1、4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 1 of 13 任意四边形、梯形与相似模型任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲例题精讲 板块二梯形模型的应用 梯形中比例关系梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理”)： ? A ? B ? C ? D ? O ? b ? a ? S ? 3 ? S ? 2 ? S ? 1 ? S ? 4 22 13 :SSab 22 1324 :SSSSabab ab； S的对应份数为的对应份数为 2 ab 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关
2、系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结 论，往往在题目中有事半功倍的效果论，往往在题目中有事半功倍的效果(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 【例【例 1】 如图，如图， 2 2S ， 3 4S ，求梯形的面积，求梯形的面积 【考点】梯形模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】设 1 S为 2 a份， 3 S为 2 b份，根据梯形蝴蝶定理， 2 3 4Sb，所以2b ；又因为 2 2Sab，所以 1a ；那么 2 1 1Sa， 4 2Sab，所以梯形面积 1234 12429SSSSS ，或者根 据梯形蝴蝶
3、定理， 22 129Sab 【答案】9 【巩固】【巩固】如下图，梯形如下图，梯形ABCD的的AB平行于平行于CD，对角线，对角线AC，BD交于交于O，已知，已知AOB与与BOC的面积分的面积分 别为别为25平方厘米与平方厘米与35平方厘米，那么梯形平方厘米，那么梯形ABCD的面积是的面积是_平方厘米平方厘米 ? 35 ? 25 ? O ? A ? B ? C ? D 【考点】梯形模型【难度】2 星【题型】填空 【解析】根据梯形蝴蝶定理， 2 :25:35 AOBBOC SSaab ，可得:5:7a b ，再根据梯形蝴蝶定理， 2222 :5 :725:49 AOBDOC SSab ，所以49
4、DOC S (平方厘米)那么梯形ABCD的面积为 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 2 of 13 25353549144(平方厘米) 【答案】144 【巩固】【巩固】如图所示如图所示，在梯形在梯形 ABCD 中中，ABCD，对角线对角线 AC，BD 相交于点相交于点 O。已知已知 AB=5，CD=3，且梯且梯形形 ABCD 的面积为的面积为 4，求三角形，求三角形 OAB 的面积。的面积。 【考点】梯形模型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，15 分，第 3 大题第，1 题 【解析】根据题意，AB=5，CD=3，CD:AB=3:5， 则根据蝴蝶模型 22
5、:9:15:25:15 DOCAODAOBCOB SSSSaab bab ，令 AOB S=25 份， 则梯形 ABCD 共有： 9+15+25+15=64 份。 所以 1 份为： 464= 1 16 ， 则三角形 OAB 的面积为 1 16 25= 25 16 。 【答案】 25 16 【例【例 2】 梯形梯形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O，已知梯形上底为，已知梯形上底为 2，且三角形，且三角形ABO的面积等于三角形的面积等于三角形 BOC面积的面积的 2 3 ，求三角形，求三角形AOD与三角形与三角形BOC的面积之比的面积之比 ? O ? A ? B ? C ? D 【
6、考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据梯形蝴蝶定理， 2 :2:3 AOBBOC SSab b ，可以求出:2:3a b ， 再根据梯形蝴蝶定理， 2222 :2 :34:9 AODBOC SSab 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千 辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论 【答案】4:9 【例【例 3】 如下图如下图，四边形四边形ABCD中中，对角线对角线AC和和BD交于交于O点点，已知已知1AO ，并且并且 3 5 ABD CBD 三角形的面积 三角形的面积 ， 那么那么OC的长是多少？的长是多少？ ?
