1、第 1页（共 27页） 2021 年江苏省扬州市广陵区树人学校中考数学一模试卷年江苏省扬州市广陵区树人学校中考数学一模试卷 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 ） 1 （3 分）改善空气质量的首要任务是控2.5PM2.5PM指环境空气中空气动力学当量直 径小于等于 0.00025 厘米的颗粒物这里的 0.00025 用科学记数法表示为() A 4 2.5 10B 3 2.5 10C 3 2.5 10D 4 2.5 10 2 （3 分）
2、下列说法中，正确的是() A “任意画一个多边形，其内角和是360”是必然事件 B “如果 22 ab，那么ab”是必然事件 C可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生 D “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件 3 （3 分）下列文化体育活动的图案中，是轴对称图形的是() AB CD 4 （3 分）如图是由 5 个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是() AB CD 5 （3 分）下列计算错误的是() A 222 2xxxB 222 ()xyxyC 2363 ()x yx yD 235 () xxx 6 （3 分）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含
3、的圆周角50C，船在航行时，为保证 第 2页（共 27页） 不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角ASB应满足的条件是() A25ASBB50ASBC55ASBD50ASB 7 （3 分）如图，半圆O的直径8AB ，将半圆O绕点B顺针旋转45得到半圆O，与AB 交于点P，则图中阴影部分的面积为() A48B48C8D88 8 （3 分）如图，等边三角形ABC的边长为 4，点O是ABC的中心，120FOG，绕点 O旋转FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论： ODOE； ODEBDE SS ；四边形ODBE的面积始终等于 4 3 3 ；BDE周长的最小 值为 6上
4、述结论中正确的个数是() A1B2C3D4 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分 ） 9 （3 分）因式分解： 2 4aba 10 （3 分）6 的相反数是 第 3页（共 27页） 11 （3 分）在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例当 200V 时，50p ，则当20p 时，V 12 （3 分）为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上 100 条做上标记，然后放回湖里，经过 一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得 200 条，发现其中带标记的鱼 25 条， 我们可以估算湖里有鱼条 13 （3 分
5、）如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是 2 cm 14 （3 分）如图，函数20yx和40yax的图象相交于点P，点P的纵坐标为 40，则关 于x，y的方程组 200 40 xy axy 的解是 15 （3 分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，2OCcm，30ABO， 则菱形ABCD的面积是 16 （3 分）如图，是用一把直尺、含60角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60角与 直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若3AB ，则光盘的直径是 17 （3 分）如图，点A，C分别是正比例函数yx的图象与反比例函数 4 y x 的图象的交 点， 过A点作
6、ADx轴于点D， 过C点作CBx轴于点B， 则四边形ABCD的面积为 第 4页（共 27页） 18 （3 分）如图，已知二次函数 2 23yxx 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于 点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线BC的平行线，交x轴于点M若 点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤）必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算： 0 | 3|
