1、1 六年级数学下册必考题专题讲解六年级数学下册必考题专题讲解 （一）（一） 【主要内容】 圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积 【学习目标】 1、使学生在观察、操作、交流等活动中感知和发现圆柱、圆锥的特征，知道圆柱和圆锥的底 面、侧面和高。 2、使学生理解圆柱侧面积和圆柱表面积的含义，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 3、使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。 4、使学生进一步体验立体图形与生活的关系，感受立体图形的学习价值，提高学习数学的兴 趣和学好数学的信心。 【考点分析】 1、圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面，它们是完全相同的两个圆。形成圆柱的面还有一个曲
2、 面，叫做圆柱的侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 2、 圆锥的底面是个圆， 圆锥的侧面是一个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的 高。 4、圆柱的侧面积 = 底面周长 高 5、圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 2 【典型例题】 例 1、 （圆柱和圆锥的特征）圆柱和圆锥分别有什么特点？ 分析与解长方体和正方体的六个面都是平面图形 （长方形或正方形） ， 而圆柱和圆锥除了底 面是平面图形（圆）外，都有一个曲面。圆柱和圆锥的特征见下表。 圆柱圆锥 底面两个底面完全相同，都是圆形。一个底面，
3、是圆形。 侧面曲面，沿高剪开，展开后是长方形。 曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪 开，展开后是扇形。 高两个底面之间的距离，有无数条。顶点到底面圆心的距离，只有一条。 例 2、求下面立体图形的底面周长和底面积。 半径 3 厘米直径 10 米 分析与解根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面积。 圆柱：底面周长3.14 3 2 = 18.84（厘米） 底面积3.14 3 = 28.26（平方厘米） 2 圆锥：底面周长3.14 10 = 31.4（米） 底面积3.14 （102） = 78.5（平方米） 【点评】圆柱和圆锥的底面都是圆，在计算它们的周长和面积时只要按照圆的周长和
4、面积计 算公式进行计算。 例 3、判断：圆柱和圆锥都有无数条高。 错误解法：正确 分析与解圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 正确解答：错误 【点评】圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。两个底面之间有无数个对应的点，圆柱有 无数条高。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。顶点和底面圆心都是唯一的点，所以圆 锥只有一条高。 例 4、 （圆柱的侧面积）体育一个圆柱，底面直径是 5 厘米，高是 12 厘米。求它的侧面积。 分析与解 沿着圆柱侧面的一条高剪开，将侧面展开，就得到一个长方形。这个长方形的长等于圆柱底 面的周长，宽等于圆柱的高。因此，用圆柱的底面周长乘圆柱的高就得到这个长方形的面积，即 圆
5、柱的侧面积。 解答： 3.14 5 12 = 188.4（平方厘米） 答：它的侧面积是 188.4 平方厘米。 【点评】圆柱的侧面是个曲面，不能直接求出它的面积。推导出侧面积的计算公式也用到了 转化的思想。把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形的面积就 是这个圆柱的侧面积。 例 5、 （圆柱的表面积） 做一个圆柱形油桶，底面直径是 0.6 米，高是 1 米，至少需要多少平方米铁皮？（得数保留 整数） 分析与解求铁皮的面积，就是求圆柱形油桶的表面积，即两个底面积和一个侧面积的和 解答：底面积：3.14 （0.62） = 0.2826（平方米） 侧面积：3.14 0.6
6、1 = 1.884（平方米） 表面积：0.2826 2 + 1.884 = 2.4492（平方米） 3（平方米） 答：至少需要铁皮 3 平方米。 【点评】这里不能用四舍五入法取近似值。因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结 果多一些。因此这儿保留整数，十分位上虽然是 4，但也要向个位进 1。 3 例 6、 （辨析）一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是 30 厘米，高是 50 厘米。做这样一个水 桶，至少需用铁皮 6123 平方厘米。 分析与解题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶，只有一个底面。在计算铁皮面积时只要用 圆柱的侧面积加上一个底面的面积。 解答：底面积：3.14 （302） = 706