7、 A ? B ? C ? D ? O 【考点】梯形模型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】根据蝴蝶定理， ABDAO CBDCO 三角形的面积 三角形的面积 ，所以 3 5 AO CO ，又1AO ，所以 5 3 CO 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 3 of 13 【答案】 5 3 【例【例 4】 梯形的下底是上底的梯形的下底是上底的1.5倍，三角形倍，三角形OBC的面积是的面积是 2 9cm，问三角形，问三角形AOD的面积是多少？的面积是多少？ ? A ? B ? C ? D ? O 【考点】梯形模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】根据梯形蝴蝶定
8、理，:1:1.52:3a b ， 2222 :2 :34:9 AODBOC SSab ， 所以 2 4 cm AOD S 【答案】4 【巩固】如图，梯形【巩固】如图，梯形ABCD中，中，AOB、COD的面积分别为的面积分别为1.2和和2.7，求梯形，求梯形ABCD的面积的面积 ? O ? D ? C ? B ? A 【考点】梯形模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】根据梯形蝴蝶定理， 22 :4:9 AOBACOD SSab ，所以:2:3a b ， 2 :3:2 AODAOB SSab ab a ， 3 1.21.8 2 AODCOB SS ， 1.21.81.82.77.5 ABCD S
9、 梯形 【答案】7.5 【例【例 5】 在梯形在梯形 ABCD 中中，上底长上底长 5 厘米厘米，下底长下底长 10 厘米厘米，20 BOC S平方厘米平方厘米，则梯形则梯形 ABCD 的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，第 4 题，10 分 【解析】因为 ADBC，故 BO DO CO AO BC AD 又 2 1 10 5 BC AD ，故 2 1 BO DO CO AO 在BOC与DOC中，因其高相等，且 BO:DO=2:1， 故 BOC S: DOC S=2:1 而 2 20cmS BOC ，故 2 10cmS D
10、OC 。同理，在COD与AOD中， 因 CO:AO=2:1，且在相应边上的高相等，故 COD S: AOD S=2:1 即 2 510 2 1 cmS AOD . 在BOCAOB与中，因 AO:CO=1:2，且其在相应边上的高相等，故 AOB S: BOC S=1:2。 即 2 10cmS AOB 综上， AODCODBOCAOB SSSSS 梯形 =10+20+10+5=45 2 cm 【答案】45 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 4 of 13 【例【例 6】 如下图如下图， 一个长方形被一些直线分成了若干个小块一个长方形被一些直线分成了若干个小块， 已知三角形已知三
11、角形ADG的面积是的面积是11， 三角形三角形BCH的的 面积是面积是23，求四边形，求四边形EGFH的面积的面积 ? H ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? H ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】如图，连结 EF，显然四边形 ADEF 和四边形 BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形 EFG 的面 积等于三角形 ADG 的面积； 三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积， 所以四边形 EGFH 的面积 是112334 【答案】34 【巩固】如图，长方形中，若三角形【巩固】如图，长方形
12、中，若三角形 1 的面积与三角形的面积与三角形 3 的面积比为的面积比为 4 比比 5，四边形，四边形 2 的面积为的面积为 36，则三角，则三角 形形 1 的面积为的面积为_ 3 2 1 3 2 1 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】填空 【关键词】人大附中，入学测试题 【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角 形 3，所以 1 的面积就是 4 3616 45 ，3 的面积就是 5 3620 45 【答案】20 【例【例 7】 如图，正方形如图，正方形ABCD面积为面积为3平方厘米，平方厘米，M是是AD边上的中点求图中阴影部分
13、的面积边上的中点求图中阴影部分的面积 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC ，根据梯形蝴蝶定理可以知道 22 :1 : 1 2 : 1 2 :21:2:2:4 AMGABGMCGBCG SSSS （） （）， 设1 AGM S 份， 则123 MCD S 份， 所以正方形的面积为1224312份，224S 阴影 份，所以:1:3SS 阴影正方形 ，所以1S 阴影 平方厘米 【答案】1 【巩固】在下图的正方形【巩固】在下图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点，AE与与BD相交于相交于F点，三角形点，三角形BEF的面积为
