1、北师大版北师大版 数学数学 七年级七年级 下册下册 导入新知导入新知 看到下面三角形了吗，它有何特点呢？看到下面三角形了吗，它有何特点呢？ 我们今天来探讨一下等腰三角形的性质我们今天来探讨一下等腰三角形的性质. . 1. 理解并掌握等腰三角形的理解并掌握等腰三角形的性质性质. 2. 探索并掌握等腰三角形的探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关轴对称性及其相关 性质，性质，能初步运用其解决有关问题能初步运用其解决有关问题. 素养目标素养目标 有两条边相等的三角形叫做有两条边相等的三角形叫做等腰三角形等腰三角形 等腰三角形中，相等的等腰三角形中，相等的 两边都叫做两边都叫做腰腰，另一边，另一边 叫
2、做叫做底边底边，两腰的夹角，两腰的夹角 叫做叫做顶角顶角，腰和底边的，腰和底边的 夹角叫做夹角叫做底角底角. . A C B 腰腰腰腰 底边底边 顶角顶角 底角底角底角底角 知识点 1等腰三角形的性质等腰三角形的性质 探究新知探究新知 （1 1）等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的）等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的 对称轴对称轴 （2 2）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？ （3 3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴 吗？底边上的高所在的直线呢？吗？底边上的
3、高所在的直线呢？ （4 4）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？ 说说你的理由说说你的理由 探究新知探究新知 剪一剪剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去 阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形 展开，得到的三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？有什么特点？ 操作探究操作探究 探究新知探究新知 A B C AB=AC 等腰三角形等腰三角形 探究新知探究新知 折一折：折一折：ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？是轴对称图形吗？
4、它的对称轴是什么？ A C D B 折痕折痕所在的直线所在的直线是它的对称轴是它的对称轴. . 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形. . 探究新知探究新知 (1)(1)等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形. (2)(2)B =C ( (3)3)BADCAD，AD为顶角的平分线为顶角的平分线 (4)(4)ADB=ADC=90，AD为底边上的高为底边上的高 ( (5)5)BD=CD，AD为底边上的中线为底边上的中线. A BC D 找一找：找一找：把剪出的把剪出的等腰三角形等腰三角形ABC沿折痕对沿折痕对 折，找出其中重合的线段和角折，找出其中重合的线段和角. . 探究新知探究新
5、知 A BC D 解：解：在在ABC中中，因为因为AD是角平分线是角平分线, , 所以所以BAD=CAD. . 在在ABD和和ACD中中, , 因为因为AB=AC,BAD=CAD,AD=AD， 所以所以ABDACD. 所以所以BD=CD, ADB=ADC=90. 所以所以AD是是ABC的角平分线、底边上的角平分线、底边上 的中线、底边上的高的中线、底边上的高. . 三线合一吗？三线合一吗？ 探究新知探究新知 等腰三角形是等腰三角形是轴对称轴对称图形图形. . 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边 上的中线互相重合（简称上的中线互相重合（简称“三线合一
6、三线合一”）. . 归纳总结归纳总结 等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等两个底角相等. . 探究新知探究新知 A C B D 1 2 因为因为AB=AC, 1=2( (已知已知) )， 所以所以BD=CD, ADBC（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一） 因为因为AB=AC, BD=CD ( (已知已知) )， 所以所以1=2, ADBC（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一） 因为因为AB=AC, ADBC( (已知已知) )， 所以所以BD=CD, 1=2（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一） 数学语言：如图数学语言：如图, 在在ABC中中, 探究新知探究新知 画出任意一
7、个等腰三画出任意一个等腰三 角形的底角平分线、角形的底角平分线、 这个底角所对的腰上这个底角所对的腰上 的中线和高，看看它的中线和高，看看它 们是否重合？们是否重合？ A BC D E F A B C D 探究新知探究新知 “三线合一三线合一”的操作的操作 探究新知探究新知 （1）等腰三角形的顶角一定是锐角）等腰三角形的顶角一定是锐角. （2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角. （3）钝角三角形不可能是等腰三角形）钝角三角形不可能是等腰三角形. （4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. （5）等
8、腰三角形的角平分线、中线和高互相重合）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. （6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 判断对错判断对错 探究新知探究新知 A BC D 例例1 如图，在如图，在ABC中中 ，AB=AC，点点D在在AC上，且上，且 BD=BC=AD，求求ABC各角的度数各角的度数. . 分析：分析：（1）找出图中所有相等的角；找出图中所有相等的角； （2 2）指出图中有几个等腰三角形？）指出图中有几个等腰三角形？ A=ABD,C=BDC=ABC； ABC,ABD,BCD. 探究新知探究新知
9、等腰三角形性质的应用等腰三角形性质的应用素养考点素养考点 1 A BC D x 2x 2x 2x （3 3）观察）观察BDC与与A、ABD的关系，的关系，ABC、C呢？呢？ BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD, ABC= BDC=2 A, C= BDC=2 A. （4 4）设）设A=x, ,请把请把 ABC的内角的内角 和用含和用含x的式子表示出来的式子表示出来. . 因为因为 A+ ABC+ C=180 ，所以所以 x+2x+2x=180 , 探究新知探究新知 A BC D 解：解：因为因为AB=AC，BD=BC=AD， 所以所以ABC=C=BDC， A=ABD. 设设A=x,则则B
10、DC= A+ ABD=2x, 从而从而ABC= C= BDC=2x, 于是在于是在ABC中，有中，有 A+ABC+C=x+2x+2x=180 ， 解解得得x=36 ，在在ABC中中， A=36， ABC=C=72. x 2x 2x 2x 方法方法总总结：结：在在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程方程思想，思想， 通过内角、外角之间的关系进行转化求解通过内角、外角之间的关系进行转化求解. . 探究新知探究新知 如图，在如图，在ABC中，中，AB=AD=DC，BAD=26，求，求B和和C的的 度数度数. 解：解：因为因为AB=AD=DC 所以所以
