1、第 1 页 共 6 页 第第 18 章章 勾股定理勾股定理 教学目标：教学目标： 1.会用勾股定理解决简单问题; 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形; 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题. 教学重点：教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理 教学难点：教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用 教学过程：教学过程： 一、出示目标 1.会用勾股定理解决简单问题; 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形; 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题. 二、知识结构图 三、知识点回顾 1.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其 主要应用有： （1）已
2、知直角三角形的两边求第三边; （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边; （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题; （4） 勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度， 求第三边的长 这 里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形： 定理定理： 222 cba 应用应用:主要用于计算主要用于计算 直角三角形的性质直角三角形的性质:勾股定理勾股定理 直角三角形的判别方法直角三角形的判别方法:若三角形的三边满足若三角形的三边满足 222 cba则则 它是一个直角三角形它是一个直角三角形. 勾股定理勾股定理 第 2 页 共 6 页 22222222 ,baca
3、cbbca , 2222 ,acbbca 勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”通过构造几何图形，并计算图形面 积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理 2.如何判定一个三角形是直角三角形: （1） 先确定最大边（如 c）; （2） 验证 2 c与 22 ba 是否具有相等关系; （3） 若 2 c= 22 ba ，则ABC 是以C 为直角的直角三角形；若 2 c 22 ba ， 则ABC 不是直角三角形. 3、三角形的三边分别为 a、b、c，其中 c 为最大边，若 222 cba ，则三角形 是直角三角形；若 222 cba ，则三角形是锐角三角形；若 cba 22 ，则三 角形是钝角三角形
4、所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边. 4、勾股数 满足 22 ba = 2 c的三个正整数，称为勾股数. 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10； （4）8，15，17 （5）7，24，25（6）9, 40, 41 四、典型例题分析 例 1：如果一个直角三角形的两条边长分别是 6cm 和 8cm，那么这个三角形 的周长和面积分别是多少? 分析：这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三 条边的长度，再求周长但题中未指明已知的两条边是_还是_， 因此要分两种情况讨论 例 2：如图 1911 是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为 4cm
5、，高为 15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长? 第 3 页 共 6 页 分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的 BA1 、 BA2 ，但 它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在 B 点，另一个端点 在 A 点时最长，此时可以把线段 AB 放在 RtABC 中，其中 BC 为底面直径 例 3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为 29 分析： 29 是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为 29 的线段，但 由勾股定理可知，两直角边分别为_的直角三角形的斜边长为 29 . 例4： 如图， 在正方形ABCD中， E是BC的中点， F为CD上
6、一点， 且 求 证：AEF 是直角三角形 分析：要证AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证 _即可 例 5：如图，在四边形 ABCD 中，C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12， 求证：ADBD 第 4 页 共 6 页 分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题例 6：已知：如 图ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点 D 在 BC 上，DACA 于 A求：BD 的 长 分析： 可设 BD 长为 xcm， 然后寻找含 x 的等式即可， 由 AB=AC=10 知ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程 例 7：一只蚂蚁从长、宽都
7、是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点， 那么它所爬行的最短路线的长是_（分析： 可以） 分析： 将点 A 与点 B 展开到同一平面内， 由： “两点之间， 线段最短。 ”再根据“勾 股定理”求出最短路线 五、补充本章注意事项 勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时， 要注意以下几点： 第 5 页 共 6 页 1、要注意正确使用勾股定理 例 1在 RtABC 中，B=90，a=1， 3b ，求 c 的值. 2、要注意定理存在的条件 例 2在边长为整数的ABC 中，ABAC，如果 AC=4，BC=3，求 AB 的长. 3、要注意原定理与逆定理的区别
8、例 3如图，在ABC 中，AD 是高，且 CDBDAD2 ，求证：ABC 为直角 三角形. 4、要注意防止漏解 例 4在 RtABC 中，a=3，b=4，求 c 的值. 第 6 页 共 6 页 5、要注意正逆合用 在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判 定，真所谓珠联壁合。当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要 视具体情况而言。 例 5如图，在ABC 中，D 为 BC 边上的点，已知 AB=13，AD=12，AC=15， BD=5，那么 DC=_. 6、要注意创造条件应用 例 6如图，在ABC 中，C=90，D 是 AB 的中点，DEDE，DE、DF 分别 交 AC、BC、于 E、F，求证： 222 BFAEEF . 分析因为 EF、AE、BF 不是一个三解形的三边，所以要证明结论成 立，必须作适当的辅助线，把结论中三条线段迁移到一个三角形中，然后再证明 与 EF 相等的边所对的角为直角既可，为此，延长 ED 到 G，使 DG=DE，连接 BG、FG，则易证明信 BG=AE，GF=EF，DBG=DAE=BAC，由题设易知 ABC+BAC=90，故有FBG=FBD+DBG=ABC+BAC=90，在 RtFBG 中，由勾股定理有： 222 BGBFFG ，从而 222 BFAEEF .
