1、 2021 南京师范大学数学之友 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 项是符合题目要求的。 1.已知全集U AB中有 元素个数为（） Amn Bmn Cnm 2.设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位） ，则 A. 5 B.5 C.7 D.7 3.已知随机变量服从正态分布 A.0.5 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.2 4.由伦敦著名建筑事务所 Steyn Studio 建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 1(a0，b0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 该双曲线的渐近线方程为( ) Ay 3xBy 3 3 x C 5.不
2、等式2(2xxx A. ,22()23,( B. C.2()22 ,( 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 6 页，包含选择题（共 分，考试时间为 120 分钟 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3 作答试题必须用书写黑色字迹的 一律无效。 4 如有作图需要，可用 2B 1 1 高考数学模拟试卷（1） 南京师范大学数学之友 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 m 个元素，（ UA） （ UB） 中有 n 个元素 若 nm Dmn 是虚数单位） ，则z等于（） D.7
3、服从正态分布 2 2,N，且(4)0.8P，则(02)P A.0.5 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.2 Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与 建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 2，离心率为 ( ) yxDy2x )2的解集为（） ) B. ),22()22,( ),2 D.),22()22,( 注意事项注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 包含选择题（共 12 题） 、填空题（共 4 题） 、解答题（共 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一
4、并交回 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 铅笔正确填涂考试号。 必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 非空， 则 的 (02)( ) 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与 建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 y2 a2 x2 b2 ，离心率为 2，则 ) 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 150 交回。 毫米签字笔填写在答题 上的指定位置，在其它位置作答 2 5 1
5、0 3 5 5 6.钺（yu）的本字其实是“戉（yu）”，是一种斧头。在中国古代，长江流域以南 的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出， “越人”的“越”，其含义可能由“戉”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人. 此外，“戊（w）”的本意和“戉”一样，也是指斧头.如图是一把斧子，它的斧 头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下 部是一个“楔（xie)形”，其尺寸如图标注（单位：cm），已知铁的比重为 7.87g/cm3， 斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（） A.（800，1200）
6、 B.1200，1600） C.1600，2000） D.2000，2400） 7.若 则), 2 0(tansincos（） A) 6 , 0( B) 4 , 6 ( C) 3 , 4 ( D) 2 , 3 ( 8. 已知 e 是自然对数的底数，是圆周率，下列不等式中， 3 3 ， 3 3e e ， e e ， 正确的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9. 设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B, 点P
7、是 线 段AB上 的 一 个 动 点 ,APAB , 若 OP ABPA PB ,则实数的值可以为（） A.1 B.? ? C. ? ?D. ? ? 10.若 ab0,且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值可以是（） A.? ? B. ? ? C. ? ? D.2 12.设 * Nn，下列恒等式正确的为（） A. 121 2 nn nnn CCC B. 121 221 nn nnn nnCCC C. 222212 2) 1(21 nn nnn nnCnCCD. 132313 2)34(21 nn nnn nCnCC 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.