7、 (2018)2sin30 （2）解方程：(4)3(4)x xx 20 （8 分）先化简： 2 242 42 aa aa ，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果 21 （8 分）2020 年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学 习和身体健康状况都有一定的影响 为了解学生身体健康状况， 某校对学生进行立定跳远水 平测试随机抽取 50 名学生进行测试，并把测试成绩（单位：)m绘制成不完整的频数分布 表和频数分布直方图 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组频数 1.21.6x a 1.62.0 x 12 2.02.4x b 2.42.8x 10 请根据图表中所提供的信息，完
8、成下列问题： 第 5页（共 27页） （1）表中a ，b ； （2）样本成绩的中位数落在范围内； （3）请把频数分布直方图补充完整； （4）该校共有 1200 名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.42.8x 范围内的有多少 人？ 22 （8 分）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同） ， 其中有白球 2 个，黄球 1 个若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为 0.5 （1）求口袋中红球的个数 （2）小明认为口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄 球的概率都是 1 3 ，你认为对吗？请你用列表或画树状图的方法说明理由 23 （1
9、0 分）如图， 在四边形ABCD中，ABAD，CBCD， 点F是AC上一点，连接BF， DF （1）证明：ABFADF ； （2）若/ /ABCD，试证明四边形ABCD是菱形 24 （10 分）商场购进某种新商品在试销期间发现，当每件利润为 10 元时，每天可销售 70 件；当每件商品每涨价 1 元，日销售量就减少 1 件，但每天的销售量不得低于 35 件据此 规律，请回答下列问题 （1）设每件涨了x元时，每件盈利元，商品每天可销售件； （2）在商品销售正常的情况下，每件商品涨价多少元时，商场每天盈利可达到 1500 元； （3）若商场的每天盈利能达到最大请直接写出每天的最大盈利为元 第 6页
10、（共 27页） 25 （10 分）如图，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高5ABcm， 连杆20BCCDcm，BC，CD与AB始终在同一平面内 （1）如图，转动连杆BC，CD，使BCD成平角，143ABC，求连杆端点D离桌面 l的高度DE （2）将图中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16，如图，此时连杆端点D离桌面l的高 度减小了cm （参考数据：sin370.6 ，cos370.8 ，tan370.75) 26 （10 分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE （1）求证：BE与O相切； （2）设OE交O于点F，若
11、1DF ，2 3BC ，求阴影部分的周长 27 （12 分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形 （1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为； （2）如图 1，MN是O的直径，点A，B，C在O上，AM，CN相交于点D求证： 四边形ABCD是对余四边形； 探究： 第 7页（共 27页） （3） 如图 2， 在对余四边形ABCD中，ABBC，60ABC，30ADC， 探究线段AD， CD和BD之 间 有 有 怎 样 的 数 量 关 系 ？ 写 出 猜 想 ， 并 说 明 理 由 28（12 分） 如图， 抛物线 2 5yaxaxc与坐标轴分别交于点A，C，E三点， 其中( 3,
12、0)A ， (0,4)C，点B在x轴上，ACBC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别 是线段CO，BC上的动点，且CMBN，连接MN，AM，AN （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）当CMN是直角三角形时，求点M的坐标； （3）试求出AMAN的最小值 第 8页（共 27页） 2021 年江苏省扬州市广陵区树人学校中考数学一模试卷年江苏省扬州市广陵区树人学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目
13、要求的有一项是符合题目要求的 ） 1 （3 分）改善空气质量的首要任务是控2.5PM2.5PM指环境空气中空气动力学当量直 径小于等于 0.00025 厘米的颗粒物这里的 0.00025 用科学记数法表示为() A 4 2.5 10B 3 2.5 10C 3 2.5 10D 4 2.5 10 【解答】解： 4 0.000252.5 10 ， 故选：D 2 （3 分）下列说法中，正确的是() A “任意画一个多边形，其内角和是360”是必然事件 B “如果 22 ab，那么ab”是必然事件 C可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生 D “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红