14、的面积为 1 平平 方厘米，那么正方形方厘米，那么正方形ABCD面积是面积是平方厘米平方厘米 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 5 of 13 ? A ? B ? C ? D ? E ? F 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】填空 【解析】连接DE，根据题意可知:1:2BE AD ，根据蝴蝶定理得 2 129S 梯形 （）(平方厘米)，3 ECD S (平 方厘米)，那么12 ABCD S (平方厘米) 【答案】12 【例【例 8】 如图面积为如图面积为12平方厘米的正方形平方厘米的正方形ABCD中，中，,E F是是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积边上的三等分点，求
15、阴影部分的面积 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为,E F是DC边上的三等分点，所以:1:3EF AB ，设1 OEF S 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道 3 AOEOFB SS 份，9 AOB S 份，(13) ADEBCF SS 份， 因此正方形的面积为 2 44(13)24 份，6S 阴影 ，所以:6:241:4SS 阴影正方形 ，所以3S 阴影 平方厘米 【答案】3 【例【例 9】 如图，在长方形如图，在长方形ABCD中，中，6AB 厘米，厘米，2AD 厘米，厘米，AEEFFB，求阴影部分的面积，求阴影部分的面积 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】
16、方法一：如图，连接DE，DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为 26322平方厘米 由于:1:3EF DC ， 根据梯形蝴蝶定理，:3:1 DEOEFO SS ， 所以 3 4 DEODEF SS ， 而2 DEFADE SS 平方厘米，所以 3 21.5 4 DEO S 平方厘米，阴影部分的面积为21.53.5平方厘米 方法二：如图，连接DE，FC，由于:1:3EF DC ，设1 OEF S 份，根据梯形蝴蝶定理，3 OED S 份， 2 (13)16 EFCD S 梯形 份，134 ADEBCF SS 份，因此416424 ABCD S 长方形 份， 437S 阴影 份
17、，而6212 ABCD S 长方形 平方厘米，所以3.5S 阴影 平方厘米 【答案】3.5 【例【例 10】已知已知ABCD是平行四边形是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形三角形ODE的面积为的面积为 6 平方厘米平方厘米则阴影部分的面积则阴影部分的面积 是是平方厘米平方厘米 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 6 of 13 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，六年级 【解析】连接AC 由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE ，所以:2:3CE AD ， 根据梯形蝴蝶定理， 22 :2 :23:23:34:6:6:9 COEAOCDO
18、EAOD SSSS ，所以6 AOC S (平方厘 米)，9 AOD S (平方厘米)，又6915 ABCACD SS (平方厘米)，阴影部分面积为61521(平方 厘米) 【答案】21 【巩固】【巩固】右图中右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米单位：平方厘米)，阴影部，阴影部 分的面积是分的面积是平方厘米平方厘米 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】填空 【解析】连接AE 由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝴蝶定理，4936 OCDOAEOCEOAD SSSS
19、 ，故 2 36 OCD S， 所以6 OCD S(平方厘米) 【答案】6 【巩固】【巩固】右图中右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米单位：平方厘米)，阴影部，阴影部 分的面积是分的面积是平方厘米平方厘米 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】填空 【关键词】三帆中学 【解析】连接AE 由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝴蝶定理，2 816 OCDOAEOCEOAD SSSS ，故 2 16 OCD S，所以4 OCD S(平方厘米) 另解：在平行四边形ABED中
