1、【方法点拨】【方法点拨】在解答数字规律探索题时,分三种情况： 1. 若题中给出的是一组数字且这组数字均为整数,则一般步骤如下. (1) 得出数字规律:观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列还是整数列经过和、差、平方、 平方和、平方差、平方和加 1、平方和减 1 等运算后得到的数列;观察每个数字与其对应的序号、相邻两个 数字之间的关系; (2)得出符号规律:看这组数字的符号,判断是正负号交替出现, 还是只出现一个符号, 如果是交替出现,若 奇数项为负,则用? ?表示数字的符号;若偶数项为负,则用? ?表示数字的符号; (3) 得结果: 将数字规律和符号规律结合起来得出结果,并进行检验.
2、 2.当所给的一组数字既有整数又有分数时,把这组数据的所有整数化成分数,然后根据整数的数字规律(具 体方法同 1),分别得出分子、分母和符号的规律,最后得到该组数据的规律. 3.若题中给出的数字按照一定的形式排列成数阵(如杨辉三角),则此类题型的解题方法如下. (1)分析数阵中数字的排列方式:若行、列中存在整数和算术平方根(或立方根),可先将整数化为带有相应根 号的平方数(或立方数);看每行的个数、每列的个数;看相邻数据的变化特点,并且观察某一行或者某一列数 据是否具有某些特殊的性质(如完全平方数、奇偶数等); (2)找出该行或该列上的数字与其所在的行数和列数的关系; (3)使用(1)中找出的
3、具有特殊性质的数字,根据(2)中的性质定位,求得答案,并注意检验. 【例 1】（2020百色模拟）按一定规律排列的一列数依次是? ?、1、 ? ?、 ? 、? 、 ? ? ?按此规律，这列数中 第 100 个数是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【变式 1-1】（2020洪山区校级模拟）有一列数：? ?、 ? ?、 ? ?、 ? t ?，它有一定的规律性若把第一个数记为 a1，第二个数记为 a2，第 n 个数记为 an，则 a1+a2+a3+a2020的值是（） A2020B2021 ? C2020 ? D2021 ? 【变式 1-2】（2021深圳一模）观察下列一组数： ? ，
4、? ? ， ? ， ? ? ， ? ?t ?，它们是按一定规律排列的，那 么第 7 个数是 【变式 1-3】（2020黄石模拟）一列数按某规律排列如下： ， ?， ? ， ? ， ? ? ， ? ， ?， ? ? ， ? ? ， ? ，可 写为： ，（ ?， ? ），（ ? ， ? ? ， ? ），（ ?， ? ? ， ? ? ， ? ），若第 n 个数为 ? ?，则 n 【例 2】（2020蜀山区一模）如图所示，南宋数学家杨辉在详解九章算法中出现的三角形状的数阵， 又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第 100 行的左边 第 3 个数是 【变式 2-1】
5、（2021咸宁模拟）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”， 它具有一定规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，分别记为 a11，a23，a36，a410， 那么 ? ? ? ? ? ? ? ? ?的值是 【变式 2-2】（2021昆明模拟）如表，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”其规律是：从第三行起，每 行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和表中两平行线之间的一列数：1，3， 6，10，15，我们把第一个数记为 a1，第二个数记为 a2，第三个数记为 a3，第 n 个数记为 an， 则 a6+a199的值为（） A19900B19915C1992
6、1D19934 【变式 2-3】（2021硚口区模拟）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是 其“肩上”的两个数字之和，例如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和若在“杨辉三角”中从第 2 行左 边的 1 开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a11，a22a33，a43，a56， a64，a710，a85，则 a99+a100的值为（） A1275B1326C1378D1431 【例 3】（2021余杭区模拟）a 是不为 2 的有理数，我们把 ? ?称为 a 的“哈利数”如：3 的“哈利数” 是 ? ? ? 2，2的“哈利数”是 ? ? ?
