1、1（2021南昌模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形” 例如：四边形 ABCD 中，若A+C180或B+D180，则四边形 ABCD 是“对补四边形” 概念理解 （1）如图 1，四边形 ABCD 是“对补四边形” 若A：B：C3：2：1，则D； 若B90，且 AB3，AD2 时，则 CD2CB2 拓展延伸 （2）如图 2，四边形 ABCD 是“对补四边形”当 ABCB，且EBF? ? ?ABC 时，图中 AE，CF，EF 之间的数量关系是，并证明这种关系； 类比运用 （3）如图 3，在四边形 ABCD 中，ABCB，BD 平分ADC 求证：四边形 ABCD 是“对补四边形” 如
2、图4 ， 连 接AC ， 当 ABC 90 ， 且 ? ? ? ? ? 时 ， 求tan ACD的 值 2（2021宁波模拟）定义：只有一组对角为直角的四边形称为准矩形 （1）如图 1，平面直角坐标系中，A（0，3），B（1，0）若整点 C 使得四边形 AOBC 是准矩形，则 点 C 的坐标是（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点） （2）如图 2，四边形 ABCD 中，ABC90，ABBC，若 DB 平分ADC，求证：四边形 ABCD 是 准矩形 （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AC 交 BD 于点 P，设?t t? ?y，tanDACx 求 y 关于 x 的函数表达式； 当 y? ?
3、?，AB4 时，求 BD 的长 3（2021张家川县模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角， 像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形 根据以上定义，解决下列问题： （1）如图 1，正方形 ABCD 中 E 是 CD 上的点，将BCE 绕 B 点旋转，使 BC 与 BA 重合，此时点 E 的 对应点 F 在 DA 的延长线上，则四边形 BEDF（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； （2）如图 2，已知四边形 ABCD 是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，过点 B 作 BE AD 于 E 过 C 作 CFBF 于点 F，试证
4、明：BEDE，并求 BE 的长； 若 M 是 AD 边上的动点，求BCM 周长的最小值 4（2021启东市模拟）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四 边形” （1）如图，四边形 ABCD 与四边形 AEEG 都是正方形，135AEB180，求证：四边形 BEGD 是“等垂四边形”； （2）如图，四边形 ABCD 是“等垂四边形”，ADBC，连接 BD，点 E，F，G 分别是 AD，BC，BD 的中点，连接 EG，FG，EF试判定EFG 的形状，并证明； （3）如图，四边形 ABCD 是“等垂四边形”，AD4，BC6，试求边 AB 长的最小值 5（2021高新区
5、一模）定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为 关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在ABC 中，A100，B60，C20，满足 AB2C，所以ABC 是关于C 的“差倍角三角形”； （1）如图 1，ABC 是关于C 的“差倍角三角形”（其中BACB），AB3，BC9，点 D 在 BC 上，且BADC，求 AC 的长 （2）如图 2，等腰三角形 ABC 中，点 D 是底边 BC 的一个黄金分割点（CDBD），且 ABACBD求 证：ABC 是关于B 的“差倍角三角形” （3）如图 3，五边形 ABCDE 内接于圆，连接 AC，AD 与 BE 相交于点 F，G，
6、BF1，? ? ? ? ? ? ? ?， ABE 是关于AEB 的“差倍角三角形”设 ABx，CDy，求 y 关于 x 的函数关系式 6（2021江都区模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到 这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”如图 1，ABC 中，点 D 是 BC 边上 一点，连接 AD，若 AD2BDCD，则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“好点” （1） 如图 2， ABC 的顶点是 44 网格图的格点， 请仅用直尺画出（或在图中直接描出） AB 边上的“好 点”； （2）ABC 中，BC14，tanB? ? ?，tanC1，
