1、2021 年高考文科数学考前押题最后一卷全国卷版年高考文科数学考前押题最后一卷全国卷版 答案以及解析答案以及解析 一一、选择题选择题 1.答案：C 解析： 2 |230 | 31 |1Ax xxxxBx x ，所以( 1 1)AB ，.故选 C. 2.答案：C 解析：令 i( ,)zab a bR，则 izab ，由 4i 2i z z 得4iz (2i)z， 即 i4i(i)(2i)2(2 )iabababab ，则 2 42 aab bab ，解得 1 1 a b ， 所以1i |2zz ，.故选 C. 3.答案：B 解析： 1 sin 63 x ， 5 sin 2sin 2 632 xx
2、 2 7 cos212sin 669 xx .故选 B. 4.答案：C 解析：记 4 根“普通品”分别为 1234 ,A A A A，2 根“优质品”分别为 12 ,B B，则从 6 根中随 机挑选2根的所有情况有 12 ,A A ， 13141112232421 ,A AA AA BA BA AA AA B 223431324142 ,A BA AA BA BA BA B ， 12 ,B B ，共 15 种.其中既有“普通品” 又有 “优质品” 的情况有 1, A 1122122313241 ,BA BA BA BA BA BA B， 42 ,A B ， 共 8 种，故所求概率为 8 15
3、，故选 C. 5.答案：B 解析： 2 ee(1)2 ( ) e e x x x x xx fx ，(0)2 f ，又(0)1f ， 函数( )f x的图象在点(0(0)f，处的切线方程为21yx，即210 xy . 圆 22 420 xyx的标准方程为 22 (2)2xy， 圆心(2,0)到切线的距离 220 1 3 2 55 d ， 2 2 5 | 22 5 ABd.故选 B. 6.答案：C 解析：根据题意可知该程序运行情况如下： 第 1 次 1 :022,1 12;Si 第 2 次 2 :226,213;Si 第 3 次 3 :6214,314;Si 第 4 次 4 :14230,415
4、Si ； 第 5 次 5 :30262,516;Si 第 6 次 6 :622126,617Si ； 第 7 次 7 :1262254,718Si . 因为输出结果是 254，所以结束循环时8i ，所以判断框中可以是“7?i ”.故选 C. 7.答案：B 解析：由题意知 221 ( )1coscos 2121 x xx f xxx ，( )f x的定义域为0 x x ，因为 2121 ()cos()cos( ) 2112 xx xx fxxxf x ，所以( )f x为奇函数，所以其图象关于原点对 称，排除 A，D.当0 2 x时，( )0f x ，排除 C.故选 B. 8.答案：C 解析：由
5、函数 2 yx和 8 y x 的图象都过点 A，点 22 (2,4),1A mn ，即2()mnmn， 又0,0,2() 4mnmnmnmn，当且仅当4mn时，等号成立，16mn， 2222 loglogloglog 164mnmn. 9.答案：B 解析：由题意可知，函数 11 ( )cos()cos 23223 g xxx .因为( )()0g xgx， 所以函数( )g x为奇函数，则 5 (),2 () 2323 kkkk ZZ.又 0, 2 ，令 1k ，则 3 ，所以函数 1 ( )cossin 222 x g xx ， 2 562 36 2sinsinsinsincoscossin
6、 62124646464 g ，故选 B. 10.答案：C 解析： 如图， 分别取,AB SB SC的中点, ,D E F， 连接CD，,DE DF EF， 则/,/DE SA EF BC， 则DEF为异面直线AS与BC所成的角或其补角.AB 平面,SBCABSC，又 ,SCAC ABACA，SC平面ABC， 所以SCCD.设1ABBC， 则2ACSC， 2SA ，所以 1 1, 222 SABC DEEF， 22222 7 2 DFFCCDFCBCBD，所 以 222 1 cos 22 DEEFDF DEF DE EF ，所以 2 3 DEF，所以异面直线AS与BC所成角 的大小为 3 .故
7、选 C. 11.答案：C 解析：由点(3, 2)A是双曲线上一点和双曲线的离心率为 2 3 3 ，得 22 2 2 2 92 1, 1 1, 3 ab b e a 解得 22 3,1ab， 所以 2 4,2cc， 得 22 2 (32)( 20)3AF ， 直线 2 AF的斜率为2， 因为 12 BFAF，所以直线 1 BF的斜率为2，设 1 BF的倾斜角为 ，则易得 3 cos 3 .连 接 2 BF，在 12 BFF中，由余弦定理得 22 2 211 422cosBFBFcBFc， 又 2 2 21 2BFBFa，所以 1 13 532cos BF ，于是 2 1 5 AF BF ，故选