7、?，已知 a13，a2 是 a1的“哈利数”，a3是 a2的“哈利数” ， a4是 a3的“哈利数”，依此类推，则 a2019（） A3B2C ? D? ? 【变式 3-1】（2020江都区三模）若 x1a+1（a0 且 a1），x2? ?，x3? ?，xn? ?， 则 x2020等于（） AaBa+1C ? D ? ? 【变式 3-2】（2021广西模拟）计算：2111，2213，2317，24115，25131，归纳各 计算结果中的个位数字规律，猜测 220211 的个位数字是（） A1B3C7D5 【变式 3-3】（2020江汉区模拟）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组，（1），
8、（3，5，7）， （9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），若 AM（i，j）表示正奇数 M 是第 i 组第 j 个数（从左往右数），若 A7（2，3），则 A2019（） A（32，26）B（32，49）C（45，42）D（45，80） 【方法点拨】【方法点拨】解决数式类规律探究问题,一般要抓住所给式子的特点,通过对简单、特殊情况或部分情况的 观察,利用列举归纳法或观察归纳法猜想得到规律,从而推广到一般情况,再运用规律进行计算,解决问题. 解答此类问题的一般步骤: (1) 先观察分析前后几个不同的式子,从中找出变化的量及符号、不变的量及符号; (2) 将某
9、式中变化的量用字母表示,从而得到相应的代数式或函数关系式. 【例 4】（2021庐阳区校级一模）观察以下等式： 第 1 个等式：? ? ? ? ?； 第 2 个等式：? ? ? ? ?； 第 3 个等式： ? ? ? ? ?； 第 4 个等式： ? ? ?t ? ?； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 5 个等式：； （2）写出你猜想的第 n 个等式：（用含 n 的等式表示），并证明 【变式 4-1】（2020新华区一模）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题， 3231231； 3332232； 3433233； （1）直接写出第个等式：； （2）猜想第 n 个等式（用含字母 n
10、的式子表示），并说明这个等式的正确性； （3）利用发现的规律，求 31+32+33+310的值（参考数据：311177147） 【变式 4-2】（2021淮南一模）观察下列等式： ? ? ? ? ? ； ? ? ? ? ? ?； ? ? ? ? ? ?； t ? ? ? ? ?； ? ? ? ? ? ?； （1）请按以上规律写出第个等式?； （2）猜想并写出第 n 个等式?；并证明猜想的正确性 （3）利用上述规律，计算：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【变式 4-3】（2020瑶海区二模）化简： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为了能找到复杂计算
11、问题的结果，我们往往会通过将该问题分解，试图找寻算式中每个式子是否存在某 种共同规律，然后借助这个规律将问题转化为可以解决的简单问题下面我们尝试着用这个思路来解决 上面的问题请你按照这个思路继续进行下去，并把相应横线上的空格补充完整 【分析问题】第 1 个加数： ? ? ? ? ?； 第 2 个加数： ? ? ? ? ?； 第 3 个加数： ? ? ? ? ?； 第 4 个加数： t ? ? ? ?； 【总结规律】第 n 个加数： 【解决问题】请你利用上面找到的规律，继续化简下面的问题（结果只需化简，无需求出最后得数） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【方法点拨】【方法点拨
12、】图形类规律探究题包含同一种图形的数量变化问题、图形的折叠及旋转问题、几何图形与数 式结合问题等,解答此类问题的关键是利用数形结合的思想.解答图形累加规律题的一般步骤: 1.标序号,按图号标序(若原图中有序号,则此步骤省略); 2.找规律,将每个图中所求量的个数表示成与序号 n 有关的式子,使其呈现一定的规律,从而得到第 n 个图中 所求量的个数; 3.验证,代入序号验证所列的关系式是否正确; 4.求出结果,将所求项的序号代入关系式求得结果. 【例 5】（2021九龙坡区校级模拟）如图是用棋子摆成的小房子，第个图形有 5 颗棋子，第个图形有 12 颗棋子，第个图形有 21 颗棋子，观察图形规律