7、.5（平方厘米） 侧面积：3.14 30 50 = 4710（平方厘米） 表面积：706.5 + 4710 = 5416.5（平方厘米） 答：做这样一个水桶，至少需用铁皮 5416.5 平方厘米。 例 7、 （考点透视）一个圆柱的侧面积展开是一个边长 15.7 厘米的正方形。这个圆柱的表面 积是多少平方厘米？ 分析与解圆柱的侧面积展开是一个正方形， 即圆柱的高和底面周长都是 15.7 厘米。 根据圆 柱的底面周长可以算出底面积。 解答：底面半径：15.7 3.14 2 = 2.5（厘米） 底面积：3.14 2.5 = 19.625（平方厘米） 侧面积：15.7 15.7= 246.49（平方厘
8、米） 表面积：19.625 2 + 246.49 = 285.74（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是 285.74 平方厘米。 例 8、 （考点透视）一个圆柱形的游泳池，底面直径是 10 米，高是 4 米。在它的四周和底部 涂水泥，每千克水泥可涂 5 平方米，共需多少千克水泥？ 分析与解要求水泥的质量，先要求水泥的面积。在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥， 涂水泥的面积是一个底面积加上侧面积。 解答： 侧面积：3.14 10 4 = 125.6（平方米） 底面积：3.14 （10 2） = 78.5（平方米） 涂水泥的面积：125.6 + 78.5 = 204.1（平方米） 水泥的质量：20
9、4.1 5 = 40.82（千克） 答：共需 40.82 千克水泥。 例 9、 （考点透视）把一个底面半径是 2 分米，长是 9 分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小 段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？ 分析与解锯圆柱形木头，表面积增加的部分是若干个相同的底面积。锯成三段，要锯两次， 每锯一次增加两个面，锯了两次增加了四个面。 3.14 2 4 = 50.24（平方分米） 答：表面积增加了 50.24 平方分米。 【点评】这是一道在实际生活中应用的题目，对于这一类题目，它的规律就是每切一次就增 加两个面。但切的方式不同，增加的面也不同。如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的两个部分， 增加的面
10、就是以底面直径和高为两邻边的长方形。 4 （二）（二） 【主要内容】 比例的意义和基本性质 【学习目标】 1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初 步体会图形的相似，进一步发展空间观念。 2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的“项” 、 “内项”和“外 项” ；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。 3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强 用数和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。 【考点分析】 1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是
11、把它的每条边按一定的比放大或缩小。 2、表示两个比相等的式子叫做比例。 3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的 内项。 4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知 项。求比例的未知项，叫做解比例。 【典型例题】 例 1、 （把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了） （1）长方形 A 的长是 1.5 厘米，宽是 1 厘米；长方形 B 的长是 3 厘米，宽是 2 厘米。这两个 长方形的长有什么关系？宽呢？ （2）如果要把长方形 A
12、 按 1:2 的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？ 分析与解（1）长方形 B 的长是长方形 A 的 2 倍，宽也是长方形 A 的 2 倍。或者说长方形 B 和长方形 A 长的比是 2:1，宽的比也是 2:1。 把长方形的每条边放大到原来的 2 倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是 2:1， 就是把长方形 A 的长和宽按 2:1 的比进行放大。 （2）把长方形 A 按 1:2 的比缩小后为长方形 C，长、宽缩小为原来的2 1 ，图 C 的长是 0.75 厘米，图 C 的宽是 0.5 厘米。 由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。 例 2、 （根据指
13、定的比，将图形按要求放大或缩小） 先按 3:2 的比画出长方形 A 放大后的图形 B，再按 1:2 的比画出长方形 A 缩小后的图形 C。 （1）图 B 的长、宽各是几格？ （2）图 C 呢？ （3）观察这三幅图形，你有什么发现？ 5 A B C 分析与解（1）按 3:2 的比将长方形 A 放大，即将长方形 A 的长与宽分别扩大 1.5 倍，那么 图 B 的长为 61.5 = 9 格，宽为 41.5 = 6 格。 （2）按 1:2 的比将长方形 A 缩小，即将长方形 A 的长与宽分别缩小到原来的2 1 ，那么图 C 的长为 62 = 3 格，宽为 42 = 2 格。 （3）从这三 幅大小不同的