8、在等差数列 n a中， 1 1a ，前n项和 n S满足条件 2 42 ,1,2, 1 n n Sn n Sn ，则 202121 111 SSS =_. 14.直线 y=与圆 D：3) 1()3( 22 yx交与 A，B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为_. 15.若函数() = ( 1)?+ ? ? + 1存在( N)个零点，则所有这些零点的和等于 _. 16.在锐角三角形中， = ? ?， ? ? (，)，则 的最小值为_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知中，D 是 AC 边的中点，且BA=3，BC=7，BD=
9、7，A=60. 问： （1）AC 的长为多少？ （2）的角 A 的平分线 AE 的长为多少？ 上面问题的条件有多余，现请你在，中删去一个，并将剩下的三个作为条件解 答这个问题，要求答案存在且唯一. 请问你删去的是_，写出你的解答过程. 3 2 3 x 4 A D C B E F G H J 18.某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取 80 位学生，请他们家长 (每位学生请一位家长)对学生打分，满分为 10 分下表是家长所打分数 X 的频数统计. 分数 X 5 6 7 8 9 10 频数 4 8 20 24 16 8 (1) 求家长所打分数的平均值； (2) 若分数不小于 8
10、 分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的 80 位学生中， 男同学共 42 人，其中打分为“自制力强”的男同学为 18 人，是否有 99.5%的把握认为“自 制力强”与性别有关？ 附：K2 nadbc2 abcdacbd. P(K2k0) 0.10 0.05 0.01 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 19.如图所示， 设正方体 ABCD-EFGH 的棱长为 1， J 是棱 EF 的中点， 一只蚂蚁从 A 点出发， 沿该正方体的表面直线型爬行一圈，蚂蚁首先爬到点 J，然后在上底面 EFGH 爬行， 再在右侧面爬行到点 C， 最后沿 CA 回到起点 A，
11、 蚂蚁爬行一圈的封闭路径正好在 平面内. （1）求证：蚂蚁在上底面 EFGH 上爬行的路线 l 与 AC 平行； （2）求平面与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值. 5 x Q P B A y O 20.如图所示，已知椭圆 C:)(01 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 3 ，且过点 P(2，-1)， （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 Q 在椭圆 C 上，且 PQ 与 x 轴平行，过 P 作两条直线分别交椭圆 C 于两点 A，B， 直线 PQ 平分，且直线 AB 过点 R(-1,0)，求四边形 PAQB 的面积. 21.对任意正整数 m，n，定义函数 f(m, n）
12、如下： f(1,1）=1； f(m+1, n)=f(m, n)+2(m+n)； f(m, n+1)=f(m, n)+2(m+n-1). （1）求 f(m, 1）的解析式； （2）设 e 是自然对数的底数， N，g(n)= ?(? ，?) ? ，试比较 g(n)与? ?的大小. 6 22.设 M(m,n)为定点，A 是抛物线 C：y=x2上的一点，若抛物线在 A 处的切线恰好与 A,M 两 点的连线互相垂直，则称点 A 为点 M 的“f 伴点”. （1）求抛物线 C 的焦点 F 的“f 伴点”； （2）设 m0，问：当且仅当 m,n 满足什么条件时，点 M 有三个“f 伴点”？试证明你的结论.
13、1 2021 高考数学模拟试卷（1） 答案 一、单项选择题答案一、单项选择题答案 1.D2. A 3.B4.B5. B6. A 7. C8. D 二、多项选择题答案二、多项选择题答案 9. ABC 10. AC11.AB 12.BC 三、填空题答案三、填空题答案 13. 1011 2021 14.15. 16.3 ? ? 四、解答题答案四、解答题答案 17.解解：情形【情形【1】 ：横线上填“”,则设 AD=CD=x，BA=y， （1）在ABD中，有?+ ? = 7， （*） 在ABC中，有4?+ ? 2 = 7， （*） 由（*） （*）联立解得? = 1 = 3 ，所以 BA=3，AC=2
14、. （2）设 AE=y，则由?+ ?=?得? ? 3ysin30+ ? ? ysin30=? ? 3 2sin60，解得 y=? ? ， 即的角 A 的平分线 AE 的长为? ? . 情形【情形【2】 ：】 ：横线上填“”,则设 AD=CD=x， （1）在ABD中，cosADB = ? ? = ? ? = ? ?， 同理，在中，cos = ? ?， 因为cos=cos，所以? ? ?= ? ?，解得 x=1，所以 AC=2. （2）解同情形【1】的（2）. 【说明】 ：若删去，之一，则计算 AC 的长有两解，不满足要求. 18.解解： (1) 家长所打分数的平均值为 X 1 80(546872
