1、第四十九讲 随机事件的概率 回归课本 1.事件的分类 (1)一般地,我们把在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于 条件S的必然事件,简称必然事件. (2)一般地,我们把在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对 于条件S的不可能事件,简称不可能事件. (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件,简 称确定事件. (4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S的随机事件,简称随机事件. (5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C 表示. 2.频数,频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现, 称n次试验中事件A出现的次数n 为事
2、件A出现的频数,称 A n 事件A出现的比例f (A)= A为事件A出现的频率. n n (2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发 生的频率逐渐稳定在区间0,1中的某个常数上,那么把这 个常数记作P(A),称为事件A发生的概率. (3)任何事件A发生的概率P(A)0,1,它度量事件发生的可 能性的大小.若A为必然事件,则P(A)=1;若A为不可能事件, 则P(A)=0. 3.事件的关系与运算 (1)对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这 时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作 BA(或AB). (2)若BA,且AB,那么称事件A与事件B相等,
3、记作A=B. (3)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事 件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作AB(或 A+B). (4)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事 件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作AB(或AB). (5)若AB为不可能事件,(AB=),那么称事件A与事件B互 斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发 生. (6)若AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事 件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在任何一次试 验中有且仅有一个发生. (7)互斥事件概率的加法公式: 如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=P(
4、A)+P(B). 特别地,若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B). 考点陪练 1.从6个男生、2个女生中任选3人,则下列事件中必然事件是( ) A.3个都是男生 C.3个都是女生 B.至少有1个男生 D.至少有1个女生 解析:因为只有2名女生,所以选出的3人中至少有1名男生. 答案:B 2.某产品分一、二、三级,其中只有一级是正品.若生产中出 现正品的概率是0.97,出现二级品的概率是0.02,那么出现 二级品或三级品的概率是( ) A.0.01 C.0.03 B.0.02 D.0.04 解析:“出现一级品”这一事件的对立是“出现二级品或三 级品”,由对立事件概率之和为1即可得
5、出答案. 答案:C 3.(2010山东青岛2月)为了了解学生遵守中华人民共和 国交通安全法的情况,调查部门在某学校进行了如下的 随机调查:向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗 ?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对 调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题; 否则就回答第(2)个问题.被调查者不必告诉调查人员自己 回答的是哪一个问题,只需要回答“是”或“不是”,因为 只有被调查者本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了 回答. 结果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了 “是”,由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是( ) A.30B
6、.60 C.120D.150 解析:抛掷一枚硬币出现正面和反面的概率都是0.5,因此600 个被调查的学生中大约有300个人回答了第一个问题,300 个人回答了第二个问题,又因为学号是奇数和偶数的概率 相等,都是0.5,故300个回答第一个问题的学生中大约有 150人回答了“是”,所以300个回答第二个问题的学生中 有180-150=30个回答了“是”,即曾经闯过红灯,故在这 600人中闯过红灯的人数大约是60人. 答案:B 4.(2010新创题)一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事 件有( ) A.(男,女)(男,男)(女,女) B.(男,女)(女,男) C.(男,男)(男,女)(女,男)
7、(女,女) D.(男,男)(女,女) 解析:由于两个孩子有先后出生之分,故选C. 答案:C 5.(2010浙江台州2月模拟)袋中装有编号为1 2 3 4的四个 球,四个人从中各取一个球,则甲不取1号球,乙不取2号球, 丙不取3号球,丁不取4号球的概率为( ) A. 1 B. 3 48 C. 11 24 23 D. 24 解析:四人从袋中各取一球共有4321=24种不同的取法 ,甲不取1号球,乙不取2号球,丙不取3号球,丁不取4号球有9 9 3 种不同的取法,所以其概率是 答案:B . 24 8 类型一随机事件及概率 解题准备:(1)频率:在相同条件下重复进行n次试验,观察某一 事件A出现的次数
8、m,称为事件A的频数,那么事件A出现的 m 频率f (A)=频率的取值范围为0,1. , n n (2)概率:对于给定的随机事件,如果随着试验次数的增加,事 件A发生的频率稳定在某个常数上,我们把这个常数记为 P(A),称为事件A的概率. 频率与概率有本质的区别,不可混为一谈,频率随着试验次数 的改变而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象.当 试验次数越来越多时频率向概率靠近.只要次数足够多,所 得频率就近似地当做随机事件的概率. 【典例1】 (2010海南模拟)某市地铁全线共有四个车站,甲 乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车.假设每人自第 2号车站开始,在每个车站下车是等可能的.
