1、绝密启用前试卷类型:B 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处” 。 2作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能 答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上;如需改动,先
2、划掉原来的答案,然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一一、选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1设集合| 24Axx ,2,3,4,5B ,则AB () A 2B2,3C3,4D2,3,4 【答案】B 2已知2iz ,则 iz z () A62iB42iC62iD42i 【答案】C 3已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长
3、为() A2B2 2C4D4 2 【答案】B 4下列区间中,函数 7sin 6 f xx 单调递增的区间是() A0 2 ,B, 2 C 3 , 2 D 3 ,2 2 【答案】A 5已知 1 F, 2 F是椭圆C: 22 1 94 xy 的两个焦点,点M在C上,则 12 MFMF的最大值 为() A13B12C9D6 【答案】C 6若tan2 ,则 sin1sin2 sincos () A 6 5 B 2 5 C 2 5 D 6 5 【答案】C 7若过点, a b可以作曲线 x ye的两条切线,则() A b eaB a ebC0 b aeD0 a be 【答案】D 8有6个相同的球,分别标有
4、数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每 次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1” ,乙表示事件“第二次取出的球 的数字是2” ,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8” ,丁表示事件“两次取出的 球的数字之和是7” ,则() A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立 C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立 【答案】B 二二、选择题选择题:本题共本题共 4 小题小题。每小题每小题 5 分分,共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得
5、 0 分。分。 9有一组样本数据 1 x, 2 x, n x,由这组数据得到的新样本数据 1 y, 2 y, n y,其 中i1,2, ii yxcn,c为非零常数,则() A两组样本数据的样本平均数相同 B两组样本数据的样本中位数相同 C两组样本数据的样本标准差相同 D两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 10已知O为坐标原点,点 1 cos ,sinP, 2 cos , sinP, 3 cos,sinP,1,0A,则() A 12 OPOP B 12 APAP C 2 31 OA OPOP OP D 123 OA OPOP OP 【答案】AC 11已知点P在圆 22 5516xy上,点
6、4,0A,0,2B,则() A点P到直线AB的距离小于10 B点P到直线AB的距离大于2 C当PBA最小时,3 2PB D当PBA最大时,3 2PB 【答案】ACD 12 在正三棱柱 111 ABCA BC中, 1 1ABAA, 点P满足 1 BPBCBB , 其中0,1, 0,1,则() A当=1时, 1 AB P的周长为定值 B当1时,三棱锥 1 PA BC的体积为定值 C当 1 2 时,有且仅有一个点P,使得 1 A PBP D当 1 2 时,有且仅有一个点P,使得 1 A B 平面 1 AB P 【答案】BD 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,
7、共分,共 20 分。分。 13已知函数 3 22 xx f xxa 是偶函数,则a 【答案】1 14已知O为坐标原点,抛物线C: 2 20ypx p的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴 垂直,Q为x轴上一点,且PQOP若6FQ ,则C的准线方程为 【答案】 3 2 x 15函数 212lnf xxx的最小值为 【答案】1 16某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格 为20 dm12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm 12 dm,20 dm6 dm两种规 格的图形,它们的面积之和 2 1 240 dmS ,对折2次共可以得到5 dm 12 dm,
8、10 dm6 dm,20 dm3 dm三种规格的图形,它们的面积之和 2 2 180 dmS ,以此类 推则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么 1 n k k S 2 dm 【答案】5, 3 720240 2n n 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分) 已知数列 n a满足 1 1a , 1 1 2 n n n an a an 为奇数 为偶数 (1)记 2nn ba,写出 1 b, 2 b,并求数列 n b的通项公式; (2)求 n
9、a的前20项和 【答案】 (1)2n为偶数, 则 212 2 nn aa , 2221 1 nn aa , 222 3 nn aa ,即 1 3 nn bb ,且 121 12baa , n b是以2为首项,3 为公差的等差数列, 1 2b, 2 5b ,31 n bn (2)当n为奇数时, 1 1 nn aa , n a的前20项和为 1220 aaa 13192420 aaaaaa 24202420 111aaaaaa 2420 210aaa 由(1)可知, 24201210 aaabbb 109 2 103 2 155 n a的前20项和为2 15510300 18 (12 分) 某学校