20、， 11 16812 22 ADEABED SS (平方厘米)， 所以1284 AOEADEAOD SSS (平方厘米)， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米) 【答案】4 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 7 of 13 【巩固】【巩固】E 是平行四边形是平行四边形 ABCD 的的 CD 边上的一点边上的一点，BD、AE 相交于点相交于点 F，已知三角形已知三角形 AFD 的面积是的面积是 6，三三 角形角形 DEF 的面积是的面积是 4，求四边形，求四边形 BCEF 的面积为多少？的面积为多少？ 4 6 F E D C B A 【考点】梯形模型【难度】3
21、星【题型】解答 【关键词】希望杯，5 年级，复赛，第 15 题 【解析】如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为 6，而顶上的三角形为 664=9，“？”处的三角形面 积为 9+6-6-4=5 从而所求四边形面积为 5=6=11. 【答案】11 【例【例 11】如图所示如图所示，BD、CF将长方形将长方形ABCD分成分成 4 块块，DEF的面积是的面积是 5 平方厘米平方厘米，CED的面积是的面积是 10 平方厘米问：四边形平方厘米问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ ? F ? A ? B ? C ? D ? E ? 10 ? 5 ? F ? A ? B ? C
22、? D ? E ? 10 ? 5 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是 10 平 方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10 10520(平方厘米)，所以长方形的面积为 2010260(平方厘米)四边形ABEF的面积为605102025(平方厘米) 【答案】25 【巩固】【巩固】如图所示，如图所示，BD、CF将长方形将长方形ABCD分成分成 4 块，块，DEF的面积是的面积是 4 平方厘米，平方厘米，CED的面积是的面积是 6 平方厘米问：四边形平方厘米问：四边形ABEF的面积是多少平方厘
23、米？的面积是多少平方厘米？ ? 6 ? 4 ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? 6 ? 4 ? A ? B ? C ? D ? E ? F 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】 (法 1)连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积 相等，即其面积也是 6 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为6649(平方厘米)， 所以长方形的面积为96230(平方厘米) 四边形ABEF的面积为3046911(平方厘米) (法 2)由题意可知， 42 63 EF EC ，根据相似三角形性质， 2 3 EDEF EBEC ，所以三
24、角形BCE的面积为： 2 69 3 (平方厘米)则三角形CBD面积为 15 平方厘米，长方形面积为15230(平方厘米)四边 形ABEF的面积为3046911(平方厘米) 【答案】11 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 8 of 13 【巩固】【巩固】如图如图，长方形长方形ABCD被被CE、DF分成四块分成四块，已知其中已知其中 3 块的面积分别为块的面积分别为 2、5、8 平方厘米平方厘米，那么余那么余 下的四边形下的四边形OFBC的面积为的面积为_平方厘米平方厘米 ? ? ? 8 ? 5 ? 2 ? O ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? ? ? 8 ?
25、 5 ? 2 ? O ? A ? B ? C ? D ? E ? F 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级组，初赛，4 题 【解析】连 接DE、CF 四 边 形EDCF为 梯 形 ， 所 以 EODFOC SS ， 又 根 据 蝴 蝶 定 理 ， EODFOCEOFCOD SSSS ，所以2 816 EODFOCEOFCOD SSSS ，所以4 EOD S(平方厘米)， 4812 ECD S(平方厘米) 那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米， 四边形OFBC的面积 为245289(平方厘米) 【答案】9 【巩固】【巩固】正方形正方形ABCD的边长为的边长
26、为6，E是是BC的中点（如图的中点（如图） 。四边形。四边形OECD的面积为的面积为。 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 4 题，8 分 【解析】连结DE，2 ADODEOADE ABOBEOABE SSS SSS ，即 221 3 66 332 DEOBED SS ， 1 3 69 2 DCE S ，所 以6915 OECD S。 【答案】15 【巩固】【巩固】如图如图，长方形长方形ABCD中中，AOB是直角三角形且面积为是直角三角形且面积为 54，OD的长是的长是 16，OB的长是的长是 9那么四边那么四边 形形OECD的面积是的面积是 ?