14、图形上可以看出，放大或缩小后的图形与原来的图形比较，大小虽变了，但形状不 变，而且各条边长度的变化都符合指定的比。 【点评】按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好 每条边的长度，画出图形就行了。 例 3、 （将两个相等比写成一个等式） 图 B 是由图 A 放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出的两 个比，你有什么发现？ 分析与解 （1）图 A 中长与宽的比是 4:3；图 B 中长与宽的原始比是 8:6，而 8:6 化简后就是 4:3。 （2）这两个比化简后都是 4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。即 4:3 = 8:6 或
15、3 4 = 6 8 ，都读作：4 比 3 等于 8 比 6。 例 4、 （认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。 （1）5：6和 15：18（2）0.2：0.1和3：1 （3） 2 1 ：3 1 和1.2：0.8（4）6：2和8 3 ：8 1 分析与解分别求出每组中两个比的比值， 如果相等就能组成比例， 不相等就不能组成比例。 6 （1）因为 5：6= 6 5 ，15：18 = 6 5 ，所以 5：6= 15：18。 （2）因为 0.2：0.1= 2，3：1 = 3，所以0.2：0.1和3：1 不能组成比 例。 （3）因为2 1 ：3 1 = 2 3 ，1.2：0.8=
16、 2 3 ，所以2 1 ：3 1 = 1.2：0.8。 （4）6：2= 3，8 3 ：8 1 = 3，所以 6：2= 8 3 ：8 1 。 【点评】判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值 相等就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。 例 5、 （比例的各部分名称和比例的基本性质） 一台织布机 3 小时织布 3.6 米，4 小时织布 4.8 米。你能根据数量间的关系写出比例吗？ 分析与解（1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。3.6：3= 4.8：4 （2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。3.6：4.8= 3：4 （3）这台织布机织布
17、时间和织布米数的比相等。3：3.6= 4：4.8 介绍“项” ：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫 做比例的内项。例如： 观察题中的三个比例，你有什么发现？ 3.6：3= 4.8：43.6：4.8= 3：43：3.6= 4：4.8 （1）3.6 和 4 可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。 （2）3.6 4 = 3 4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。 （3）如果把 3.6：3= 4.8：4 改写成分数形式 3 6 . 3 = 4 8 . 4 ，等号两边的分子、分母分 别交叉相乘，结果也相等。 （4）如果用字母表示比例的四个项，即 a
18、 : b = c : d， 那么这个规律可表示成 ad = bc 或 bc = ad。 （5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 例 6、 （比例基本性质的应用）根据 2 7 = 1.4 10 这个等式写出几个比例。 分析与解根据比例的基本性质，可以得出 2 和 7、1.4 和 10 这两组数要么同时是比例的外 项，要么同时是比例的内项。 1.4 : 2 = 7 : 101.4 : 7 = 2 : 10 10 : 2 = 7 : 1.410 : 7 = 2 : 1.4 2 : 1.4 = 10 : 72 : 10 = 1.4 : 7 7 : 1.4 = 10 : 2
19、7 : 10 = 1.4 : 2 7 【点评】像这样的比例一共可以写 8 个。但它们不变的是 2 和 7 要么同时为内项，要么同时 为外项，而 1.4 和 10 这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。 例 7、 （按比例放大的含义） 王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大， 放大后的图片的长是 12.5 厘米， 你有什么发现？ 分析与解按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大， 放大前后的相关线 段的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中各自长、宽 的比也可以组成比例。 12.5 : 5 = 宽 : 4或12.5 : 宽 = 5 : 4 例 8、