14、桃”是随机事件 【解答】解：A “任意画一个多边形，其内角和是360”是随机事件，故原说法错误； B “当a、b是不为零的相反数时，如果 22 ab，那么ab” ，故原说法错误； C可能性是50%的事件，是指在多次试验中一定有一次会发生，故原说法错误； D “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件，说法正确 故选：D 3 （3 分）下列文化体育活动的图案中，是轴对称图形的是() AB CD 【解答】解：A、图形不是轴对称图形， B、图形不是轴对称图形， C、图形是轴对称图形， D、图形不是轴对称图形， 第 9页（共 27页） 故选：C 4 （3 分）如图是由 5 个相同的小正
15、方体组成的几何体，该几何体的左视图是() AB CD 【解答】 解： 从左面看易得下面一层有 2 个正方形， 上面一层左边有 1 个正方形， 如图所示： 故选：A 5 （3 分）下列计算错误的是() A 222 2xxxB 222 ()xyxyC 2363 ()x yx yD 235 () xxx 【解答】解：A、原式 2 2x，不符合题意； B、原式 22 2xxyy，符合题意； C、原式 63 x y，不符合题意； D、原式 5 x，不符合题意 故选：B 6 （3 分）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角50C，船在航行时，为保证 不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角ASB应满足
16、的条件是() A25ASBB50ASBC55ASBD50ASB 【解答】解：如图，AS交圆于点E，连接EB， 第 10页（共 27页） 由圆周角定理知，50AEBC ，而AEB是SEB的一个外角，由AEBS ，即当 50S时船不进入暗礁区 所以，两个灯塔的张角ASB应满足的条件是50ASB 故选：D 7 （3 分）如图，半圆O的直径8AB ，将半圆O绕点B顺针旋转45得到半圆O，与AB 交于点P，则图中阴影部分的面积为() A48B48C8D88 【解答】解：由已知可得，8AB ，45OBO ， 弓形PB的面积是： 2 90444 48 3602 ， 阴影部分的面积是： 2 1804 (48)
17、84848 360 ， 故选：A 8 （3 分）如图，等边三角形ABC的边长为 4，点O是ABC的中心，120FOG，绕点 O旋转FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论： ODOE； ODEBDE SS ；四边形ODBE的面积始终等于 4 3 3 ；BDE周长的最小 值为 6上述结论中正确的个数是() 第 11页（共 27页） A1B2C3D4 【解答】解：连接OB、OC，如图， ABC为等边三角形， 60ABCACB ， 点O是ABC的中心， OBOC，OB、OC分别平分ABC和ACB， 30ABOOBCOCB 120BOC，即120BOECOE ， 而120D
18、OE，即120BOEBOD ， BODCOE ， 在BOD和COE中 BODCOE BOCO OBDOCE ， BODCOE ， BDCE，ODOE，所以正确； BODCOE SS ， 四边形ODBE的面积 2 1134 43 3343 OBCABC SS ，所以正确； 作OHDE，如图，则DHEH， 120DOE， 30ODEOEH ， 1 2 OHOE， 3 3 2 HEOHOE， 3DEOE， 第 12页（共 27页） 2 1 13 3 2 24 ODE SOEOEOE ， 即 ODE S随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ODEBDE SS ；所以错误； BDCE，
19、BDE的周长443BDBEDECEBEDEBCDEDEOE， 当OEBC时，OE最小，BDE的周长最小，此时 2 3 3 OE ， BDE周长的最小值426，所以正确 故选：C 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分 ） 9 （3 分）因式分解： 2 4aba(2)(2)a bb 【解答】解：原式 2 (4)a b (2)(2)a bb， 故答案为：(2)(2)a bb 10 （3 分）6 的相反数是6 【解答】解：6 的相反数是6， 故答案为：6 11 （3 分）在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例
20、当 200V 时，50p ，则当20p 时，V 500 【解答】解：一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，当200V 时，50p ， 设 m p V ， 则2005010000m ， 第 13页（共 27页） 故 10000 p V ， 则20p 时， 10000 500 20 V 故答案为：500 12 （3 分）为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上 100 条做上标记，然后放回湖里，经过 一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得 200 条，发现其中带标记的鱼 25 条， 我们可以估算湖里有鱼800条 【解答】解：设湖里有鱼x条，则 20025 100 x ，解可得800 x 故