27、A ? B ? C ? D ? E ? O ? A ? B ? C ? D ? E ? O 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，初赛 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 9 of 13 【解析】解法一：连接DE，依题意 11 954 22 AOB SBOAOAO ，所以12AO ， 则 11 16 1296 22 AOD SDOAO 又因为 1 5416 2 AOBDOE SSOE ，所以 3 6 4 OE ， 得 1133 9630 2248 BOE SBOEO ， 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOE SSSSS
28、 解法二：由于:16:9 AODAOB SSOD OB ，所以 16 5496 9 AOD S ，而54 DOEAOB SS ，根据 蝴蝶定理， BOEAODAOBDOE SSSS ，所以 3 54549630 8 BOE S ， 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOE SSSSS 【答案】 5 119 8 【例【例 12】如图所示，长方形如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70，AB=8,AD=15 四边形四边形EFGO的面积为的面积为 _ 【考点】梯形模型【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 5
29、 题 【解析】根据容斥关系： 四边形EFGO的面积=三角形 AFC+三角形 DBF-白色部分的面积 三角形 AFC+三角形 DBF=长方形面积的一半即 60， 白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 120-70=50 所以四边形的面积=60-50=10 【答案】10 【巩固】【巩固】如图如图 5 所示，矩形所示，矩形 ABCD 的面积是的面积是 24 平方厘米平方厘米， 、三角形、三角形 ADM 与三角形与三角形 BCN 的面积之和是的面积之和是 7.8 平平 方厘米，则四边形方厘米，则四边形 PMON 的面积是的面积是平方厘米。平方厘米。 【考点】梯形模型【难度】4 星【题型】
30、填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 9 题 【解析】1.8 【答案】1.8 【例【例 13】如图如图，ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形，DEFG是正方形是正方形， 线段线段AB与与CD相交于相交于K点点 已知正方形已知正方形DEFG 的面积的面积 48，:1:3AK KB ，则，则BKD的面积是多少？的面积是多少？ 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 10 of 13 【考点】梯形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形在梯形ADBC中，BDK和 ACK的面积是相等的 而:1:3AK KB ， 所以ACK的
31、面积是ABC面积的 11 134 ， 那么BDK 的面积也是ABC面积的 1 4 由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且 AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正 方形DEFG的面积相等，为 48 那么BDK的面积为 1 4812 4 【答案】12 【例【例 14】如图所示如图所示，ABCD是梯形是梯形，ADE面积是面积是1.8，ABF的面积的面积是是9，BCF的面积的面积是是27 那么阴影那么阴影AEC 面积是多少？面积是多少？ 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据梯形蝴蝶定理，可
32、以得到 AFBDFCAFDBFC SSSS ，而 AFBDFC SS (等积变换)，所以可得 99 3 27 AFBCDF AFD BFC SS S S ， 并且3 1.81.2 AEFADFAED SSS ，而:9:271:3 AFBBFC SSAF FC ， 所以阴影AEC的面积是：41.244.8 AECAEF SS 【答案】1:3 【例【例 15】如图，正六边形面积为如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？，那么阴影部分面积为多少？ 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把 六边形
33、分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积 88 6 183 【答案】 8 3 【例【例 16】如图如图， 已知已知D是是BC中点中点，E是是CD的中点的中点，F是是AC的中点的中点 三角形三角形ABC由由这这 6 部分组成部分组成， 其中其中比比多多 6 平方厘米那么三角形平方厘米那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 11 of 13 ? ? ? ? ? ? ? B ? F ? E ? D ? C ? A 【考点】梯形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为E是DC中点，F为AC中点，有2ADFE且平
34、行于AD，则四边形ADEF为梯形在梯形 ADEF中有=，=，：= 2 AD： 2 FE=4又已知-=6，所以=6(41)2， =48 ，所以=16，而=，所以=4，梯形ADEF的面积为、 四块图形的面积和，为844218有CEF与ADC的面积比为CE平方与CD平方的比， 即为 1:4所以ADC面积为梯形ADEF面积的 4 4-1 = 4 3 ，即为 4 1824 3 因为D是BC中点，所以 ABD与ADC的面积相等，而ABC的面积为ABD、ADC的面积和，即为242448平方厘 米三角形ABC的面积为 48 平方厘米 【答案】48 【例【例 17】如下图如下图，在梯形在梯形ABCD中中，AB与
