1、2.6双曲线及其方程 2.61双曲线的标准方程 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握双曲线的定义，会用双曲线的定 义解决实际问题(重点) 2 掌握用定义法和待定系数法求双曲线 的标准方程(重点) 3理解双曲线标准方程的推导过程，并 能运用标准方程解决相关问题(难点) 1 通过对双曲线的定义、 标准方程 的学习，培养数学抽象素养 2 借助于双曲线标准方程的推导过 程， 提升逻辑推理、 数学运算素养 前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率 e 有关，在现实生 活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中 很常见如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面
2、图的形状就是 本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成 这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的 内容 知识点 1双曲线的定义 一般地，如果 F1，F2是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且 2a|F1F2|， 则平面上满足|PF1|PF2|2a 的动点 P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点 F1， F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通 过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线 1双曲线的定义中，若 2a|F1F2|，则点 P 的轨迹是什么？2a|F1F2| 呢？ 提示若2
3、a|F1F2|， 点P的轨迹是以F1， F2为端点的两条射线； 若2a|F1F2|， 点 P 的轨迹不存在 2定义中若常数为 0，则点 P 的轨迹是什么？ 提示此时点 P 的轨迹为线段 F1F2的垂直平分线 1(1)已知定点 F1(2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹中为双曲线的是() A|PF1|PF2|3B|PF1|PF2|4 C|PF1|PF2|5D|PF1|2|PF2|24 (2)动点 P 到点 M(1，0)及点 N(5，0)的距离之差为 2a，则当 a1 和 a2 时， 点 P 的轨迹分别是() A双曲线和一条直线 B双曲线和一条射线 C双曲线的一支和一条
4、射线 D双曲线的一支和一条直线 (1)A(2)C(1)当|PF1|PF2|3 时，|PF1|PF2|3|F1F2|4，满足双 曲线的定义，所以 P 点的轨迹是双曲线 (2)由题意，知|MN|4，当 a1 时，|PM|PN|2a24，此时点 P 的轨迹 是双曲线的一支；当 a2 时，|PM|PN|2a4|MN|，点 P 的轨迹为以 N 为端 点沿 x 轴向右的一条射线 知识点 2双曲线的标准方程 焦点所在 的坐标轴 x 轴y 轴 标准方程 x2 a2 y 2 b2 1 (a0，b0) y2 a2 x 2 b2 1 (a0，b0) 图形 焦点坐标(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c) a，b
5、，c 的关系式c2a2b2 3双曲线中 a，b，c 的关系如何？与椭圆中 a，b，c 的关系有何不同？ 提示双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里 b2c2a2，即 c2a2b2，其中 ca，cb，a 与 b 的 大小关系不确定；而在椭圆中 b2a2c2，即 a2b2c2，其中 ab0，ac，c 与 b 的大小关系不确定 4如何确定双曲线标准方程的类型？ 提示焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程 的类型，若 x2的系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2的系数为正，则焦点在 y 轴上 2(1)双曲线x 2 15 y
6、21 的焦距为() A4B8C 14D2 14 (2)点 P 到两定点 F1(2，0)，F2(2，0)的距离之差的绝对值为 2，则点 P 的轨 迹方程为_ (1)B(2)x2y 2 3 1(1)a215，b21，c2a2b216，c4，2c8 (2)因为|F1F2|42c，所以 c2 又 2a2，a1，故 b2c2a23，所以点 P 的轨迹方程为 x2y 2 3 1 类型 1双曲线定义的应用 【例 1】已知 F1，F2分别是双曲线x 2 9 y 2 16 1 的左、右焦点，若 P 是双曲 线左支上的点，且|PF1|PF2|32试求F1PF2的面积 解由x 2 9 y 2 16 1 得 a3，b