10、组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题每位参加比赛的同学先在两类 问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答 正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结 束A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答 正确得80分,否则得0分 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正 确回答问题的概率与回答次序无关 (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由 【答案】 (1)X的取
11、值可能为0,20,100, 010.80.2P X , 200.810.60.32P X , 1000.8 0.60.48P X , X的分布列为 X020100 P0.20.320.48 (2)假设先答B类题,得分为Y, 则Y可能为0,80,100, 010.60.4P Y , 800.610.80.12P Y , 1000.6 0.80.48P Y , Y的分布列为 Y080100 P0.40.120.48 0 0.480 0.12100 0.4857.6E Y, 由(1)可知0 0.220 0.32100 0.4854.4E X , E YE X, 应先答B类题 19 (12 分) 记A
12、BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知 2 bac,点D在边AC上, sinsinBDABCaC (1)证明:BDb; (2)若2ADDC,求cosABC 【答案】 (1)在ABC中, sinsin ACAB ABCC , sinsinBDABCaC, sinsin BDa CABC , 联立得 ABAC BDa ,即acb BD, 2 bac, BDb (2)若2ADDC, ABC中, 222 cos 2 abc C a b , BCD中, 2 22 3 cos 2 3 b ab C b a , =, 2 22222 3 3 b abcab , 整理得 2 22222 33 3 b
13、abcab, 222 11 20 3 abc, 2 bac, 22 61130aacc,即 3 c a 或 3 2 ac, 若 3 c a 时, 2 2 3 c bac, 则 222 cos 2 acb ABC a c 22 2 2 93 2 3 cc c c 2 2 7 9 2 3 c c 7 6 (舍) , 若 3 2 ac, 22 3 2 bacc, 则 222 cos 2 acb ABC a c 222 2 93 42 3 ccc c 2 2 7 4 3 c c 7 12 . 20 (12 分) 如图,在三棱锥ABCD中,平面ABD 平面BCD,ABAD,O是BD的中点 (1)证明:O
14、ACD; (2)若OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,2DEEA,且二面角 EBCD的大小为45,求三棱锥ABCD的体积 【答案】 (1)ABAD,O为BD中点, AOBD, AO 面ABD, 面ABD 面BCD且面ABD面BCDBD, AO面BCD, AOCD (2)以O为坐标原点,OD为y轴,OA为z轴,垂直OD且过O的直线为x轴, 设 3 1 ,0 22 C ,0,1,0D,0, 1,0B,0,0,Am, 1 2 0, , 3 3 Em , 42 = 0, 33 EBm , 3 3 ,0 22 BC , 设 1111 ,nx y z 为面EBC法向量, 111 111 42 0
15、 33 33 0 22 EB nymz BC nxy , 11 11 20 30 ymz xy , 令 1 1y , 1 2 z m , 1 3x , 1 2 31n m , , 面BCD法向量为0,0,OAm , 1 2 22 cos, 24 4 n OA m m ,解得1m , 1OA, 11 2 11 22 ABD SBDOA , 13 36 A BCDABDc VSx 21 (12 分) 在平面直角坐标系xOy中,已知点 1 17,0F , 2 17,0F,点M满足 12 2MFMF记M的轨迹为C (1)求C的方程; (2)设点T在直线 1 2 x 上,过T的两条直线分别交C于A,B两
16、点和P,Q两点, 且TA TBTPTQ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 【答案】 (1) 12 2MFMF, 轨迹C为双曲线右半支, 2 17c ,22a , 2 1a, 2 16b , 2 2 10 16 y xx (2)设 1 , 2 Tn , 设AB: 1 1 2 ynkx , 联立 1 2 2 1 2 1 16 ynkx y x , 22222 11111 1 162160 4 kxkk n xknk n, 2 11 12 2 1 2 16 kk n xx k , 22 11 12 2 1 1 16 4 16 knk n xx k , 2 11 1 1 2 TAkx , 2 12
17、 1 1 2 TBkx , 2 112 11 1 22 TATBkxx 22 1 2 1 12 1 16 nk k , 设PQ: 2 1 2 ynkx , 同理 22 2 2 2 12 1 16 nk TPTQ k , TA TBTPTQ, 22 12 22 12 11 1616 kk kk , 22 12 1717 11 1616kk , 22 12 1616kk,即 22 12 kk, 12 kk, 12 0kk. 22 (12 分) 已知函数 1lnf xxx (1)讨论 f x的单调性; (2)设a,b为两个不相等的正数,且lnlnbaabab,证明: 11 2e ab 【答案】 (1
18、) 1ln,0,f xxxx 1ln1lnfxxx 0,1 ,0,xfxf x 1,0,xfxf x f x在0,1单调递增, f x在1,单调递减 (2)由lnlnbaabab,得 111111 lnln aabbba 即 1111 1ln1ln aabb 令 1 1 x a , 2 1 x b 则 12 ,x x为 f xk的两根,其中0,1k 不妨令 1 0,1x , 2 1,xe,则 1 21x 先证 12 2xx,即证 21 2xx 即证 211 2f xf xfx 令 2h xf xfx 则 2hxfxfx lnln 2 ln2 xx xx 0,1 20,1 x xx 0hx 恒成立, h x 11 10 2 h xh f xfx 12 2xx得证 同理,要证 12 xxe 即证 211 f xf xf ex 令 ,0,1xf xf exx 则 lnxx ex ,令 0 0 x 0 0,0,xxxx 0,1 , 0,xxxx 又0 x , 0f x ,且 0f e 故0 x , 00, 1 =110ff e 0 x恒成立 12 xxe得证 11 2e ab