35、与CD平行平行，且且2CDAB，点点E、F分别是分别是AD和和BC的中点的中点，已已 知阴影四边形知阴影四边形EMFN的面积是的面积是 54 平方厘米，则梯形平方厘米，则梯形ABCD的面积是的面积是平方厘米平方厘米 【考点】梯形模型【难度】4 星【题型】填空 【解析】连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小 三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积 设梯形ABCD的上底为a，总面积为S则下底为2a， 13 2 22 EFaaa 所以 3 :2:3 2 AB EFaa， 3 :23:4 2 EF DCaa 由于梯形ABFE和梯形EFCD
36、的高相等，所以 33 :25:7 22 ABFEEFCD SSABEFEFDCaaaa 梯形梯形 ， 故 5 12 ABFE SS 梯形 ， 7 12 EFCD SS 梯形 根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE内各三角形的面积之比为 22 2 :23:23:34:6:6:9，所以 9953 4669251220 EMFABFE SSSS 梯形 ； 同理可得 9973 9121216491228 ENF SSSS 梯形EFCD ， 所以 339 202835 EMFNEMFENF SSSSSS ，由于54 EMFN S平方厘米， 所以 9 54210 35 S (平方厘米) 【答案】210 【例【例
37、18】 如图如图，在一个边长为在一个边长为 6 的正方形中的正方形中，放入一个边长为放入一个边长为 2 的正方形的正方形，保持与原正方形的边平行保持与原正方形的边平行，现在现在 分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 12 of 13 面积为面积为 【考点】梯形模型【难度】4 星【题型】填空 【解析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定 理来解决一般情况 解法一：
38、取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5， 因此空白处的总面积为6 1.5242222，阴影部分的面积为662214 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2，下底都为 6， 上底、下底之比为2:61:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之 比为 22 1 :1 3:1 3:31:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 9 16 ，阴影部分的面 积占该梯形面积的 7 16 ，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 7 16 ，那么阴影部分的面积为 22 7 (62 )14 1
39、6 【答案】14 【例【例 19】如图如图，在正方形在正方形ABCD中中，E、F分别在分别在BC与与CD上上，且且2CEBE，2CFDF，连接连接BF、DE， 相交于点相交于点G，过，过G作作MN、PQ得到两个正方形得到两个正方形MGQA和和PCNG，设正方形，设正方形MGQA的面积为的面积为 1 S， 正方形正方形PCNG的面积为的面积为 2 S，则，则 12 :SS _ ? Q ? P ? N ? M ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? Q ? P ? N ? M ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G 【考点】梯形模型【难度】4 星【题型】填空 【
40、解析】连接BD、EF设正方形ABCD边长为 3，则2CECF，1BEDF，所以， 222 228EF ， 222 3318BD 因为 222 8 1814412EFBD，所以12EF BD由梯形蝴蝶定理，得 22 :8:18:12:124:9:6:6 GEFGBDDGFnBGE SSSSEFBDEF BD EF BD ， 所以， 66 496625 BGEBDFEBDFE SSS 梯形梯形 因为 9 3 32 2 BCD S ，2222 CEF S ， 所以 5 2 BCDCEFBDFE SSS 梯形 ，所以， 653 2525 BGE S 由于BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所
41、以 36 21 55 CN ， 69 3 55 ND ， 所以:3:2AM CNDN CN，则 22 12 :9:4SSAMCN 【答案】9:4 【例【例 20】下图中，四边形下图中，四边形ABCD都是边长为都是边长为 1 的正方形，的正方形，E、F、G、H分别是分别是AB，BC，CD，DA的的 4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 13 of 13 中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m n ，那么，那么，()mn的值等的值等 于于 【考点】梯形模型【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春
42、杯，高年级组，决赛 【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面 积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连 接EG设AG与DE的交点为M左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面 积的 1 4 ，所以三角形AMD的面积为 2 111 1 248 又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以 左图中阴影部分的面积为 11 14 82 如上图所示，在右图中连接AC、EF设AF、EC的交点为N 可知EFAC且2ACEF 那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的 1 4 ， 所以三角形BEF的 面积为 2 111 1 248 ，梯形AEFC的面积为 113 288 在梯形AEFC中，由于:1:2EF AC ，根据 梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为： 22 1 :1 2:1 2:21:2:2:4，所以三角形EFN的面积为 311 8122424 ，那么四边形BENF的面积为 111 8246 而右图中四个空白四边形的面积是相 等的，所以右图中阴影部分的面积为 11 14 63 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积 之比为 1 1 :3:2 2 3 ，即 3 2 m n ，那么325mn 【答案】5