7、点 D 是 BC 边上的“好点”，求线段 BD 的长； （3）如图 3，ABC 是O 的内接三角形，点 H 在 AB 上，连接 CH 并延长交O 于点 D若点 H 是 BCD 中 CD 边上的“好点” 求证：OHAB； 若 OHBD，O 的半径为 r，且 r3OH，求? ?的值 7（2021河南一模）如图（1），在 RtABC 中，ACB90，CAB60，点 D，E 分别在 AC， BC 边上，且 DEAB，连接 AE，BD，点 M，N，P 分别是 AE，BD，AB 的中点，连接 PM，PN，MN （1）观察猜想 PNM 的度数为；线段 MN，BE 的数量关系为 （2）探究证明 将CDE 绕点
8、 C 逆时针旋转， 连接 BE， 在旋转过程中， （1） 中 MN， BE 之间的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请就图（2）或图（3）的情形加以证明；若不成立，请说明理由 （3）解决问题 把CDE 绕点 C 在平面内自由旋转，若 AC5，CD2，请直接写出PMN 周长 m 的取值范围 8（2021碑林区校级二模）（1）观察猜想：平面内有三个点 A，B，C 连接 AB，AC，BC测得 AB6， AC4，则 BC 的最大值是 （2）探究证明：如图，在 ABC 中，BAC90，ABAC10，点 D 为ABC 内一点，BAD 30，AD6，连接 BD，将ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB
9、与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E， 连接 DE，DE 交 AC 于点 F，求 CF 的长 （3）拓展延伸：如图，在公园内有一个等边三角形的支架ABC，在顶点 A 处悬挂一个等边三角形 的旋转座椅AMN，旋转座椅AMN 绕顶点 A 旋转，连接 CM，点 D，E，F 分别为 CM，BC，MN 的中 点，已知支架ABC 边长 10 米，旋转座椅AMN 边长 2 米，若要在 D，E，F 三点处连接弹性灯光彩带， 那么在旋转过程中，彩带的最大长度是多少？（支架，旋转座椅厚度忽略不计） 9（2021和平区模拟）在矩形 ABCD 中，点 E、点 F 分别是 AD 边、BC 边上的动点，且 AECF，
10、连接 EF， 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠， 点 C 落在点 G 处， 点 D 落在点 H 处， 射线 EH 与射线 CB 相交于点 P AB 15，BC?CD （1）如图 1，当 EH 与线段 BC 交于点 P 时，求证：PEPF； （2）如图 2，当点 P 在线段 CB 延长线上时，线段 HG 分别与 AB，BC 交于 M，N 两点时，EP 与 AB 交 于点 Q，连接 PM 并延长 PM 交 EF 于点 O 求证：直线 OP 是线段 EF 的垂直平分线； 若 AE6 ?，直接写出线段 EF 的长为； （3）在点 E 由点 A 移动到 AD 中点的过程中，直接写出点 G 运动的路径长为
11、 10（2021扬州模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是 AD 边上的动点，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落在点 A处，连接 AC、BD （1）如图 1，求证：DEA2ABE； （2）如图 2，若点 A恰好落在 BD 上，求 tanABE 的值； （3）若 AE2，求 SACB （4）点 E 在 AD 边上运动的过程中，ACB 的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段 AE 的长； 若不存在，请说明理由 11（2021河南三模）已知正方形 ABCD，作点 C 关于直线 BK 的对称点 C，直线 AC交直线 BK 于点 E， 连接 CE 问题发现 （1） 如
12、图 （1） ， 若直线BK经过正方形ABCD内部， 且CBE30， 则CE与CE的数量关系为， 位置关系为； 探究证明 （2）若直线 BK 为任意位置，试判断（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请仅就图（2）的情形给 予证明；如果不成立，请说明理由 解决问题 （3）如图（3），在正方形 ABCD 与正方形 CEFG 中，AB13，CE5 ?，将正方形 CEFG 绕点 C 旋 转，当 B，E，G 三点共线时，直接写出 AF 的长 12（2021青羊区校级模拟）（1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD 中，点 E，Q 分别在边 BC， AB 上，DQAE 于点 O，点 G，F 分别在边 CD
13、，AB 上，GFAE求证：AEFG； （2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中，? ? ?k（k 为常数）将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当时 k? ? ?，若 tanCGP? ? ?，GF2 ?，求 CP 的长 13（2021秀山县模拟）在ABC 中，ABC90，ABBC，以点 A 为旋转中心，将边 AC 逆时针旋转 一定角度，得到线段 AD，使 BDAC，AD 交
