1、（新（新高考高考）20212021 届届高三第高三第三三次模拟检测卷次模拟检测卷 数数 学（学（二二） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题
2、每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1若集合A，B，U满足：ABU苘，则U （） A U ABU B U BAUC U ABD U BA 2已知复数 z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点)，OZ 与实轴正向的夹角为 120，且复数 z 的模为 2，则复数 z 为（） A1 3i B2C( 1, 3) D13i 32a 是 2 3a a 的（） A充要条件B必要不充分条件 C充分不必要条件D既不充分也不必要条件 4已知函数 ln2, 0 3 ,0 x ex fx fxx ，则2021f（
3、） A 2 e B2eC 2 2 e D 2 2e 5已知向量a与b，3a，2b，19ab，则已知向量a与b的夹角为（） A 6 B 3 C 5 3 D 2 3 6若 236 6 01236 1111xaaxaxaxaxL，则 3 a （） A20B20C15D15 7已知实数 , x y满足约束条件 10 10 1 xy xy x ，则2zxy的取值范围为（） A1,0B1,2C0,2D2,1 8如图，已知圆锥的底面半径为 2，母线长为 4，AB为圆锥底面圆的直径，C是 AB的中点， D是母线SA的中点，则异面直线SC与BD所成角的余弦值为（） A 3 4 B 10 20 C 3 3 D 3
4、 2 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9设等差数列 n a的前 n 项和是 n S，已知 14 0S， 15 0S，则下列选项正确的有（） A 1 0a ，0d B 78 0aa C 6 S与 7 S均为 n S的最大值D 8 0a 10已知函数 sin0f xx在 , 2 上是单调函数，且 0ff 2 f 则的可能取值为（）
5、 A 2 3 B2C 1 3 D1 11已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F、 2 F，长轴长为 4，点 2,1P在 椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（） A离心率的取值范围为 1 0, 2 B当离心率为 2 4 时， 1 QFQP的最大值为 6 2 2 a C存在点Q使得 12 0QF QF D 12 11 QFQF 的最小值为 1 12已知函数 ln x fx x ，若 12 xx时，有 12 f xf xm，是圆周率，2.71828e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（） A f x的图象与x轴有两个交点 B 1 m e C若 12 0
6、4xx，则 1 2xe D若 3 ae ，3eb ， ce ， ed ， 3s ， 3 t ，则s最大 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是_ 月接待游客量逐月增加； 年接待游客量逐年增加； 各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月； 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 14为
7、迎接 2022 年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，二等品， 三等品从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或 三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为_ 15若,M N分别为圆 22 1 654: xCy与圆 2 2 2 211: xCy上的动点，P为 直线50 xy上的动点，则|PMPN的最小值为_ 16已知ABC，120BAC， 2 3BC ，AD为BAC的角平分线， 则（i）ABC面积的取值范围为_ （ii） 4ABAC AD 的最小值为_ 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7
8、070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为, ,a b c， sincos 2 BC bc （1）求 sin2cos 2sincos CC CC 的值； （2）若 2 5c ，ABC的面积为5，求ABC的周长 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 22 123 (1) 23 4 n n n SSSnS （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 2 n n n a b ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，
9、B的点，平面PAC 平面ABC，PAC 中，PAPC2AC，4BC ，E，F分别是PC，PB的中点 （1）求证：BC 平面PAC； （2）记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点求直线PQ与平面AEF所 成的角的取值范围 20 （12 分）下棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休 息现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参 赛现某班有12位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，(规则采用“中国数目法”， 没有和棋)即每人进行11轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛积分规则如下(每轮比 赛采