13、得出第个图有（）颗棋子 A76B77C78D79 【变式 5-1】 （2021九龙坡区模拟）如图，第个图形中共有 5 个小黑点，第个图形中共有 9 个小黑点， 第个图形中共有 13 个小黑点，按此规律排列下去，则第个图形中小黑点的个数为（） A17B21C25D29 【变式 5-2】（2021云南模拟）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第个图形 一共有 5 个实心圆点，第个图形一共有 8 个实心圆点，第个图形一共有 11 个实心圆点，按此 规律排列下去，当第 n 个图形中实心圆点的个数为 104 个时，则 n 为） A32B33C34D35 【变式 5-3】 （2021武汉
14、模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1， 1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和现以这组数中的各个 数作为正方形的边长构造一组正方形（如图 1）；再分别依次从左到右取 2 个，3 个，4 个，5 个拼成如 图 2 长方形并记为，若按此规律继续作长方形，则序号为的长方形周长是（） A110B100C105D90 【例 6】 （2021盂县一模）观察下列图形，它们是一组有规律的图案，各图形是由大小相同的黑点组成图 1 中有 2 个点，图 2 中有 7 个点，图 3 中有 14 个点，按此规律，第 10 个图中黑点的个数是（） A
15、119B120C121D122 【变式 6-1】（2021丹江口市模拟）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第 1 幅图中有 1 个正方形； 第 2 幅图中有 5 个正方形按这样的规律下去，第 9 幅图中正方形中的个数为（） A180B204C285D385 【变式 6-2】（2020新野县三模）如图，在一张白纸上画 1 条直线，最多能把白纸分成 2 部分如图（1）， 画 2 条直线，最多能把白纸分成 4 部分如图（2），画 3 条直线，最多能把白纸分成 7 部分如图（3）， 当在一张白纸上画 20 条直线，最多能把白纸分成（）部分 A190B191C210D211 【变式 6-3】（2020
16、罗湖区模拟）“雪花曲线”是瑞典数学家科赫 1904 构造的图案（又名科赫曲线）其 过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉 中间一段得图第二次操作，将图中的每条线段三等分，重复上面的操作得图如此循环下去， 得到一个周长无限的“雪花曲线”若图中三角形的边长为 3，操作 4 次后所得“雪花曲线”的周长 是（） A22.5B21Ct? ? D?t ? 【例 7】（2020霍邱县一模）将一些相同的病毒“”按如图所示的规律依次摆放成类似“蝙蝠侠”的图 案，观察下列“蝙蝠侠”图案中病毒“”的排列规律，解答下列问题 图1+2+0+25+10 图1+3+1+2
17、5+21 图1+4+22+25+32 图1+5+32+25+43 （1）观察右侧等式，写出第个等式； （2）用含 n（n 取正整数）的代数式表示出第 n 个等式？并证明其正确性 【变式 7-1】（2021蜀山区一模）观察与思考：我们知道，1+2+3+n? ? ? ，那么 13+23+33+n3结 果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： （1）推算：13+23+33+43+53 2； （2）概括：13+23+33+n3； （3）拓展应用：求 ? ? 的值 【变式 7-2】（2020定兴县一模）如图 1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方 形第
18、1 次画线分割成 4 个互不重叠的正方形，得到图 2；第 2 次画线分割成 7 个互不重叠的正方形， 得到图 3以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线 尝试：第 3 次画线后，分割成个互不重叠的正方形； 第 4 次画线后，分割成个互不重叠的正方形 发现：第 n 次画线后，分割成个互不重叠的正方形；并求第 2020 次画线后得到互不重叠的正方 形的个数 探究： 若干次画线后， 能否得到 1001 个互不重叠的正方形？若能， 求出是第几次画线后得到的； 若不能， 请说明理由 【变式 7-3】 （2020蜀山区校级一模）如图，正方形 ABCD 内部有若干个点，则用这些点以及正方形 ABCD 的顶点 A、B、C、D 把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： 正方形 ABCD 内点的个 数 1234n 分割成三角形的个数46 （1）填写下表： （2）原正方形能否被分割成 2021 个三角形？若能，求此时正方形 ABCD 内部有多少个点？若不能，请 说明理由