21、答案为：800 13（3 分） 如图， 圆锥的底面半径为6cm， 高为8cm， 那么这个圆锥的侧面积是60 2 cm 【解答】解：底面半径为6cm，高为8cm，则底面周长12，由勾股定理得，母线长10， 那么侧面面积 2 1 121060 2 cm 14 （3 分）如图，函数20yx和40yax的图象相交于点P，点P的纵坐标为 40，则关 于x，y的方程组 200 40 xy axy 的解是 2 40 x y 【解答】解：由题意可知， 点P的纵坐标为 40， 40y， 将40y 代入20yx中， 解得2x ， (2,40)P， 第 14页（共 27页） 则方程组 200 40 xy axy 的
22、解是 2 40 x y 故答案为： 2 40 x y 15 （3 分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，2OCcm，30ABO， 则菱形ABCD的面积是 2 8 3cm 【解答】解：四边形ABCD是菱形， 30ABOCBO ，90BOC， 2OCcm， 2 3OBcm， 2 11 2 322 3 22 BOC SOB OCcm 菱形ABCD的面积为 2 2 348 3cm 故答案为： 2 8 3cm 16 （3 分）如图，是用一把直尺、含60角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60角与 直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若3AB ，则光盘的直径是6 3 【解答】解：如图，点C
23、为光盘与直角三角板唯一的交点， 连接OB， OBAB，OA平分BAC， 18060120BAC ， 60OAB， 在Rt OAB中，33 3OBAB， 第 15页（共 27页） 光盘的直径为6 3 故答案为6 3 17 （3 分）如图，点A，C分别是正比例函数yx的图象与反比例函数 4 y x 的图象的交 点，过A点作ADx轴于点D，过C点作CBx轴于点B，则四边形ABCD的面积为 8 【解答】解：A、C是两函数图象的交点， A、C关于原点对称， ADx轴，CBx轴， OAOC，OBOD， AOBBOCDOCAOD SSSS ， 又反比例函数 4 y x 的图象上， 1 42 2 AOBBOC
24、DOCAOD SSSS ， 4428 AOBABCD SS 四边形 ， 故答案为：8 18 （3 分）如图，已知二次函数 2 23yxx 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于 点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线BC的平行线，交x轴于点M若 点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 9 2 第 16页（共 27页） 【解答】解：二次函数 2 23(3)(1)yxxxx ， 当0y 时， 1 1x ， 2 3x ，当0 x 时，3y ， 点A的坐标为( 1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)， 设直线BC的函数解析式为ykxb， 3 30 b k
25、b ，解得 1 3 k b ， 即直线BC的函数解析式为3yx ， / /PMBC，点P在抛物线上且在第一象限， 设点P的坐标为 2 ( ,23)mmm， 设直线PM的解析式为yxc ， 2 23mmmc ， 解得 2 33cmm ， 直线PM的解析式为 2 33yxmm ， 令 22 3323xmmxx 且0， 解得 3 2 m ， 此时直线PM的解析式为 21 4 yx ，当0y 时 21 4 x ， 点M横坐标为最大值是 21 4 ， 点M经过的路程为： 219 (3)2 42 ， 故答案为： 9 2 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请在答题
26、卡指定区域内作答，解答时应写出分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤）必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算： 0 | 3| (2018)2sin30 （2）解方程：(4)3(4)x xx 第 17页（共 27页） 【解答】解： （1）原式 1 312 2 3； （2）(4)3(4)x xx (4)3(4)0 x xx， (4)(3)0 xx， 解得 1 4x ， 2 3x 20 （8 分）先化简： 2 242 42 aa aa ，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果 【解答】解： 2 242 42 aa aa 2(2)2 (2)