10、取5局3胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3:0,3:1,3:2三种赛式) 3:0或3:13:2 胜者积分3分2分 负者积分0分1分 9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分第10轮甲和丙 比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为 2 3 ，丙获胜的概率为 1 3 ，各局比赛结果相互独立 （1）在第10轮比赛中，甲所得积分为X，求X的分布列； 求第10轮结束后，甲的累计积分Y的期望； （2）已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛(“提前一轮”即比 赛进行10轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)?若能，求出相应的
11、概率；若不能，请说明理由 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Gab ab 的离心率为 2 2 ，且过点(2, 2) （1）求椭圆 G 的方程； （2）过点(0,1)M斜率为(0)k k 的直线 l 交椭圆 G 于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在点 N 使得 ANMBNM （点 N 与点 M 不重合） ，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知函数 ln1 x f xxxeax （1）若函数 x F xf xxe，判断 F x的单调性（用实数a表示） ； （2）若 0f x 恒成立，求实数a的取值范围 （新高考）2021 届高三第三次模
12、拟检测卷 数数 学（学（二二）答答 案案 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 【答案】B 【解析】由集合A，B，U满足：A BU苘 ， UU BA痧 ，如图所示： U AAUU ， U BAUU， U BBUU ，故选 B 2 【答案】D 【解析】设复数 z 对应的点为, x y， 则 1 |cos1202 ()1 2 xz ， 3 |sin12023 2 yz ， 复数 z 对应的点为( 1, 3)， 13
13、iz ，故选 D 3 【答案】C 【解析】由不等式 2 3a a ，即 2 232(1)(2) 30 aaaa a aaa ， 解得01a或2a ， 即不等式的解集为 |01aa或2a ， 所以2a 是 2 3a a 的充分不必要条件，故选 C 4 【答案】A 【解析】当0 x 时，因为 3f xf x，所以 3f xf x， 所以 f x是周期为3的函数，所以 20213 67322fff， 又因为 ln2 1 ln2 2 21 e ffe ee ，所以 2 2021f e ，故选 A 5 【答案】B 【解析】设向量a与b的夹角为，3a，2b， 因为 2 2 19ab，所以92 3 2cos
14、419 ， 1 cos 2 ， 0,， 3 6 【答案】B 【解析】因为 6 6 11xx ，所以展开式的通项为 6 16 C11 rr r r Tx ， 令63r，则3r ，所以 3 3 36 C120a ，故选 B 7 【答案】B 【解析】如图画出可行域，由2zxy， 则2yxz，当直线2yxz过点C时，z取最大值； 当直线2yxz过点B时，z取最小值， 由题可得0,1B，1,0C，所以 max 2z， min 1z ，故选 B 8 【答案】A 【解析】延长AB至点E，使ABBE，连接SE，CE，OC 因为D是母线SA的中点，所以/SE BD， 所以CSE为异面直线SC与BD所成的角（或补
15、角） 由题意知6OE ，2OC ， 又C是 AB的中点，所以CO OB， 所以在COERt中， 22 2 10CEOCOE 因为4SASBAB，所以 3 2 3 2 BDSB ，所以 24 3SEBD 在SCE中，4SC ， 则由余弦定理得 222 1648403 cos 242 4 4 3 SCSECE CSE SC SE ，故选 A 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2
16、 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】ABD 【解析】因为 14 0S， 15 0S， 所以 114 1411478 14 () 7()7()0 2 aa Saaaa ，即 78 0aa， 因为 115 158 15 () 150 2 aa Sa ，所以 8 0a ，所以 7 0a ， 所以等差数列 n a的前 7 项为正数，从第 8 项开始为负数， 则 1 0a ，0d ， 7 S为 n S的最大值 故选 ABD 10 【答案】AB 【解析】对于 A， 2 3 ，若 0 2 fff ， 2313 sinsinsinsincossintan 3322 3 ， 可取 6 ， 则
17、 2 ( )sin() 36 f xx，在 , 2 上单减，故 A 正确； 对于 B，2，若 (0)()() 2 fff ， sinsin 2sinsinsinsin ， 此时可以取 2 ，使得函数在 , 2 单减，故 B 正确； 对于 C， 1 3 ，若 (0)()() 2 fff ， 即 sinsin()sin()cos() 363 ， 31 sincossintan3sincos 23 2 ，故 C 错误； 对于 D，1，若 (0)()() 2 fff ， sinsin()sin()cos 2 ， sinsinsin0cos ，故 D 错误， 故选 AB 11 【答案】BD 【解析】由题
