1、1 / 8 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 【教学【教学内容内容】 矩形 【课时安排】【课时安排】 2 课时 【第一课时】【第一课时】 【教学目标】【教学目标】 1掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。 2会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。 【教学重难点】【教学重难点】 1掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。 2会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。 【教学过程】【教学过程】 （一）情境导入 1展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门、活动衣架、篱笆、井架等）， 想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2思考：拿一个活动的平行四边形教学
2、准备，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一 个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图） 3再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什 么图形（小学学过的长方形），引出本课题及矩形定义。 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形， 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。 （二）合作探究 探究点一：矩形的性质 2 / 8 性质 1：矩形的四个角都是直角。 例 1：如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE 平分BAC。若 BE4，A
3、C15， 则AEC 的面积为（） A15 B30 C45 D60 解析：如图，过 E 作 EFAC，垂足为 F。 AE 平分BAC，EFAC，BEAB， EFBE4 SAECACEF15430 故选 B。 方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件。 性质 2：矩形的对角线相等。 例 2：如图所示，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，AOD60，AD2，则 AC 的长是（） A2 B4 C2 3 D4 3 解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OCODOAAC，由AOD60得 AOD 为等边三角形，即可求出 AC 的长。故选 B。 方法总结：矩形的两条对角线互相平分且
4、相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当 两条对角线的夹角为 60或 120时，图中有等边三角形，可以利用等边三角形的性质解题。 3 / 8 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例 3：如图，已知 BD，CE 是ABC 不同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点， 试说明 GFDE。 解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理。 解：连接 EG、DG BD，CE 是ABC 的高 BDCBEC90 点 G 是 BC 的中点 EGBC，DGBC EGDG 又点 F 是 DE 的中点 GFDE 方法
5、总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角 形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题。 探究点二：矩形的性质的运用。 类型一：利用矩形的性质求有关线段的长度。 例 4：如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，F 是 AB 上的一点，EFEC，且 EFEC，DE4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长。 解析：先判定AEFDCE，得 CDAE，再根据矩形的周长为 32cm 列方程求出 AE 的长。 解：四边形 ABCD 是矩形 AD90 CEDECD90 4 / 8 又EFEC AEFCED90 AEFECD 而 EFEC
6、 AEFDCE AECD 设 AEcm CDcm，AD(4)cm 则有 2(4)32，解得6 即 AE 的长为 6cm 方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的 条件解决直角三角形中的问题。 类型二：利用矩形的性质求有关角度的大小。 例 5：如图，在矩形 ABCD 中，AEBD 于 E，DAEBAE31，求BAE 和 EAO 的度数。 解析：由BAE 与DAE 之和为 90及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得 ABO 的度数，再根据矩形的性质易得EAO 的度数。 解：四边形 ABCD 是矩形 DAB90 AOAC，BOBD，ACBD BAEDAE90
7、，AOBO 又DAE：BAE3：1 BAE22.5，DAE67.5 AEBD ABE90BAE9022.567.5 OABABE67.5 EAO67.522.545 类型三：利用矩形的性质求图形的面积。 5 / 8 例 6：如图所示，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB，CD 于 E、F，那么 阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的（） A1 5 B1 4 C1 3 D 3 10 解析：由四边形 ABCD 为矩形，易证得BEODFO，则阴影部分的面积等于AOB 的面积，而AOB 的面积为矩形 ABCD 面积的1 4，故阴影部分的面积为矩形面积的 1 4。故选 B。 方法总结
8、：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴 影部分转化为较规则的图形，再求其面积。 类型四：矩形中的折叠问题。 例 7：如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于点 E，AD 8，AB4，求BED 的面积。 解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得BCDBCD，则易得 BEDE。在 RtABE 中，利用勾股定理列方程求出 BE 的长，即可求得BED 的面积。 解：四边形 ABCD 是矩形 ADBC，A90 23 又由折叠知BCDBCD 12 13 BEDE 设 BEDE，则 AE8 在 RtABE 中，AB2A
9、E2BE2 42(8)2 2，解得 5 即 DE5 SBEDDEAB5410 方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对BED 是等腰三角形认识 6 / 8 不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析。 【第二课时】【第二课时】 【教学目标】【教学目标】 1理解并掌握矩形的判定方法。 2能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用。 【教学重难点】【教学重难点】 1理解并掌握矩形的判定方法。 2能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用。 【教学过程】【教学过程】 （一）情境导入 小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物， 于是找来两根长度相等的短木条和两根长 度相等的长木条制作，你
10、有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！ （二）合作探究 探究点一：矩形的判定 定理 1：对角线相等的平行四边形是矩形。 例 1：如图所示，外面的四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，里面的四 边形 MPNQ 的四个顶点都在矩形 ABCD 的对角线上，且 AMBPCNDQ。求证：四边形 MPNQ 是矩形。 解析：要证明四边形 MPNQ 是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角 线相等。 证明：四边形 ABCD 是矩形 OAOBOCOD AMBPCNDQ OMOPONOQ 四边形 MPNQ 是平行四边形 又OMONOQOP MNPQ 7 / 8 平
11、行四边形 MPNQ 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的 条件证明矩形。 定理 2：三个角是直角的四边形是矩形。 例 2：如图，GEHF，直线 AB 与 GE 交于点 A，与 HF 交于点 B，AC，BC，BD，AD 分别是EAB、FBA、ABH、GAB 的平分线。求证：四边形 ADBC 是矩形。 解析：利用已知条件，证明四边形 ADBC 有三个角是直角。 证明：GEHF GABABH180 AD，BD 分别是GAB，ABH 的平分线 1GAB，4ABH 14(GABABH)18090 ADB180(14)90
12、同理可得ACB90 又ABHFBA180，4ABH，2FBA 24(ABHFBA)18090，即DBC90 四边形 ADBC 是矩形。 方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定 方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形。 探究点二：矩形的性质和判定的综合运用。 例 4：如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 上的点，且 AEBFCGDH。 （1）求证：四边形 EFGH 是矩形； （2）若 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，且 DGAC，OF2cm，求矩 8 / 8
13、形 ABCD 的面积。 解析：（1）证明四边形 EFGH 对角线相等且互相平分；（2）根据题设求出矩形的边长 CD 和 BC，然后根据矩形面积公式求得。 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形 OAOBOCOD AEBFCGDH AOAEOBBFCOCGDODH，即 OEOFOGOH 四边形 EFGH 是矩形 （2）解：G 是 OC 的中点 GOGC DGAC DGODGC90 又DGDG DGCDGO CDOD F 是 BO 中点，OF2cm BO4cm 四边形 ABCD 是矩形 DOBO4cm DC4cm，DB8cm CBcm S 矩形 ABCD44 316 3(cm2) 方法总结：首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等。