14、BC 于点 G，过点 C 作 CEAD 交 AD 于点 F （1）若 AB3，求 BD 的长； （2）求证：AGCF?DF； （3）点 M 是 AC 边上一动点，在线段 BM 上存在一点 N，使 NB+NA+NC 的值最小时，NB 的长为 m，请 直接用含 m 的式子表示 NB+NA+NC 的最小值 14（2021河南模拟）在等腰直角三角形 ABC 中，ACBC2，ACB90，点 M 为射线 CA 上一个 动点过点 M 作 MEBM，交射线 BA 于 E，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 90得到线段 BN，过点 N 作 NFBN 交 BC 延长线于点 F，连接 EF （1）如图 1，当点
15、M 在边 AC 上时，线段 EM，EF，NF 的数量关系为； （2）如图 2，当点 M 在射线 CA 上时，判断线段 EM，EF，NF 的数量关系并说明理由； （3）当点 M 在射线 CA 上运动时，能否存在BEF 为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在， 请直接写出 CM 的长 15（2021天宁区校级模拟）如图（1），四边形 ABCD 的顶点 A、D、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，AD BC，OC4cm动点 E 从点 C 出发，沿 CDABC 匀速运动，动点 F 以每秒 1cm 的速度从 C 出发沿线段 CB 向点 B 来回运动，当 E 点运动到点 C 点时，两点同时停止运动若点
16、E、F 同时出发运 动 t 秒后，如图（2）是OEC 的面积 S（cm2）与 t（秒）的函数关系图象，以线段 EF 为斜边向右作等 腰直角EFG （1）填空：点 E 的运动速度是，B 点坐标为 （2）当 0t4 秒时， t 为何值时，以 O、C、E 为顶点的三角形与BFG 相似？ 是否存在这样的时刻 t，使点 G 正好落在线段 AB 上，若存在，求此时的 t，若不存在，请说明理由 16（2020新野县二模）已知ABC 是等边三角形，ADBC 于点 D，点 E 是直线 AD 上的动点，将 BE 绕点 B 顺时针方向旋转 60得到 BF，连接 EF，CF，AF （1）问题发现：如图 1，当点 E
17、在线段 AD 上时，且AFC35，则FAC 的度数是； （2）结论证明：如图 2，当点 E 在线段 AD 的延长线上时，请判断AFC 和FAC 的数量关系，并证明 你的结论； （3）拓展延伸：若点 E 在直线 AD 上运动，若存在一个位置，使得ACF 是等腰直角三角形，请直接写 出此时EBC 的度数 17（2020常德模拟）如图（1），在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A，B 不重 合），连接 CE，过点 B 作 BFCE 于点 G，交 AD 于点 F （1）求证：ABFBCE； （2）如图（2），当点 E 运动到 AB 的中点时，连接 DG，求证：DCD
18、G； （3）如图（3），在（2）的条件下，过点 C 作 CMDG 于点 H，分别交 AD，BF 于点 M，N，求证： FNNG2MNNH 18（2020市南区二模）已知：RtABC 与 RtDEF 中，ACBEDF90，DEF30，EF 16cm，AC16cm，BC12cm现将 RtABC 和 RtDEF 按图 1 的方式摆放，使点 C 与点 E 重合，点 B、C（E）、F 在同一条直线上，并按如下方式运动 运动一：如图 2，ABC 从图 1 的位置出发，以 1cm/s 的速度沿 EF 方向向右匀速运动，DE 与 AC 相交 于点 Q，当点 Q 与点 D 重合时停止运动； 运动二：在运动一结束
19、后，如图 3，将 RtABC 绕着点 C 顺时针旋转，CA 与 DF 交于点 Q，CB 与 DE 交于点 P，此时点 Q 在 DF 上匀速运动，速度为 1cm/s，当 QCDF 时停止旋转； 运动三：在运动二结束后，如图 4，RtABC 以 1cm/s 的速度沿 EF 向终点 F 匀速运动，直到点 C 与点 F 重合时为止 从运动一开始计时（中间停止不计时），设运动时间为 t（s） 解答下列问题： （1）在运动一过程中，是否存在某一时刻，点 Q 正好在F 的平分线上，若存在，求出此时 t 的值；若 不存在，请说明理由 （2）在运动二过程中，是否存在某一时刻，点 Q 正好在线段 AB 的中垂线上，若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由 （3）在运动三过程中，设 RtABC 与 RtDEF 的重叠部分的面积为 S（cm2），求 S 与 t 之间的函数关 系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； （4）在 RtABC 从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时s