7、4，c5 由双曲线定义及 P 是双曲线左支上的点得 |PF1|PF2|6， |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， 又|PF1|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100， 由余弦定理得 cosF1PF2|PF1| 2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 0， F1PF290， S F1PF2 1 2 |PF1|PF2|16 1(变换条件)若本例中的标准方程不变，点 P 是双曲线上的一点，且PF1 PF2 0，求PF1F2的面积 解因为PF1 PF2 0，所以PF1 PF2 ，不妨设点 P 在右支上， 所以有 |PF1 |2|PF2 |24c2100， |PF1 |P
8、F2 |2a6， 解得|PF1 |PF2 |32， 所以 S PF1F2 1 2 |PF1 |PF2 |16 2(变换条件)若把本例条件“|PF1|PF2|32”换成“|PF1|PF2|25”， 其他条件不变，试求F1PF2的面积 解由x 2 9 y 2 16 1 得 a3，b4，c5， 由|PF1|PF2|25，可设|PF1|2k，|PF2|5k 由|PF2|PF1|6 可得 k2， |PF1|4，|PF2|10， 由余弦定理得 cosF1PF2|PF1| 2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 16100100 2410 1 5 ， sinF1PF22 6 5 ， S F1PF
9、2 1 2 |PF1|PF2|sinF1PF21 2 4102 6 5 8 6 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 (1)利用公式 S F1PF2 1 2 |PF1|PF2|sinF1PF2求面积 (2)当焦点在x轴上时， 利用公式S F1PF2 1 2 |F1F2|yP|(yP表示点P的纵坐标) 当焦点在 y 轴上时，利用公式 S F1PF2 1 2 |F1F2|xP|(xP表示点 P 的横坐标) 重要结论：若F1PF2，则 S F1PF2 b2sin 1cos b2 tan 2 跟进训练 1如图，已知双曲线的方程为x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)，点 A，B 均在双曲 线的右支上
10、，线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2，|AB|m，F1为双曲线的左焦点， 则ABF1的周长为_ 4a2m由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a， |BF1|BF2|2a 又|AF2|BF2|AB|， 所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m 类型 2求双曲线的标准方程 【例 2】 (对接教材人教 B 版 P139例 1)求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)一个焦点是(0，6)，经过点 A(5，6)； (2)经过点 P1 2，3 5 2和 P2(4 7 3 ，4)两点 解(1)由已知 c6，且焦点在 y 轴上，另一个焦点为(0，6)， 由双曲线定义 2a| 50
11、2662 502662|8， a4，b2c2a220 所以所求双曲线的标准方程为y 2 16 x 2 20 1 (2)法一：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b 0) P1，P2在双曲线上， 22 a2 3 5 2 2 b2 1， 4 7 3 2 a2 4 2 b21， 解得 1 a2 1 16， 1 b2 1 9， (不合题意舍去) 当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为y 2 a2 x 2 b2 1(a0，b0) 将 P1，P2的坐标代入上式得 3 5 2 2 a2 2 2 b2 1， 42 a2 4 7 3 2 b2 1， 解得 1 a2
12、1 9， 1 b2 1 16， 即 a29，b216 所求双曲线方程为y 2 9 x 2 16 1 法二：双曲线的位置不确定， 设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)， 4m45 4 n1， 16 9 7m16n1， 解得 m 1 16， n1 9， 所求双曲线的标准方程为y 2 9 x 2 16 1 1求双曲线标准方程的两个关注点 2待定系数法求双曲线标准方程的 4 个步骤 (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能 (2)设方程：根据焦点位置，设其方程为x 2 a2 y 2 b2 1 或y 2 a2 x 2 b2 1(a0，b 0)，焦点位置不定时，亦可设为 m
13、x2ny21(mn0) (3)寻关系：根据已知条件列出关于 a，b，c(m，n)的方程组 (4)得方程：解方程组，将 a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程 提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式 跟进训练 2根据条件求双曲线的标准方程 (1)a2 5 ，经过点 A(2，5)，焦点在 y 轴上； (2)与椭圆x 2 25 y 2 5 1 共焦点且过点(3 2 ， 2 ) 解(1)双曲线的焦点在 y 轴上， 可设双曲线的标准方程为y 2 a2 x 2 b2 1(a0，b0)， 由题设知，a2 5 ，且点 A(2，5)在双曲线上， a2 5， 25 a2 4 b2