18、意可得24a ，所以2a ， 由点2,1P在椭圆内部可得 2 21 1 4b ， 可得 2 24b ，即 2 244c ，所以0 2c 对 A， c e a ，所以 2 0 2 e ，故 A 错误； 对 B，当 2 4 e 时， 2 2 c ， 2 2 (,0) 2 F ， 122 6 224 2 QFQPaQFQPaPF ，故 B 正确； 对 C，由 A 知 2 0 2 e ，当 2 2 e 时，当Q在短轴端点时， 12 FQF最大， 此时 22 12 2 24 cos1 10 2 ac FQF a ，此时 12 90FQF， 由 2 0 2 e ，故可得 12 FQF在椭圆在最扁时的最大值
19、都小于90， 所以不存在点Q使得 12 0QF QF ，即 C 错误； 对 D， 12 212 121212 11444 1 4 () 2 QFQF QFQFQFQFQFQFQFQF ，故 D 正确， 故选 BD 12 【答案】BCD 【解析】 f x的定义域为0,，且 2 1 ln x fx x ， 当 0fx ，即0 xe时， f x单调递增；当 0fx ，即xe时， f x单调递减， 所以 f x的单调递增区间为0,e，单调递减区间为, e ， 由于1x 时， 0f x ，且当xe时， 0f x ，故 f x只有一个零点，所以 A 选项不正确； 由于 f x的单调性，可得 max 1 f
20、 xf e e ， 1 0m e ，所以 B 选项正确； 由 f x的单调区间，可画出函数 f x的简图 由 12 04xx， 12 f xf xm，可知 1 0 xe， 2 4ex 因为 f x在, e 上单调递减，可知 2 ln4ln2 42 42 fxff， 故有 1 2f xf 因为 f x在0,e上单调递增，所以 1 2x 综上，有 1 2xe，所以 C 选项正确； 因为3e ，由指数函数单调性可知， 3 ee ， 33e ， 3 e ； 由幂函数单调性可知 3 ee ， 33 e ， 3e ，即有 3 3 ee ， 3 3ee ， 故这 6 个数的最大数在 3与 3 之中，最小数在
21、 3 e与3e之中 由3e 及 f x的单调性，有 3fff e，即 lnln3l n 3 e e 由 n 3 lln3 ，可得3ln ln3，即 3 lnln3 ，所以 3 3 ； 同理可得 3 3ee 综上可得，6 个数中最大数是 3，最小数是3e，所以 D 选项正确， 故选 BCD 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】 【解析】由题图可知，2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少，所以错误； 根据接待游客的折线图，可得年接待游客量逐年增加，所以正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在 7、8 月，所以正
22、确； 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，所以正确， 故答案为 14 【答案】0.78 【解析】设抽到一等品二等品三等品的事件分别为A，B，C， 则 ( )( )0.93 ( )( )0.85 ( )( )( )1 P AP B P AP C P AP BP C ，解得 ( )0.07 ( )0.15 ( )0.78 P C P B P A ， 则抽到一等品的概率为0.78，故答案为0.78 15 【答案】9 【解析】由题意点 1 6,5C 半径为 2， 2 2,1C半径为 1， 设点 1 C关于直线50 xy的对称点为 030 ,Cxy，
23、 如图： 则 0 0 00 5 11 6 65 50 22 y x xy ，解得 0 0 10 1 x y ，即 3 10,1C，连接 23 C C， 求|PMPN的最小值可以转化为P点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值， 再由点 1 C、 3 C关于直线50 xy的对称， 所以 3223 33PCPCC C ， 又 22 23 31021 131239C C ，故答案为 9 16 【答案】0, 3 ，9 【解析】 （i）在ABC中，由余弦定理可得 222 2cosBCABACABACBAC， 即 22 122ABACABACABACABAC，解得4ABAC， 当且仅当ABAC时等
24、号成立 所以 113 cos43 222 ABC SABACBAC ， 所以ABC面积的取值范围为0, 3 （ii）AD为BAC的角平分线，120BAC， 所以60BADCAD ，180ADBADC ， 所以 111 sinsinsin 222 ABC SbcAcADBADbADCAD ， 即 33 44 bcAD bc ，所以 bc AD bc ， 所以 22 444454 5 bccbABACcbbbccbc A bc b Dbcbccb c 5229 4 52 bc cb ， 当且仅当 4bc cb ，即2cb时等号成立 所以 4ABAC AD 的最小值为 9， 故答案为0, 3 ，9
25、四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1） 4 3 ； （2）5 3 5 【解析】 （1）由正弦定理 sinsin bc BC ，及 sincos 2 BC bc ， 得 sincos 2sinsin BC BC ，即tan2C ， sin2costan24 2sincos2tan13 CCC CCC （2）由（1）知 sin 2 cos C C ，故 (0,) 2 C， 又因为 22 sincos1CC ，解得 2 5 sin 5 C ， 5 co
