的上方的区域；当与 异号时，表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若
12、， 当与同号时，表示直线 的右方的区域；当与 异号时，表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85.或所表示的平面区域 设曲线（），则 或所表示的平面区域是： 所表示的平面区域上下两部分； 所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程. （2）圆的一般方程(0). （3）圆的参数方程. （4）圆的直径式方程(圆的直径的端点是 、). 87. 圆系方程 (1)过点,的圆系方程是 ,其中是直线 的方程,是待定的系数 (2)过直线 :与圆:的交点的圆系方程是 ,是待定的系数 (3) 过圆:与圆:的交点 的圆系方程是,是待定的系数 88.点与圆的位置关系 点与
13、圆的位置关系有三种 若，则 点在圆外;点在圆上;点在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种: ; ; . 其中. 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， ; ; ; ; . 91.圆的切线方程 (1)已知圆 若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当圆外时,表示过两个切点的 切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求 k，这时必 有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为，再利用相切条件求 b，必有两条切线 (2)已知圆 过圆上的点的切线方程为; 斜率为的圆的切线方程为. 9
14、2.椭圆的参数方程是. 93.椭圆焦半径公式 ，. 94椭圆的的内外部 （1）点在椭圆的内部. （2）点在椭圆的外部. 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是. （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 . （3）椭圆与直线相切的条件是. 96.双曲线的焦半径公式 ，. 97.双曲线的内外部 (1)点在双曲线的内部 . (2)点在双曲线的外部. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为渐近线方程：. (2)若渐近线方程为双曲线可设为. (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在 x 轴 上，焦点在 y 轴上）. 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线上
15、一点处的切线方程是. （2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 . （ 3 ） 双 曲 线与 直 线相 切 的 条 件 是 . 100. 抛物线的焦半径公式 抛物线焦半径. 过焦点弦长. 101.抛物线上的动点可设为 P或P，其中 . 102.二次函数的图象是抛物线：（1）顶 点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是 . 103.抛物线的内外部 (1)点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部. (2)点在抛物线的内部 . 点在抛物线的外部. (3)点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部. (4) 点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部. 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线上一点处的切
16、线方程是. （2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. （3）抛物线与直线相切的条件是. 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线,的交点的曲线系方程是 (为参数). (2) 共焦 点的 有心圆 锥曲线 系方 程, 其中.当 时,表示椭圆; 当时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 （弦端点 A ，由方程消去 y 得到，,为直线 的倾斜角，为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线关于点成中心对称的曲线是. （2）曲线关于直线成轴对称的曲线是 . 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线， 用代， 用代， 用代，用代，用代即得方程 ，曲线的切线，切
17、点弦，中点 弦，弦中点方程均是此方程得到. 109证明直线与直线的平行的思考 途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平 行； （3）转化为线面平行； （4）转化为 线面垂直； （5）转化为面面平行. 110证明直线与平面的平行的思考 途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为 面面平行. 111证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112证明直线与直线的垂直的思考 途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为 线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直
18、； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂 直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂 直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平 行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平 面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线 垂直. 114证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运 算律 (1)加法交换律：ab=b a (2)加法结合律：(ab)c=a (bc) (3)数乘分配律：(a b)=ab 116.平面向量加法的平行四边形法则向
19、空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab存在实数使 a=b 三点共线. 、共线且不共线且不共线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的存在实数对,使 推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使， 或对空间任一定点 O，有序实数对，使. 119.对空间任一点和不共线的三点 A、B、C，满足 （），则当时，对于空间任一点，总有 P、A、B、C 四点共面；当 时，若平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若
20、平面 ABC，则 P、A、B、C 四点 不共面 四点共面与、共面 （平面 ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x， y，z，使 pxaybzc 推论设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实 数 x，y，z，使. 121.射影公式 已知向量=a 和轴 ，e 是 上与 同方向的单位向量.作 A 点在 上的射影，作 B 点在 上的射影，则 a，e=ae 122.向量的直角坐标运算 设 a，b则 (1)ab； (2)ab； (3)a(R)； (4)ab； 123.设 A，B，则
21、=. 124空间的线线平行或垂直 设，则 ； . 125.夹角公式 设 a，b，则 cosa，b=. 推论，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体中,与所成的角为,则 . 127异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 128.直线与平面所成角 (为平面的法向量). 129.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面 成的角分别是、,为的两个内角，则 . 特别地,当时,有 . 130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面 成的角分别是、,为的两个内角，则 . 特别地,当时,有 . 131.二面角的平面角 或（，为平面，的法
22、向量）. 132.三余弦定理 设 AC 是内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为， AB 与 AC 所成的角为，AO 与 AC 所成的角为则. 133. 三射线定理 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,与二面 角的棱所成的角是，则有; (当且仅当时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A，B，则 =. 135.点到直线 距离 (点在直线 上，直线 的方向向量 a= ，向量 b=). 136.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为 间的距离). 137.点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的
23、一条斜线，）. 138.异面直线上两点距离公式 . . （）. (两条异面直线 a、b 所成的角为，其公垂线段的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F，,). 139.三个向量和的平方公式 140. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分 别为,则有 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理 . (平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和 面积分别是和,则 . . 143作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线
24、，则这三条 交线交于一点或互相平行. 144棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相 似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). （1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数 F 与 棱数 E 的关系：； （2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数 V 与棱数 E 的关系：.
