1、绝密启用前绝密启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：注意事项： 1.答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动， 用橡皮 擦干净后， 再选涂其他答案标号， 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题： 本题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的. 1. 设2 z+ z +3 z- z =4
2、+6i,则z= () A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i 2.已知集合S = s s=2n+1,nZ ,T = t t =4n+1,nZ,则S T =() A. B. SC. TD. Z 3.已知命题 p:xR,xsin 1;命题q:xR,e x 1.则下列命题中为真命题的是() A. pqB. pqC. pqD. pq 4.设函数 f x = 1-x 1+x ,则下列函数中为奇函数的是 () A. f x-1 -1 B. f x-1 +1 C. f x+1 -1 D. f x+1 +1 5.在正方体 ABCD- A1B1C1D1中， P为B1D1的中点， 则直线PB与 AD
3、1所成的角为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、 短道速滑、 冰球和冰壶4个项目进行培训， 每名志愿者只分配 到1个项目， 每个项目至少分配1名志愿者， 则不同的分配方案共有() A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种 7.把函数 y= f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍， 纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移 3 个 单位长度， 得到函数 y=x- 4 sin的图像， 则 f x = () A. x 2 - 7 12 sinB. x 2 + 12 sinC.2x- 7 12 sinD.2x+ 12 sin 8
4、.在区间 0,1 与 1,2中各随机取一个数， 则两数之和大于 7 4 的概率为 () A. 7 9 B. 23 32 C. 9 32 D. 2 9 理科数学试题第1页 （共6页） 9.魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经 是关于测量的数学著作， 其中第一题是测量海岛的高， 如图， 点 E， H， G 在水平线 AC 上， DE 和 FG 是两个垂直干水平面且等高的测量标杆的高度， 称为“表高”， EG 称为“表 距”， GC 和EH 都称为“表目距”， GC 与EH 的差称为“表目距的差”， 则海岛的高 AB=() A B C D E F GH A. 表高表距 表目距的差 +表高 B. 表高表距 表
5、目距的差 -表高 C. 表高表距 表目距的差 +表距 D. 表高表距 表目距的差 -表距 10. 设a0,若x=a为函数 f x =a x-a 2 x-b 的极大值点， 则 () A. abC. aba2 11. 设 B是椭圆C : x2 a2 + y2 b2 =1 ab0 的上顶点， 若C 上的任意一点 P 都满足 PB2b,则C 的离心率 的取值范围是() A. 2 2 ,1 B. 1 2 ,1 C.0, 2 2 D. 0, 1 2 12. 设a=21.01ln,b=1.02ln,c=1.04 -1,则() A. abcB. bcaC. bacD. ca0 的一条渐近线为 3x+my=0,
6、则C 的焦距为. 14. 已知向量a = 1,3 ,b = 3,4 ,若 a -b b ,则= . 15. 记ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60,a2+c2=3ac,则b=. 16. 以图为正视图， 在图中选两个分别作为侧视图和俯视图， 组成某个三棱锥的三视图， 则所选 侧视图和俯视图的编号依次为写出符合要求的一组答案即可. 图图图 图图 1 22 1 2 1 2 2 2 2 理科数学试题第2页 （共6页） 三、 解答题： 共70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题， 每个试题考生都必 须作答.第22、 23题为选考题， 考生
7、根据要求作答. (一)必考题： 共60分. 17. 12分 某厂研制了一种生产高精产品的设备， 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高， 用一台旧设备和一 台新设备各生产了10件产品， 得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ,样本方差分别记为s2 1和s22. (1)求 x ,y,s2 1,s22; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 (如果
8、 y - x 2 s21+s22 10 ， 则认为 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高， 否则不认为有显著提高). 18. (12分) 如图， 四棱锥P- ABCD的底面是矩形， PD底面 ABCD,PD=DC =1,M 为BC 的中点， 且PB AM. (1)求BC; (2)求二面角 A-PM -B的正弦值. A B C D P M 理科数学试题第3页 （共6页） 19. (12分) 记Sn为数列 an的前n项和， bn为数列 Sn的前n项积， 已知 2 Sn + 1 bn =2. (1)证明： 数列 bn是等差数列； (2)求 an的通项公式. 20. (12分) 设函数 f
9、 x = a-x ln,已知x=0是函数 y=xf x 的极值点. (1)求a； (2)设函数g x = x+ f x xf x ,证明： g x 0 的焦点为F,且F 与圆M :x2+ y+4 2=1上点的距离的最小值为4. (1)求 p； (2)若点P在M 上， PA,PB是C 的两条切线， A,B是切点， 求PAB面积的最大值. 理科数学试题第5页 （共6页） (二)选考题： 共10分.请考生在第22、 23题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4： 坐标系与参数方程(10分) 在直角坐标系xOy中， C 的圆心为C 2,1 ， 半径为1. (1)写出C 的一个参数方程； (2)过点F 4,1 作C 的两条切线， 以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求这两条切线 的极坐标方程. 23. 选修4-5:不等式选讲(10分) 己知函数 f x = x-a+ x+3. （1） 当a=1时， 求不等式 f x 6的解集； （2） 若 f x -a， 求a的取值范围. 理科数学试题第6页 （共6页）