26、s 5 C 由 112 5 sin5 225 ABC SabCab ，得 5 5ab ， 由余弦定理 222 2coscababC 及 2 5c ，得 22 30ab ， 222 ()230 10 5ababab，55ab， ABC的周长为 53 5abc 18 【答案】 （1）21 n an； （2） 21 1 2 n n n T 【解析】 （1）当1n 时，得到数列 n a的首项为 1， 当2n 时，根据 22 123 (1) 23 4 n n n SSSnS 得到 22 1231 (1) 23(1) 4 n n n SSSnS ， 上述两式相减得到 2 n Sn， 则 22 1 (1)2
27、1 nnn aSSnnn ，经验证，当1n 时也成立， 所以21 n an （2）由（1）得 23 2 n n n b ， 所以 2341 11352523 222222 n nn nn T 23451 111352523 2222222 n nn nn T ，可得 23451 112222223 22222222 n nn n T 234511 111111233121 2() 2222222222 nnn nn ， 所以 21 1 2 n n n T 19 【答案】 （1）证明见解析； （2） 0, 6 【解析】 （1）证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点， 所以BCAC， 因
28、为平面PAC 平面ABCAC，平面PAC 平面ABC，BC 平面ABC， 所以BC 平面PAC （2）由已知，/BC EF，又EF 平面EFA，BC 平面EFA，/BC平面EFA， 又BC 平面ABC，平面EFA平面ABCl，/BC l， 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则2,0,0A，0,4,0B， 1,0,3P ， 13 ,0, 22 E ， 13 ,2, 22 F ， 33 ,0, 22 AE ，0,2,0 EF， /BC l，可设2, ,0Qy，平面AEF的一个法向量为, ,x y zm， 则 33 0 2
29、2 20 xz AE EFy m m ，取 3z ，得1,0, 3m， 又1, ,3PQy ，则 2 11 cos,0, 2 4 PQ y m ， 直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为 0, 6 20 【答案】 （1）分布列见解析； 2290 81 ； （2） 16 27 【解析】 （1）由题意，随机变量X的可能取值为3,2,1,0， 则 32 2 3 222216 3C1 333327 P X ， 22 2 4 22216 2C1 33381 P X ， 23 2 4 228 1C1 3381 P X ， 33 1 3 2221 01C1 3339 P X ， 所以X的分布列为 X3210
30、 P 16 27 16 81 8 81 1 9 随机变量Y的可能取值为29,28,27,26， 则 1616812290 29282726 278181981 E Y （2）若3X ，则甲10轮后的总积分为29分，乙即便第10轮和第11轮都得3分， 则11轮过后的总积分是28分，2928， 所以甲如果第10轮积3分，则可提前一轮结束比赛，其概率为 16 3 27 P X 21 【答案】 （1） 22 1 84 xy ； （2） 0,4N，证明见解析 【解析】 （1）由条件可知 22 222 2 2 42 1 c a ab abc ，解得 2 8a ， 22 4bc ， 所以椭圆G的方程是 22
31、 1 84 xy （2）设直线:1,0l ykxk， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 0 0,Ny， 联立 22 1 1 84 ykx xy ，得 22 12460kxkx， 12 2 4 12 kx xx k ， 12 2 6 12 x x k ， ANMBNM ，0 ANBN kk， 即 2112012 102021201210 121212 11 0 xkxx kxyxxyyyyx yx yx yx y xxx xx x ， 即 12012 210kx xyxx， 0 22 4112 0 1212 kyk kk ，得 0 4y ， 即存在定点0,4N 22 【答案】 （1）答
32、案不唯一，具体见解析； （2）,1 【解析】 （1）由题得 ln1F xxax，则 1 Fxa x 0 x 当0a 时， 0Fx ，此时 F x是增函数； 当0a 时，由 0Fx ，得 1 0 x a ， 所以当 1 0 x a 时， 0Fx ，此时 F x单调递增； 当 1 x a 时， 0Fx，此时 F x单调递减， 综上，当0a 时， F x在0,上单调递增； 当0a 时， F x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减 （2）若 0f x 恒成立，即ln 10 x xxeax 在0,上恒成立， 则 ln1 x x ae xx 在0,上恒成立 令 ln1 x x g xe
33、 xx ，则 2 22 lnln x x xx ex gxe xx 令 2 ln x h xx ex，则 2 1 20 xx h xxex e x ， 所以 h x在0,上是增函数 而 10he， 1 2 1 10 e e h ee ， 所以存在 0 1 ,1x e ，使得 0 0h x，即 0 2 00 ln0 x x ex， 所以 00 1 ln 00 0000 1111 lnlnln xx x exe xxxx 令 x xxe，则 10 x xxe在0,上恒成立， 所以 x在0,上是增函数，所以 0 0 1 lnx x 当 0 0,xx时， 0h x ，则 0gx，所以 g x在 0 0,x上单调递减； 当 0, xx时， 0h x ，则 0gx，故 g x在 0, x 上单调递增， 所以 00 1 ln 00 0 min 0000 ln11 1 xx xx g xg xee xxxx ，所以1a ， 即实数a的取值范围是,1