11、B= ADB，C= DAC. 设设 C=x，则，则 DAC=x， B= ADB= C+ DAC=2x， 在在ABC中，中， 根据三角形内角和定理，得根据三角形内角和定理，得 2x+x+26+x=180， 解得解得x=38.5. 所以所以 C= x=38.5， B=2x=77. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 例例2 等腰三角形的一个内角是等腰三角形的一个内角是50，则这个三角形的底角的则这个三角形的底角的 大小是大小是( () ) A65或或50 B80或或40 C65或或80 D50或或80 解析：解析：当当50的角是底角时，三角形的底角就是的角是底角时，三角形的底角就是50；当当50
12、的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底 角是角是65.故选故选A. A 探究新知探究新知 等腰三角形的分类讨论问题等腰三角形的分类讨论问题素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 方法方法总结总结 等腰三角形等腰三角形的两个底角相等，已知一个内的两个底角相等，已知一个内 角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分 两种两种情况讨论情况讨论 （1）等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为75, ,它的另外两个它的另外两个 角为角为_ _； （2）等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为70, ,
13、它的另外两个角它的另外两个角 为为_； （3）等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为110, ,它的另外两个角它的另外两个角 为为_ _ _. . 75, 30 70,40或或55,55 35,35 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 例例3 已知点已知点D、E在在ABC的边的边BC上上，ABAC. (1)(1)如图如图，若若ADAE，试说明：试说明：BDCE； (2)(2)如图如图，若若BDCE，F为为DE的中点，试说明：的中点，试说明：AFBC. 图图图图 利用等腰三角形的性质说明线段间的关系利用等腰三角形的性质说明线段间的关系 探究新知探究新知 素养考点素养考点 3 解：解：( (1) )
14、如图如图，过，过A作作AGBC于于G. 因为因为ABAC，ADAE， 所以所以BGCG，DGEG， 所以所以BGDGCGEG， 所以所以BDCE； ( (2) )因为因为BDCE，F为为DE的中点，的中点， 所以所以BDDFCEEF， 所以所以BFCF. 因为因为ABAC，所以所以AFBC. 图图 图图 G 探究新知探究新知 探究新知探究新知 方法方法总结总结 在在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加 辅助线，其辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线顶角平分线、底边上的高、底边上的中线 是常见的辅助线是常见的辅助线 如图，在如图，在ABC中，
15、中，ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ABC 的平分线的平分线BG交交AC于点于点G，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足为，垂足为F. ( (1) )若若BAD25，求，求C的度数；的度数； ( (2) )试说明：试说明：EFED. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 1 2 1 2 巩固练习巩固练习 1.（2020福建）如图，福建）如图，AD是等腰三角形是等腰三角形ABC的顶角平分线，的顶角平分线， BD=5，则，则CD等于（）等于（） A10 B5 C4 D3 2.（2020毕节市）已知等腰三角形两边的长分别为毕节市）已知等腰三角形两边的长分别为3和和7，则，则 此等腰三角形
16、的周长为（）此等腰三角形的周长为（） A13 B17 C13或或17D13或或10 连接中考连接中考 B B 2.如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，过点，过点A作作ADBC，若，若 1=70，则，则BAC的大小为（）的大小为（） A40 B30 C70 D50 A 1.等腰三角形有一个角是等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（，则另两个角分别是（ ） A30，60 B45，45 C45，90 D20，70 B 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 3.(1)(1)等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为75, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _ _； (2)(2
17、)等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为36, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _； (3)(3)等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为120, ,它的另外两个角为它的另外两个角为_ _ _ _ _. . 75, 30或或52.5,52.5 72,72或或36,108 30，30 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 4.如图，在如图，在ABC中，中，AB = AC，D是是BC边上的中点，边上的中点，B = 30， 求求 BAD 和和 ADC的度数的度数. A BCD 解：解：因为因为AB=AC， 所以所以 C= B=30， 因为因为BD = CD，所以所以ADBC, 所以所
18、以ADB=ADC = 90. 所以所以 BAD =90 B = 60. 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 如图，已知如图，已知ABC为等腰三角形，为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且为底角的平分线，且 DBCF，试说明：，试说明：ECDF. 所以所以DBCECB. 因为因为DBCF，所以所以ECBF，所以所以ECDF. 解：解：因为因为ABC为等腰三角形为等腰三角形，ABAC， 所以所以ABCACB. 又又因为因为BD、CE为底角的平分线，为底角的平分线， 所以所以 11 22 DBCABCECBACB， 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 A、
19、B是是44网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1， 请在图中标出使以请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有为顶点的三角形是等腰三角形的所有 格点格点C的位置的位置 A B 分别以分别以A、B、C为顶角为顶角 顶点来分类讨论！顶点来分类讨论！ 8个个 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 这样分类就这样分类就 不会漏啦！不会漏啦！ 等腰三等腰三 角形的角形的 性质性质 等边对等角等边对等角 三线合一三线合一 注意是指同一个三注意是指同一个三 角形中角形中 注意是指顶角的平分线注意是指顶角的平分线, ,底边上底边上 的高和中线才有这一性质的高和中线才有这一性质. .而腰而腰 上高和中线与底角的平分线不上高和中线与底角的平分线不 具有这一性质具有这一性质. . 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