14、1， 解得 a220，b216， 所求双曲线的标准方程为y 2 20 x 2 16 1 (2)椭圆x 2 25 y 2 5 1 的焦点坐标为(2 5 ，0)，(2 5 ，0)依题意，则所求 双曲线焦点在 x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)，则 a2b220 又双曲线过点(3 2 ， 2 )，18 a2 2 b2 1 a2202 10 ，b22 10 所求双曲线的标准方程为 x2 202 10 y2 2 10 1 类型 3与双曲线有关的轨迹问题 【例 3】在周长为 48 的 RtMPN 中，MPN90，tanPMN3 4 ，求以 M，N 为焦点，且过点
15、 P 的双曲线方程 解因为MPN 的周长为 48，且 tanPMN3 4 ，故设|PN|3k，|PM|4k 则|MN|5k， 由 3k4k5k48 得 k4 所以|PN|12， |PM|16， |MN|20 以 MN 所在的直线为 x 轴，以 MN 的中点为原点建立直角坐标系，如图所示 设所求双曲线方程为x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)， 由|PM|PN|4 得 2a4， a2，a24，由|MN|20 得 2c20，c10，所以 b2c2a296 故所求双曲线方程为x 2 4 y 2 96 1 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有 2 种：1列出等量关系， 化简得到方程；2
16、寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.,求解双曲线的 轨迹问题时要特别注意：1双曲线的焦点所在的坐标轴；2检验所求的轨迹对应 的是双曲线的一支还是两支；3求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是 否都在所求曲线上. 跟进训练 3如图所示，已知定圆 F1：(x5)2y21，定圆 F2：(x5)2y242，动圆 M 与定圆 F1，F2都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程 解圆 F1：(x5)2y21，圆心 F1(5，0)，半径 r11； 圆 F2：(x5)2y242，圆心 F2(5，0)，半径 r24 设动圆 M 的半径为 R， 则有|MF1|R1，|MF2|R4， |MF2|MF1|310
17、|F1F2| 点 M 的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线的左支，且 a3 2 ，c5，于是 b2 c2a291 4 动圆圆心 M 的轨迹方程为x 2 9 4 y2 91 4 1 x3 2 1“ab0”是“方程 ax2by2c 表示双曲线”的() A必要不充分条件B充分不必要条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 A当方程表示双曲线时，一定有 ab0，反之，当 ab0 时，若 c0，则方 程不表示双曲线 2若方程 x2 m1 y2 m24 3 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 m 的取值范围 是() A(1，2)B(2，) C(，2)D(2，2) C由题意，方程可化为 y2 m24 x2 1m
18、 3， m240， 1m0， 解得 m2 3 若点 M 在双曲线 x2 16 y 2 4 1 上， 双曲线的焦点为 F1， F2， 且|MF1|3|MF2|， 则|MF2|等于() A2B4C8D12 B双曲线中 a216， a4， 2a8， 由双曲线定义知|MF1|MF2|8， 又|MF1| 3|MF2|， 所以 3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4 4已知双曲线的两个焦点分别为 F1( 5 ，0)，F2( 5 ，0)，P 是双曲线上 的一点且 PF1PF2，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为_ x2 4 y21设|PF1|m， |PF2|n(m0， n0)， 在 RtPF1F2
19、中， m2n2(2c)2 20，mn2，由双曲线的定义知|mn|2m2n22mn164a2，所以 a24， b2c2a21，双曲线的标准方程为x 2 4 y21 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？ 提示不加绝对值，图像只为双曲线的一支设 F1，F2表示双曲线的左、 右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点 M 在右支上，若|MF2|MF1|2a，则点 M 在 左支上 2若点 M 在双曲线上，一定有|MF1|MF2|2a 吗？ 提示一定若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点 M 的轨迹为双曲 线，反之一定成立 3双曲线与椭圆中，a，b，c 满足的关系式相同吗？ 提示不相同在双曲线的标准方程中，ab 不一定成立在椭圆中 a2 b2c2，在双曲线中 c2a2b2