9、约定用有序实数 对(x,y)表示“甲在x号车站下车,乙在y号车站下车”. (1)用有序实数对把甲 乙两人下车的所有可能的结果列举出 来; (2)求甲 乙两人同在第3号车站下车的概率; (3)求甲 乙两人在不同的车站下车的概率. 解 (1)用有序实数对(x,y)表示甲在x号车站下车,乙在y号车 站下车,则甲下车的站号记为2,3,4共3种结果,乙下车的站 号也是2,3,4共3种结果.甲 乙两人下车的所有可能的结果 有9种,分别为 :(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4). 1 (2)设甲 乙两人同时在第3号车站下车的事件为A,则P
10、(A)= . 9 (3)设甲 乙两人在不同的地铁站下车的事件为B,则结果有 :(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),共6种结果,故 6 2 P(B) . 9 3 反思感悟 在解决此类问题时,首先分清所求事件是由哪些 基本事件组成的,即明确基本事件总数N和这个具体事件包 M 含的基本事件数M,由计算概率. P N 类型二互斥事件与对立事件的区别和联系 解题准备:“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言 的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立的事件 是其中必有一个要发生的互斥事件.因此,对立事件必须互 斥. 【典例2】 (2010烟台月考)某城市有甲
11、乙两种报纸供居 民们订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一 种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲 报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件 是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E. 解 根据互斥事件 对立事件的定义来判断. (1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”, 即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件. (2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订” 是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生 可导致事件E一定不发生
12、,且事件E发生会导致事件B一定 不发生,故B与E还是对立事件. (3)事件B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”,即 有可能“不订甲报纸”,即事件B发生,事件D也可能发生, 故B与D不是互斥事件. (4)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸” “只订乙报纸” “订甲 乙两种报纸”,事件C“至多订 一种报纸”中有这些可能:“什么报纸也不订” “只订甲 报纸” “只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故 B与C不是互斥事件. (5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种 可能,故事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥 事件. 反思感悟 根据互斥事件
13、对立事件的定义是判断两事件是 否是互斥事件 对立事件的一种最有效 最简便的基本方法 .由对立事件的定义可知,对立事件首先要是互斥事件,并且 其中一个一定要发生,因此两个对立事件一定是互斥事件, 但两个互斥事件却不一定是对立事件,解题时一定要搞清 两种事件的关系. 类型三互斥事件与对立事件的概率 解题准备:1.互斥事件的概率加法公式:若事件A与B互斥,则 P(AB)=P(A)+P(B); 2.对立事件的概率公式:若事件A的对立事件为 A则, P( )=A1- P(A). 【典例3】 (2010江西五校联考)下表为某班英语及数学成 绩的分布.学生共有50人,成绩分15五个档次.例如表中所 示英语成
14、绩为4分 数学成绩为2分的学生为5人.将全班学 生的姓名卡片混在一起,任取一张,该卡片对应学生的英语 成绩为x,数学成绩为y.设x,y为随机变量.(注:没有相同姓名 的学生) (1)x=1的概率为多少?x3且y=3的概率为多少? (2)a+b等于多少? 11 3 1 解 1 P x 1 , 50 10 8 4 P(x3, y 3) . 50 25 2 P x 2 1 P x 1 P(x3) 5 35 10 a b 7 1 a b 3. 50 50 5050 反思感悟 本题主要是用计数方法求出事件包含的基本事 m 件数,再用公式求解;而求P(x=2)时,因为a,b未知,所 P n 以考虑它的对立