8、C. 12.答案：B 解析： 令 2 ( )1h xxx，则 2 22 1 ( )10 11 xxx h x xx 在 R 上恒成立，所以( ) h x 在 R 上为增函数，又( )0h x ，所以函数ln ( )yh x是 R 上的增函数，又exy ，e x y 都是 R 上的增函数，所以函数 2 ( )ln1ee xx f xxx 是 R 上的增函数.因为 (1)(ln )f axfx在(0,)上恒成立，所以1lnaxx在(0,)上恒成立，即 ln1x a x 在 (0,)上恒成立.令 ln1 ( ) x g x x ， 则 2 2ln ( ) x g x x ， 令( )0g x ， 得
9、 2 0ex， 令( )0g x ， 得 2 ex ，所以( )g x在 2 0,e上单调递增，在 2 e ,上单调递减，所以 2 2 1 ( )e e g xg， 故 2 1 e a ，故选 B. 二二、填空题填空题 13.答案： 3 2 解析：因为 (1,2),( ,3)mab ，所以 2(12 ,8)mab ，因为( 2 )/abb，所以836mm ， 则 3 2 m . 14.答案：1 解析：设 2zxy ，如图，作出可行域（如图中阴影部分所示）和直线 0:2 0lxy，平移 0 l，使其经过点 A，易知此时 z 有最大值.联立 10, 10, y xy 得 (0, 1)A .当 0,
10、1xy 时， max (2)1xy. 15.答案： 3 解析：由已知条件和余弦定理可得 3 cos 2 SbcA，又 1 sin 2 SbcA，则tan3.A 又(0,)A，所以 3 A .由coscoscaCcA，结合正弦定理得 sinsincossincossin()sinCACCAACB，所以BC或BC(舍)，所以ABCV 为等边三角形，故 3 B . 16.答案： 9 3 (113) 4 解析：设球 O 的半径为 R，所以 3 432 33 R ，解得2R .设正三棱锥SABC的高为 SO ， 则3SO ， 所 以 在RtOO C中 ， 22 4 13O COCOO ， 所 以 3 2
11、33,932 3 2 BCSC，所以该三棱锥的表面积 9 31399 39 399 3 333(113) 422444 SBCSABCABC SSS 三棱锥 . 三三、解答题解答题 17.答案： （1）证明：由 2* 1111 2(2,) nnnnnn aaaaaann N， 得 2* 1111 2112, nnnnnn aaaaaann N， 即 2 * 11 1112, nnn aaann N，2 分 12 1,3aa Q， 2 12 1 1 12,14,2 1 a aa a ，4 分 数列1 n a 是首项为-2，公比为 2 的等比数列. 5 分 （2）由（1）知 1 12 22 ,12
12、 nnn nn aa ，7 分 22 2log112log 2121 n nn ban ， ( 1)( 1) (21) nn n bn ，10 分 2 3579(41)(41)2 n Tnnn L.12 分 18.答案： （1）证明：因为三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱， 所以 1 BB 平面 ABC. 因为AB 平面 ABC， 所以 1 BBAB.2 分 因为 1 ,ABBC BCBBB， 所以AB 平面 11 BCC B.4 分 又因为AB 平面 1 ABC， 所以平面 1 ABC 平面 11 BCC B.6 分 （2）由（1）知，AB 平面 11 BCC B， 所以 AB 是三棱锥
13、 1 ACDC的底面 1 CDC上的高. 7 分 因为 1 24AABCAB， 所以 11 4,2CCAAAB.8 分 因为 D 是 1 BC的中点， 所以 1 1 11 444 44 CDC SBC CC .10 分 因为三棱锥 1 CADC的体积等于三棱锥 1 ACDC的体积， 所以三棱锥 1 CADC的体积 1 118 42 333 CDC VSAB .12 分 19.答案： （1）由题意可知， 10 2 1 20.2512.256.252.250.25 i i xx 0.252.256.2512.2520.2582.5. 又 10 2 1 323728 i i yy ， 1010 22
14、 11 82.5 323728 ii ii xxyy 26707560，4 分 相关系数 10 1 1010 22 11 ii i ii ii xxyy r xxyy 51405140 0.99. 5167.9426707560 可以用线性回归模型来拟合 y 与 x 的关系. 6 分 （2）由（1）可知 10 2 1 82.5 i i xx ， 10 1 10 2 1 5140 62.30 82.5 ii i i i xxyy b xx ， 68362.30 5.5340.35,aybx9 分 y 关于 x 的回归方程为 62.30340.35.yx 10 分 由题意可知，2021 年对应的年