20、 （解比例）上图中宽是多少厘米？ 分析与解在解比例时，根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子，然后再根据等式 的性质来解答。 解：设宽是厘米。 12.5 : 5 = : 4 5 = 12.5 4 根据比例的基本性质 5 = 50 = 10 答：放大后图片的宽是 10 厘米。 【点评】像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。 同学们，你会解答 5 .12 = 4 5 这个比例吗？试试看吧！ （三）（三） 【主要内容】 比例尺、面积变化、确定位置 【学习目标】 1、使学生在具体情境中理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺。会求一幅图的比例尺，能按 给定的比例尺求相应的实际距离或图上距离，会把数值比
21、例尺与线段比例尺进行转化。 2、 使学生在经历 “猜想验证” 的过程中， 自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律。 3、在解决问题的过程中，进一步体会比例以及比例尺的应用价值，感知不同领域数学内容的 内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略。 4、使学生在具体情境中初步理解北偏东（西） 、南偏东（西）的含义，初步掌握用方向和距 离确定物体位置的方法，能根据给定方向和距离在平面图上确定物体的位置或描述简单的行走路 线。 5、使学生在用方向和距离确定物体位置的过程中，进一步培养观察能力、识图能力和有条理 的进行表达的能力。发展空间观念。 8 6、使学生积极参与观察、
22、测量、画图、交流等活动，获得成功的体验，体会数学知识与生活 实际的联系，拓展知识视野，激发学习兴趣。 【考点分析】 1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2、比例尺 = 实际距离 图上距离 ，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。 3、把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（n 1 ）后，放大（或 缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是 n:1（或 1:n） 。 4、知道 了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。 5、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。画的时候先 按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。 6、描
23、述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。 【典型例题】 ： 例 1、 （认识比例尺） 王伯伯家有一块长方形的菜地，长 40 米，宽 30 米。把这块菜地按一定的比例缩小，画在平 面图上长 4 厘米，宽 3 厘米。你能分别写出菜地长、宽的图上距离和实际距离的比吗？ 分析与解图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同的单位，写出比后再化简。 40 米 = 4000 厘米3 厘米 = 0.03 米 4000 4 = 1000 1 30 03. 0 = 3000 3 = 1000 1 图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 图上距离 : 实际距离 = 比例尺或实际距离 图上距
24、离 = 比例尺 图上距离和实际距离的比是 1:1000，这幅图的比例尺是 1:1000，也可写成1000 1 ，仍读作 1 比 1000。 【点评】求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。做的时候唯一要注意的就是末尾 0 的 问题：一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上 2、5 个 0；二是在求比例尺 的结果时要注意 0 的个数。多数一数、想一想，是不会有错的。 例 2、 （对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法） 比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？图上1 厘米表示实际距离多少米？ 分析与解比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的1
25、000 1 ， 实际距离是图上距离的1000倍， 图上 1 厘米的距离代表实际距离 1000 厘米，即 10 米。 像形如 1:1000 这样的比例尺叫做数值比例尺。比例尺 1:1000 还可以这样表示 9 0102030 米 ，这是线段比例尺，它表示图上 1 厘米的距离代表实际距 离 10 米。 例 3、一个手表零件长 2 毫米，画在一幅图上长 4 厘米，这幅图的比例尺是多少？ 错误解法：4 厘米 = 40 毫米2 : 40 = 1 : 20 思路分析：无论什么样的图纸，比例尺始终是图上距离与实际距离的比，根据比例尺的定义， 用“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”去求。 正确解答：4 厘米