27、(2)2 aa aaa 1 a ， 当1a 时，原式 1 1 1 21 （8 分）2020 年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学 习和身体健康状况都有一定的影响 为了解学生身体健康状况， 某校对学生进行立定跳远水 平测试随机抽取 50 名学生进行测试，并把测试成绩（单位：)m绘制成不完整的频数分布 表和频数分布直方图 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组频数 1.21.6x a 1.62.0 x 12 2.02.4x b 2.42.8x 10 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： （1）表中a 8，b ； （2）样本成绩的中位数落在范围内； （3）请把频数分布
28、直方图补充完整； （4）该校共有 1200 名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.42.8x 范围内的有多少 第 18页（共 27页） 人？ 【解答】解： （1）由统计图得，8a ，508121020b ， 故答案为：8，20； （2）由中位数的意义可得，50 个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.02.4x 组 内， 故答案为：2.02.4x ； （3）补全频数分布直方图如图所示： （4） 10 1200240 50 （人)， 答：该校 1200 名学生中立定跳远成绩在2.42.8x 范围内的有 240 人 22 （8 分）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其
29、余都相同） ， 其中有白球 2 个，黄球 1 个若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为 0.5 （1）求口袋中红球的个数 （2）小明认为口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄 球的概率都是 1 3 ，你认为对吗？请你用列表或画树状图的方法说明理由 【解答】解： （1）设红球的个数为x， （1 分） 由题意得， 2 0.5 21x （2 分） 解得，1x 答：口袋中红球的个数是 1 （3 分） 第 19页（共 27页） （2）小明的认为不对 （4 分） 树状图如下： （6 分） P（白 21 ) 42 ， P（黄 1 ) 4 ， P（红 1 ) 4 小明的认为不对
30、 （8 分） 23 （10 分）如图， 在四边形ABCD中，ABAD，CBCD， 点F是AC上一点，连接BF， DF （1）证明：ABFADF ； （2）若/ /ABCD，试证明四边形ABCD是菱形 【解答】 （1）证明：在ABC和ADC中 ABAD ACAC BCDC ， ()ABCADC SSS ， BACDAC ， 在ABF和ADF中 ABAD BAFDAF AFAF ， ()ABFADF SAS ； 第 20页（共 27页） （2）解：/ /ABCD， BACDCA ， BAFADC ， DACDCA ， ADDC， 由（1）得：ABDC， 四边形ABCD是平行四边形， ABAD， 平
31、行四边形ABCD是菱形 24 （10 分）商场购进某种新商品在试销期间发现，当每件利润为 10 元时，每天可销售 70 件；当每件商品每涨价 1 元，日销售量就减少 1 件，但每天的销售量不得低于 35 件据此 规律，请回答下列问题 （1）设每件涨了x元时，每件盈利(10) x元，商品每天可销售件； （2）在商品销售正常的情况下，每件商品涨价多少元时，商场每天盈利可达到 1500 元； （3）若商场的每天盈利能达到最大请直接写出每天的最大盈利为元 【解答】解： （1）设每件涨了x元时，每件盈利(10) x元，商品每天可销售(70) x件； （2）根据题意得：(10)(70)1500 xx， 解
32、得：20 x 或40 x （不合题意，舍去） ， 答：每件商品涨 20 元时商场每天盈利可达 1500 元 （3）设总利润为w元，则 2 (10)(70)(30)1600wxxx ， 总利润的最大值为 1600 元 25 （10 分）如图，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高5ABcm， 连杆20BCCDcm，BC，CD与AB始终在同一平面内 （1）如图，转动连杆BC，CD，使BCD成平角，143ABC，求连杆端点D离桌面 l的高度DE 第 21页（共 27页） （2）将图中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16，如图，此时连杆端点D离桌面l的高 度减小了4cm （参考数据：sin37
33、0.6 ，cos370.8 ，tan370.75) 【解答】解： （1）作BFDE于点F，则90BFEBFD ， DEl，ABl， 90BEABAEBFE 四边形ABFE为矩形 5EFABcm，/ /EFAB， / /EFAB， 180DABD ， 143ABD， 37D， 在Rt BDF中，90BFD， coscos370.8 DF D DB ， 202040DBDCBC， 400.832DF， 32537DEDFEFcm， 答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm； （2）如图 3，作DFl于F，CPDF于P，BGDF于G，CHBG于H则四边形 PCHG是矩形， 53CBH，90CHB，