25、146.球的半径是 R，则 其体积, 其表面积 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 148柱体、锥体的体积 （是柱体的底面积、是柱体的高）. （是锥体的底面积、是锥体的高）. 149.分类计数原理（加法原理） . 150.分步计数原理（乘法原理） . 151.排列数公式 =.(，N*，且) 注:规定.
26、152.排列恒 等式 (1）; （2）; （3）; （4）; （5）. (6). 153.组合数公式 =(N*，且). 154.组合数的两个性质 (1)=; (2)+=. 注:规定. 155.组合恒等式 （1）; （2）; （3）; （4）=; （5）. (6). (7). (8). (9). (10). 156.排列数与组合数的关系 . 157单条件排列 以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” 某（特）元必在某位有种；某（特）元不在某位有（补集思想） （着眼位置）（着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） 定位紧贴：个元在固定位的排列有种. 浮动紧
27、贴：个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有种.注：此类问题 常用捆绑法； 插空：两组元素分别有 k、h 个（），把它们合在一起来作全排列，k 个 的一 组互不能挨近的所有排列数有种. （3）两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当时，无解；当时，有种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为. 158分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配 方法数共有. （2）(平均分组无归属问题)将相异的个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其 分配方法数共有 . （3）(非平均分组有归
28、属问题)将相异的个物体分给个人，物件 必须被分完，分别得到，件，且，这个数彼此不相等，则 其分配方法数共有. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人， 物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数中分别有 a、 b、c、个相等，则其分配方法数有. （5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的， ，件无记号的堆，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数 有. （6） (非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的， ，件无记号的堆，且，这个数中分别有 a、b、c、个相等， 则其分配方法数有. （7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、 丙，等个人，物体必
29、须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，时， 则无论，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 . 159“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为 . 推广:个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为 . 160不定方程的解的个数 (1)方程（）的正整数解有个. (2) 方程（）的非负整数解有个. (3) 方程（）满足条件(,) 的非负整数解有个. (4) 方程（）满足条件(,) 的正整数解有个. 161.二项式定理 ; 二项展开式的通项公式 . 162.等可能性事件的概率 . 163.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(
30、B) 164.个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An) 165.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）; （2）. 169.数学期望 170.数学期望的性质 （1）. （2）若,则. (3)若服从几何分布,且，则. 171.方差 172.标准差 =. 173.方差的性质 (1)； (2）若，则. (3)若服从几何分布,且，则
31、. 174.方差与期望的关系 . 175.正态分布密度函数 ，式中的实数，（0）是参数，分别表 示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数 . 177.对于，取值小于 x 的概率 . . 178.回归直线方程 ，其中. 179.相关系数 . |r|1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限 （1）. （2）. （3）（无穷等比数列()的和）. 181. 函数的极限定理 . 182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x)，g(x)，h(x)在点 x0的附近满足： （1）; （2）（常数）, 则. 本定理对于单侧极限和的情况仍然成立
32、. 183.几个常用极限 （1），（） ； （2），. 184.两个重要的极限 （1）； （2）(e=2.718281845). 185.函数极限的四则运算法则 若，则 (1)； (2); (3). 186.数列极限的四则运算法则 若，则 (1)； (2)； (3) (4)( c 是常数). 187.在处的导数（或变化率或微商） . 188.瞬时速度 . 189.瞬时加速度 . 190.在的导数 . 191. 函数在点处的导数的几何意义 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率 ，相应的切线方程是. 192.几种常见函数的导数 (1)（C 为常数）. (2). (3). (4). (5)；. (
33、6);. 193.导数的运算法则 （1）. （2）. （3）. 194.复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点 U 处有 导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作 . 195.常用的近似计算公式（当充小时） (1);； (2)； (3)； (4)； (5)（为弧度）； (6)（为弧度）； (7)（为弧度） 196.判别是极大（小）值的方法 当函数在点处连续时， （1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值； （2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值. 197.复数的相等 .（） 198.复数的模（或绝对值） =. 199.复数的四则运算法则 (1); (2); (3); (4). 200.复数的乘法的运算律 对于任何，有 交换律:. 结合律:. 分配律:. 201.复平面上的两点间的距离公式 （，）. 202.向量的垂直 非零复数，对应的向量分别是，则 的实部为零为纯虚数 (为非 零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程， 若,则; 若,则; 若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭 复数根.
