1、【方法点拨】【方法点拨】点的位置不确定时的分类情况： 1. 点在直线 AB 上的三种可能情况:(1)点在线段 AB 上;(2)点在线段 AB 的延长线上;(3)点在线段 BA 的延长 线上. 2.点在三角形或四边形边上,需分点在三角形或四边形的各条边上进行讨论(点在三角形的角平分线上、高 线上、中线上或点在四边形对角线上时,同理). 3.点在弧上的两种可能情况:(1)点在优弧上;(2)点在劣弧上. 折登后某点所落的特殊位置一般是指图形的边(或边所在直线) 、某条线段的三等分点处、特殊四边形的对 角线(或对角线所在直线) 、图形的对称轴、某角的平分线、某线段的重直平分线. 此类型中涉及一个动点的
2、居多, 解答时需注意:点落在边上时,要考虑图形的各条边;点落在角的平分 线上时,要考虑是哪几个角;,点落在直线上时,要考虑落在线段上、线段的延长线上和线段的反向延长线 上;点落在边的垂直平分线上时,要考虑图形的各条边. 【例 1】 （2020蜀山区一模）如图，已知 RtABC 中，C90，AC6，BC8，点 E、F 分别是边 AC、 BC上的动点， 且EFAB， 点C关于EF的对称点D恰好落在ABC的内角平分线上， 则CD长为 【变式 1-1】（2020无为市一模）如图，RtABC 中，C90，AC8，BC16，点 D 在边 BC 上，点 E 在边 AB 上，沿 DE 将ABC 折叠，使点 B
3、 与点 A 重合，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一动点，当半径 为 5 的P 与ABC 的一边相切时，AP 的长为 【变式 1-2】（2020黑龙江）在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，点 E 在边 BC 上，且 BE? ? ?a，连接 AE， 将ABE 沿 AE 折叠若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，则折痕的长为 【变式 1-3】（2020乌兰浩特市一模）如图，在菱形 ABCD 中，A60，AB3，点 M 为 AB 边上一点， AM2，点 N 为 AD 边上的一动点，沿 MN 将AMN 翻折，点 A 落在点 P 处，当点 P 在菱形的对角线上 时，AN 的长度为 【方
4、法点拨】【方法点拨】图形形状不确定类多解题： 1.有一个动点的等腰三角形存在性问题 解题技巧:先利用“两圆一线”,确定等腰三角形的第三个顶点(即动点)的位置,再结合图形自身特点,寻求 解题方法. 2.有两个动点的等腰三角形存在性问题 解题技巧:先大致确定图形形状,再利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角三角形,最后利用相似三角 形、“同(等)角的同种三角函数值相同”或勾股定理进行求解. 3.有一个动点的直角三角形存在性问题 解题技巧: 先利用“两线一面”, 确定直角三角形第三个顶点(即动点) 的位置, 再结合图形自身特点,寻 求解题方法. 4.有两个动点的直角三角形存在性问题 解题技巧: 先
5、大致确定围题形状, 再利用“相似”、“同(等) 角的同种三角函数值相同”或勾股定理进行 求解. 5.相似三角形的存在性问题解题技巧: 此类问题一般已知一组对应角, 再分两种情况讨论.方法一: 根据 对应角相等分情况求解;方法二:根据对应线段成比例分情况求解. 【例 2】（2021黄冈模拟）如图，长方形 ABCD 中，AD20，AB8，点 Q 是 BC 的中点，点 P 在 AD 边 上运动，当BPQ 是等腰三角形时，AP 的长为 【变式 2-1】（2021江西模拟）如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，P 是边 AB 上的一个动点， 过点 P 作 PEAB， 交 BC 于点 E，
6、 连接 DP， DE 若 AB8， PDE 是等腰三角形， 则 BP 的长是 【变式 2-2】（2020涡阳县一模）如图，在 RtABC 中，C90，AB5，BC4，点 E，F 分别在边 BC， AC 上， 沿 EF 所在的直线折叠C， 使点 C 的对应点 D 恰好落在边 AB 上， 若EFC 和ABC 相似， 则 BD 的长为 【变式 2-3】（2021海州区校级一模）如图，在ABC 中，ABBC6，AOBO，P 是射线 CO 上的一个 动点，AOC60，则当PAB 为直角三角形时，AP 的长为 【方法点拨】【方法点拨】此类问题通常涉及裁剪、拼接等操作,裁剪方式或拼接方式的不同使得此类问题多
7、解,解题的 关键在于不重不漏地画出所有可能出现的情况,充分利用高线、中位线、中线等特征线段隐含的等量关系. 【例 3】（2020河南二模）如图 1，三角形纸片 ABC，A90，C30，AC8cm，先将该纸片沿 过点 B 的直线折叠，使点 A 落在斜边 BC 上的一点 E 处，折痕记为 BD（如图 1）剪去CDE 后得到 双层BDE（如图 2），再沿着过BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有 一”个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为cm 【变式 3-1】（2020 春九龙坡区校级模拟）如图，在四边形纸片 ABCD 中，ABBC，ADCD，A C90，ABC135，将纸
8、片先沿直线 BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪， 剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为 2 ?的平行四边形，则四边形纸片 ABCD 的 面积 【变式 3-2】（2020 春埇桥区模拟）有一张一个角为 30，最小边长为 4 的直角三角形纸片，沿图中所示 的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 【变式 3-3】（2020 春临海市模拟）如图 1，在四边形纸片 ABCD 中，BD90，ABAD，CB CD，若BCD60，BC4cm，现将该纸片沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 D 处，得到双层ACD （如图 3），再沿着过ACD 某一顶点的
9、直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平 行四边形，则所得的平行四边形的周长为 【方法点拨】【方法点拨】当函数图象不确定时,需分情况画出函数的大致图象,利用数形结合思想解决问题. 1.若求交点横或纵坐标或某参数的取值范围,常需找到临界情况,求得相应的解析式,再进一步求解. 2.在判断两个函数的图象有无交点时,可利用方程思想,结合一元二次方程的根的判别式解决问题. 3.在求不等式的解集时,结合两个函数的图象在交点附近的上、下位置关系求解. 【例 4】（2020涡阳县模拟）抛物线 yx2+2ax3 与 x 轴交于 A，B（1，0）两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴交于点
10、C，将抛物线沿 y 轴平移 m（m0）个单位，当平移后的抛物线与线段 OA 有且只有一个 交点时，则 m 的取值范围是 【变式 4-1】（2020包河区校级一模）在平面直角坐标系中，点 O 为原点，抛物线 yx22x+c 与 y 轴 交于点 P，以 OP 为一边向左作正方形 OPBC，点 A 为抛物线的顶点，当ABP 是锐角三角形时，c 的取 值范围是 【变式 4-2】（2020瑶海区二模）如果二次函数 yx2+b（b 为常数）与正比例函数 y2x 的图象在1x 2 时有且只有一个公共交点，那么常数 b 的值应为 【变式 4-3】如图所示，直线 yx 与抛物线 yx2x3 交于 A，B 两点，点 P 是抛物线上的一个动点，点 P 作 PQx 轴交直线 yx 于点 Q，设点 P 的横坐标为 m，则线段 PQ 的长度随着 m 的增大而减小时 m 的取值范围是