34、 37BCH， 18016164BCD ，37DCP， 第 22页（共 27页） sin53200.816()CHBCcm ，sin37200.612()DPCDcm ， 1216533()DFDPPGGFDPCHABcm， 下降高度：37334()DEDFcm 故答案为：4 26 （10 分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE （1）求证：BE与O相切； （2）设OE交O于点F，若1DF ，2 3BC ，求阴影部分的周长 【解答】解： （1）证明：连接OC，如图， 第 23页（共 27页） ODBC， CDBD， OE为BC
35、的垂直平分线， EBEC， EBCECB OBOC， OBCOCB ， OBCEBCOCBECB ， 即：OBEOCE ， CE为O的切线， OCCE， 90OCE 90OBE， OBBE OB是O的半径， BE与O相切 （2）解：设O的半径为R，则1ODRDFR，OBR， 1 3 2 BDBC 在Rt OBD中， 222 ODBDOB， 222 (1)( 3)RR， 解得2R 1OD，2OB ， 第 24页（共 27页） 30OBD， 60BOD，120BOC 2OB ，60BOE， 在Rt OBE中，32 3BEOB， 阴影部分的周长为 12024 22 34 3 1803 27 （12
36、分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形 （1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为90或270； （2）如图 1，MN是O的直径，点A，B，C在O上，AM，CN相交于点D求证： 四边形ABCD是对余四边形； 探究： （3） 如图 2， 在对余四边形ABCD中，ABBC，60ABC，30ADC， 探究线段AD， CD和BD之 间 有 有 怎 样 的 数 量 关 系 ？ 写 出 猜 想 ， 并 说 明 理 由 【解答】解： （1）四边形ABCD是对余四边形， 90AC 或90BD 90AC 或270 故答案为90或270 （2）证明：MN是O的直径，点A，B，C在O上， 90
37、BAMBCN 即90BADBCD 四边形ABCD是对余四边形 （3）猜想：线段AD，CD和BD之间的数量关系为： 222 ADCDBD理由如下： ABBC， 将BCD绕着点B逆时针旋转60得到BAF，连接FD，如图， 第 25页（共 27页） 则BCDBAF ，60FBD BFBD，AFCD，BDCBFA BFD为等边三角形 BFBDDF 30ADC， 30ADBBDC 30BFAADB 180FBDBFAADBAFDADF ， 6030180AFDADF 90AFDADF 90FAD 222 ADAFDF 222 ADCDBD 28（12 分） 如图， 抛物线 2 5yaxaxc与坐标轴分别
38、交于点A，C，E三点， 其中( 3,0)A ， (0,4)C，点B在x轴上，ACBC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别 是线段CO，BC上的动点，且CMBN，连接MN，AM，AN （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）当CMN是直角三角形时，求点M的坐标； （3）试求出AMAN的最小值 第 26页（共 27页） 【解答】 解：（1） 把( 3,0)A ，(0,4)C代入 2 5yaxaxc得 9150 4 aac c ， 解得 1 6 4 a c ， 抛物线解析式为 2 15 4 66 yxx ； ACBC，COAB， 3OBOA， (3,0)B， BDx轴交抛物线于点D，
39、D点的横坐标为 3， 当3x 时， 15 9345 66 y ， D点坐标为(3,5)； （2）在Rt OBC中， 2222 345BCOBOC， 设(0,)Mm，则4BNm，5(4)1CNmm， MCNOCB ， 当 CMCN COCB 时，CMNCOB， 则90CMNCOB ， 即 41 45 mm ， 解得 16 9 m ， 此时M点坐标为 16 (0,) 9 ； 当 CMCN CBCO 时，CMNCBO， 则90CNMCOB ， 即 41 54 mm ， 解得 11 9 m ， 此时M点坐标为 11 (0,) 9 ； 综上所述，M点的坐标为 16 (0,) 9 或 11 (0,) 9 ； （3）连接DN，AD，如图， ACBC，COAB， OC平分ACB， ACOBCO ， 第 27页（共 27页） / /BDOC， BCODBC ， 5DBBCAC，CMBN， ACMDBN ， AMDN， AMANDNAN， 而DNAN AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号） ， DNAN的最小值 22 6561， AMAN的最小值为61