15、事件,即“x=1”和“x3”,而事件 “x=2” “x=1” “x3”彼此互斥 ,P(x=1)+P(x3)+P(x=2)=1. 错源一混淆事件与基本事件 【典例1】 指出下列哪些是基本事件. (1)先后抛掷两枚硬币,都出现正面; (2)先后抛掷两枚硬币,都出现反面; (3)抛掷一次骰子,出现偶数点; (4)先后抛掷两枚硬币,出现一个正面一个反面. 错解 (1),(2),(3),(4)都是基本事件. 剖析 错解没有把握住基本事件的本质,混淆了事件与基本 事件. 正解 (1),(2)为基本事件. 评析 事件是随机事件的简称,是随机试验的结果.基本事件 是指在随机试验中所有可能发生的基本结果,是随机
16、试验 中不能再分的最简单的随机事件.基本事件具有两个特点 :(1)基本事件是随机试验中不能再分的最简单的随机事件, 在一次试验中只能产生一个基本事件;(2)任何事件都可以 用基本事件来描绘.“抛掷一次骰子,出现偶数点”这一事件 中包含了“出现2点” “出现4点” “出现6点”三个基本 事件;“先后抛掷两枚硬币,出现一个正面一个反面”包含了 “先正后反”和“先反后正”两个基本事件. 错源二混淆了频率与概率 【典例2】 判断下列命题的真假. 1 (1)将一枚骰子掷60次,出现1点的频率为 则在试验中出现, 6 了10次点数为1. (2)某彩票的中奖率为1%,则某人买了103张彩票,其中至少有 一张
17、彩票中奖. (3)一同学抛掷一枚硬币10次,结果6次正面向上,这说明在抛 掷硬币过程中有时正面向上的概率为0.6. 错解 (1),(2),(3)都是真命题. 剖析 错解混淆了频率与概率. 正解 (1)真;(2)假;(3)假. 评析 频率是一个随试验次数变化而变化的量.在进行大量 重复试验时,频率会在某一常数附近摆动,这个常数就是事 件A的概率.概率在数值上给出了事件A发生的可能性的大 小,它是一个常数,它不随试验次数的变化而变化.频率与概 率的关系可以概括为“在进行大量重复试验时,概率是频 率的稳定值,频率是概率的近似值”. 错源三混淆互斥事件与对立事件 【典例3】 进行抛掷一枚骰子的试验,有
18、下列各组事件: (1)“出现1点”与“出现2点”. (2)“出现奇数点”与“出现偶数点”. (3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”. 其中是对立事件的组数是( ) A.0 C.2 B.1 D.3 错解 C 剖析 错解混淆了互斥事件与对立事件,误将互斥事件当作 了对立事件.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是 对立事件,而(1)“出现1点”与“出现2点”是互斥事件并 非对立事件,(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点” 不是互斥事件,所以它不是对立事件. 正解 B 评析 对立事件一定是互斥事件,而互斥事件却不一定是对 立事件. 技法一分类讨论思想 【典例1】 把一颗骰子投掷2次,
19、观察出现的点数,并记第一次 出现的点数为a,第二次出现的点数为b,已知方程组 ax by 3, x 2y 2. 解答下列各题. (1)求方程组只有一个解的概率; (2)求方程组只有正解的概率. 解题切入点 列出基本事件,建立概率模型. 解事件的基本事件有66 36(个). ax by 3, (2a b)x 6 2b, 由方程组可得 x 2y 2.(2a b)y 2a 3. 1 方程组只有一个解,需满足b 2a 0,即b 2a. 而b 2a的事件有 1,2 , 2,4 , 3, 6 ,共3个,故b 2a的事件 有33(个). 11 所以方程组只有一个解的概率P . 12 2 方程组只有正解, 6
20、 2b x y 0, 0. 2a b 2a 3 2a b 需满足b 2a 0且 2a b, 2a b, 33 即 a 或 a , 22 b 3. b 3. 包含的事件有13个 :(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1, 13 36 4),(1,5),(1,6).因此所求的概率为 . 技法二转化思想 【典例2】 如图所示,在一个体积为64 cm3的正方体木块表 面涂上红漆,然后锯成体积为1 cm3的小正方体,从中任取 一块,求这一块至少有一面涂有红漆的概率. 解 直接求“至少有一面涂有红漆”的概率比较困难,可以 转化为求其对立事件的概率,即求“未涂红漆”的小木块 的概率,经分析知未涂红漆的小木块有(4-2)3=8(个),故至少 一面涂有红漆的小木块有64-8=56(个),所以所求事件的概 率 56 7 P . 64 8