15、0824916108) 39 5 . (2) 填写列联表如下： 男生 女生 合计 自制力强 18 30 48 自制力一般 24 8 32 合计 42 38 80 提出假设 H0:“自制力强”与性别无关，则 K2801882430 2 42384832 10.8277.879， 所以有 99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关 4 3 2 A D C B E F G H J z y x 19.解：解： （1）证明： 因为正方体 ABCD-EFGH，所以平面 ABCD/平面 EFGH， 平面 平面 ABCD=AC，平面 平面 EFGH=l， 所以 l/AC. （2）以 A 为坐标原点，分别以直线
16、 AB，AD，AE 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系，则平面 ABCD 的一个法向量为?= ?=(0,0,1), 易知，A(0,0,0),C(1,1,0),J(? ?,0,1)，所以 ?=(1,1,0)，?= (? ?,0,1)，设平面的法向量为 ?=(x,y,z)，则? ? ?= 0 ? ?= 0 ，所以? + = 0 ? ? + = 0 ，取? = 2 = 2 = 1 ，即?=(2, -2, -1)， 设平面与平面 ABCD 所成的锐二面角为，则cos = ?cos ?=? ? ?= ? ?， 所以平面与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为? ?. 20.解：解
17、： （1）由离心率e = ? ? = ? ? = ? ? 得?= 4?（*） ， 由于点 P(2,-1)在椭圆 C 上，故 ? ?+ ? ?=1 （*） ，联立（*） （*）得 ? = 8,?= 2， 所以椭圆 C 的方程为? ? ? +? ? ? =1. （2）由直线 AB 过点 R(-1,0)，可设 AB:y=k(x+1)，它与椭圆 C 的方程联立得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-8=0， 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则? ?+ ?= ? ?, ?= ? ? 因为直线 PQ 平分，所以 kAP+kBP=0， 即?(?)? ? +?(?)? ? =0， 整理得 2kx1x2
18、-(k-1)(x1+x2)-4(k+1)=0， 将代入上式并化简得? ? ? =0,所以 = ? ?，所以? ?+ ?= 1, ?= ? ? ， 所以|? ? |= ? ? | ? ? |= ? ?(x? + x?)? 4x?x?= ? ? ， 所以四边形 PAQB 的面积 S=? ?PQ|? ? |= ? ?4 ? ? =15. 21.解：解： （1）由条件得 f(m+1, 1)-f(m, 1)=2(m+1)，所以， f(2, 1)-f(1, 1)=22， f(3, 1)-f(2, 1)=23， f(m, 1)-f(m-1, 1)=2m， 将上述 m-1 个等式相加，得 f(m, 1)-f(
19、1, 1)=2 2 mm， 因为 f(1, 1）=1，所以 f(m, 1)=m2+m-1. （2）由条件得 f(m, n)-f(m, n-1)=2(m+n-2)， 3 f(m, n-1)-f(m, n-2)=2(m+n-3)， f(m, n-2)-f(m, n-3)=2(m+n-4)， f(m, 2)-f(m, 1)=2m， 将上述 n-1 个等式相加，得 f(m, n)-f(m, 1)=2(?)(?) ? =( 1)(2 + 2), 因为 f(m, 1)=m2+m-1,所以 f(m, n)=( 1)(2 + 2)+m2+m-1=m2+2mn+n2-m-3n+1， 所以 f(n, n)=n2+
20、2n2+n2-n-3n+1=(2n-1)2， 所以 g(n)= ?(? ，?) ? =? ?，所以 g(n) ? ?. 证明如下： g(n)? ? ? ? ? ? ?(?) ? 1， 易知，n=1 时，?(?) ? =? ?1；n=2 时， ?(?) ? = ? ?1； n 3时，设 h(x)=?(?) ? (x 3),则,() = ? ? ， 因为-2x2+5x-1=-2(x-? ?) 2+? ? ，所以当 x 3时，函数 y=-2x2+5x-1 单调递减， 所以-2x2+5x-1 2 32+53-10，因此,()0， 所以 h(x)=?(?) ? (x 3)是单调递减函数，h(x)h(3)
21、=? ?1，从而，n 3时， ?(?) ? 1. 综上所述，?(?) ? 1（ N）正确，所以 g(n)0，所以 2x=2m0，而直线 AM 垂直于 x 轴，抛物线在 A 处的切线不可能与 AM 垂直； （ii）当 x 时，直线 AM 的斜率为? ? ?，抛物线在 A 处的切线恰好与 A,M 两点的连线互相垂直的充要 条件为? ? ?2x=-1，即 2x 3-(2n-1)x-m=0 (*), 设 g(x)=2x3-(2n-1)x-m，则,() =6x2-(2n-1)， 4 当 n ? ?时， ,()0 恒成立，所以 g(x)在 R 上单调递增，方程(*)仅有一解，不合； 当 n? ?时，由 ,()0 得 x? ? 或 x0，n? ?，所以 g(x)极小值0，且 g(m) 0，即 ?(?) ? ? ? m0，且 g(m)=2m3-(2n-1)m-m 0.即 2(2n-1)327m2，且 nm2. 综上所述，当且仅当 m,n 满足? ? ?, ? 2(2 1)? 27? 时，点 M 的“f 伴点”有三个.