15、份代码12x ， 当12x 时，1087.95y ， 预测 2021 年该地区的国内生产总值约为 1087.95 亿元. 12 分 20.答案： （1）由题意可知， 22 22 2 1 y ab ， 22 2 4 1yb a ， 即点 P 的纵坐标 2 2 4 1 P yb a .2 分 设 12 2FFc，所以 1 2 1 26 2 P PF F Scy ， 即 2 2 6 P cy， 则 22 2 4 16cb a . 又2 2 2b ，则 2b . 又 222 abc， 联立解得 2 2a 或1a (舍)，4 分 所以椭圆 C 的标准方程为 22 1 82 xy .5 分 （2）证明：由
16、（1）可知 (2, 1)P . 因为直线 PM 与直线 PN 关于直线:2l x 对称， 所以0 PMPN kk，6 分 设直线 PM 的斜率为 k，则直线 PN 的斜率为k， 故可得直线 PM 的方程为 1(2)yk x ， 即 (2)1yk x， 直线 PN 的方程为 1(2)yk x ， 即 (2)1yk x ，7 分 设 1122 ,M x yQ xy ， 联立 22 1, 82 (2)1, xy yk x 消去 y 整理得 2222 41168161640,kxkk xkk8 分 所以 2 1 2 16164 2 41 kk x k ，解得 2 1 2 882 41 kk x k ，
17、 同理 2 2 2 882 41 kk x k ，10 分 所以 12 12 MQ yy k xx 12 12 2121k xk x xx 12 12 4k xxk xx 2 2 2 164 4 81 41 16 162 41 k kk k k k k k ， 所以 MQ 的斜率为定值 1 2 .12 分 21.答案： （1）当0m 时， ( )ln ( ) f xx y g xx ， 22 1 ln 1l n xx x x y xx .1 分 当ex 时，0 y ；当0ex时，0 y . 函数 ln x y x 在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减. 3 分 max e 1 e x
18、yy .4 分 （2）由题知 12 ,x x是函数( )lnh xxxm的两个零点， 11 ( )1 x h x xx ， 当1x 时，)(0h x ，当01x时，)(0h x ， 函数( )h x在0,1上单调递增，在(1,)上单调递减， 故函数( )h x要有两个零点，必有(1)10hm ，即1m .6 分 要证 12 ln e0mxxm，只需证 21 ee m xxm ， 只需证 12 e1e m xxm .7 分 由于1m ，则e(0,1),ee0 mmm hmm ， 又(1)10hm ， 函数( )h x在e,1 m 上存在唯一零点 1 x，即 1 e1 m x .9 分 由（1）知
19、， ln1 e x x ，即ln e x x（当ex 时，等号成立）. e (e )ln(e )ee(2e)0 e m hmmmmmmm， 函数( )h x在(1,e )m上存在唯一零点 2 x，即 2 1exm.11 分 由可知成立，故 12 ln e0mxxm.12 分 22.答案： （1）因为直线 6 ， 3 分别与直线 l 交于点 A，B， 所以 48 3 3 sin 66 OA ， 4 4 sin 36 OB ， 又 36 6 AOB，3 分 所以OAB的面积 18 38 3 4sin 6 233 S .5 分 （2）直线 l 的极坐标方程为 sin4 6 ，即3 sincos8，
20、由cosx，siny，得直线 l 的直角坐标方程为380 xy.6 分 PQ的最小值即点 P 到直线 l 距离的最小值，7 分 设( 3cos ,sin)P， 则点 P 到直线 l 的距离 6sin8 3cos3sin8 48 22 6 2 d ， 当且仅当sin1 4 时取等号，9 分 所以PQ的最小值为 86 2 .10 分 23.答案： （1） 5,2, ( )2|2|1|33, 21, 5,1, xx f xxxxx xx 则由( ) 2f x ，得 2, 5 2 x x 或 21, 33 2 x x 或 1, 5 2, x x 得72x 或 1 2 3 x ， 则 1 7 3 x ， 所以不等式( ) 2f x 的解集为 1 7, 3 .5 分 （2）由（1）知 min ( )( 2)3f xf ，6 分 因为存在xR，使得 2 ( )25f xaa，所以 2 min 25( )3aaf x ，8 分 所以(23)(1)0aa，解得 3 2 a 或1a . 所以实数 a 的取值范围为 3 (,1), 2 .10 分