26、 = 40 毫米40 : 2 = 20 : 1 【点评】 比例尺通常情况下都应该写成前项是 1 的比。 但比例尺的作用除了把实际距离缩小， 还可以把实际距离扩大，这样比例尺的前项就比后项大，这时后项通常化成 1。在解答时，只要 坚持好“图上距离 : 实际距离 = 比例尺” ，图上距离在前就可以了。 例 4、 （根据比例尺求图上距离或实际距离） 在比例尺是60000 1 的地图上， 量得甲、 乙两地的距离是 2.5 厘米。 两地的实际距离是多少米？ 分析与解方法 1：比例尺是60000 1 ，说明实际距离是图上距离的 60000 倍。 2.560000 = 150000（厘米） 150000（厘
27、米）= 1500 米 方法 2：比例尺是60000 1 ，也就是图上 1 厘米的距离代表实际距离 60000 厘米，即 600 米。 2.5600 = 1500（米） 方法 3：根据 实际距离 图上距离 = 比例尺，可以用“图上距离 比例尺”或“解比例”的方法来 求实际距离。 2.5 60000 1 = 2.560000 = 150000（厘米）= 1500 米 解：设两地的实际距离是厘米。 5 . 2 = 60000 1 1 = 2.5 60000 = 150000 150000（厘米）= 1500 米 答：两地的实际距离是 1500 厘米。 例 5、 （平面图形按照一定的比放大后，面积扩大
28、了比的平方倍） 下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算 大长方形与小长方形面积的比是几比几。 10 分析与解量得小长方形的长是 2.5 厘米，宽是 1 厘米；大长方形的长是 7.5 厘米，宽是 3 厘米。大长方形与小长方形长的比是 7.5 : 2.5 = 3 : 1，宽的比是 3 : 1。 小长方形的面积 大长方形的面积 = 15 . 2 35 . 7 = 5 . 2 5 . 7 1 3 = 9 : 1 = 3 : 1 答：大长方形与小长方形面积的比是 9 : 1。 例 6、 （认识北偏东（西）若干度、南偏东（西）若干度等方向） 如图，一辆汽车向正北方
29、向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？ 分析与解从图上可以看出，以汽车为中心，书店在汽车的东北方向，商场在汽车的西北方 向。 怎样才能更准确地表示它们的位置呢？ 东北方向也叫做北偏东方向，书店在汽车的北偏东 60方向。 西北方向也叫做北偏西方向，商场在汽车的北偏西 45方向。 答：书店在汽车的北偏东 60方向，商场在汽车的北偏西 45方向。 例 7、 （知道了物体的方向和距离，才能确定物体的具体位置） 量出上图中书店到汽车的图上距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东 60方向的多少 千米处？商场呢？ 分析与解从图中量得书店和商场到汽车的图上距离分别是 1.2 厘米和 2.3 厘米
30、，根据比例 尺，图上距离 1 厘米代表实际距离 3 千米，分别算出实际距离。 1.2 3 = 3.6（千米）书店 2.3 3 = 6.9（千米）商场 答：书店在汽车北偏东 60方向的 3.6 千米处，商场在汽车北偏西 45方向的 6.9 千米处。 【点评】只有在方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的位置。确定方向时， 一定要先确定好南或北，再看是偏东还是偏西，如果图中没有画线，要先连线。算实际距离就根 据前面比例尺的相关知识去求。 例 8、 （辨析）书店在汽车的北偏东 60方向，表示汽车也在书店的北偏东 60方向。 分析与解书店在汽车的北偏东 60方向，是以汽车为中心，由北向东旋转
31、60；而以书店为 中心，汽车在书店的西南方向，即南偏西 60方向。 书店在汽车的北偏东 60方向，表示汽车在书店的南偏西 60方向。 例 9、 （根据给定的方向和距离，有序地确定物体的具体位置） 11 海面上有一座灯塔，灯塔北偏西 30方向 30 千米处是凤凰岛。 你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗？ 分析与解（1）先确定北偏西 30的方向，画一条射线。 （2）再算出灯塔到凤凰岛的图上距离是多少厘米。 30 10 = 3（厘米） 【点评】在表示凤凰岛的具体位置时，先要画出表示方向的射线，再确定灯塔到凤凰岛的图 上距离。且在画表示方向的射线时，应从表示灯塔的点开始画起，并注意正确摆好量角器。
32、例 10、 （用方向和距离描述简单的行走路线） 下图是某市旅游 1 号车行驶的线路图，请根据线路图填空。 12 （1） 旅游 1 号车从起点站出发， 向 （） 行驶到达青水公园， 再向 （） 偏 （） （） 的方向行（）千米到达抗战纪念碑。 （2）由绿博园向南偏（） （）的方向行（）千米到达购物中心，再向北偏（） （）的方向行（）千米到达人民公园。 分析与解先找准方向，再说出具体的路程。 （1）旅游 1 号车从起点站出发，向（ 东 ）行 驶到达青水公园，再向（ 北 ）偏（东） （40）的方向行（1.8 ）千米到达抗战纪念碑。 （2）由绿博园向南偏（东） （60）的方向行（1.7）千米到达购物中心，再向北偏（ 东 ） （70）的方向行（1.5）千米到达人民公园。 【点评】在进行描述的时候，一定要先说清楚方向再说路程。说方向的时候为了说清楚，通 常情况下不用东北、西北、东南、西南等说法，而用南偏东、南偏西、北偏东、北偏西多少度的 说法更为准确。
