1、第二讲 命题及其关系 充分条件与 必要条件 回归课本 1.命题 (1)一般地,我们把用语言 符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句叫命题,其中判断为真的语句叫真命题,判断为假 的语句叫假命题. (2)“若p则q”是数学中常见的命题形式,其中p叫做命题的 条件,q叫做命题的结论. (3)若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为若q则p,它的否 命题为若 p则 q,它的逆否命题为若 q则 p. (4)互为逆否的命题是等价的,它们同真同假,在同一个命题的 四种命题中,真命题的个数可能为0 2 4个. (5)否命题与命题的否定的区别: 首先,只有“若p则q”形式的命题才有否命题,其形式为“若 p则 q
2、.”其他形式的命题只有“否定”,而没有否命 题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而“若p则q”形式 的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反. 2.充要条件 (1)“若p则q”为真命题是指由p通过推理可以得出q,这时我 们就说由p可以推出q,记作p 条件,q是p的必要条件. q,并说p是q的充分 (2)若既有pq又由qp,则p是q的充分必要条件, 记作p q. (3)从集合的角度认识充分条件 必要条件. 设A B为两个集合,A=x|p(x),B=x|q(x) 则若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件; 若B A,则p是q的必要条件; 若A=B,则p是q的充要条件. (4“) q
3、p” “p q” “ ; p q” “q p”. 3.反证法证明命题的一般步骤 (1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定 假设错误,肯定结论成立. 反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或 结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中 含有“至多” “至少” “惟一” “不可能” “不都” 等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立. 考点陪练 1.若p是q的充分条件, r是q的必要条件,则 A.p r B.r p C.p r D.p r 解析: 是 的充分条件,p q, q p. 是 的必要条件, q r, r q,又q p, r p, 选
4、B. 答案:B 2.“m2”是“方程x2-mx+m+3=0的两根都大于1”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.不充分不必要条件 解析:设方程有两根x ,x ,则 0且x x m,x x m 3. 12121 2 x 1, x x 2, m 2, 1 1 2 m 2; (1) x 1, x x 1, m 3 1,2 1 2 又 即 解之得 或 0, : m 4m 12 0; m 6 m 2; 2 综上可知m6. (2)m2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m2不能 推出x 1且x 1. 12 由(1)(2)知m2是方程的两根都大于1的必要不充分条
5、件. 答案:B 3.(2010陕西)对于数列a ,“a |a |(n=1,2,)”是 nn+1n “a 为递增数列”的( ) n A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为a |a |a a a 为递增数列,但a 为递增 n+1nn+1nnn 数列a a 推不出a |a |,故“a |a |(n=1,2,)” n+1nn+1nn+1n 是“a 为递增数列”的充分不必要条件,选B. n 答案:B 4.(2010山东)设a 是等比数列,则“a a a ”是“数列 n123 a 是递增数列”的( ) n A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要
6、而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 a a q 解析:由题可知,若a a 0时,解得q1,此时数列a 是递增数列,当a 0时,解得 1n1 0q1,此时数列a 是递增数列;反之,若数列a 是递增 nn 数列,则a a a 成立,所以“a a b,则a2b2”的逆否命题; (3)“若x-3,则x2+x-60”的否命题; (4)“若ab是无理数,则a b是无理数”的逆命题. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解 (1)逆命题为“若x y互为相反数,则x+y=0”是真命题. (2)原命题为假,其逆否命题为假. (3)否命题为“若x-3,则x2+x-60”,假如x=4-3,
7、但x2+x- 6=140,故为假. (4)逆命题“若a b是无理数,则ab也是无理数”,假如 a 2)( 2 ,b 2, 则ab=2是有理数.故为假. 答案 B 反思感悟 判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需 证明. 类型二四种命题及其关系 解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命 题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:当判断一个 命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;原 命题 逆命题 否命题 逆否命题这四个命题中真命题的个 数可能是0个 2个 4个. 【典例2】 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 命题的否定,并判断它们的真假: (1)若q1,则方
8、程x2+2x+q=0有实根; (2)若xy=0,则x=0或y=0; (3)若x2+y2=0,则x、y全为0. 解 (1)原命题是真命题; 逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1,为真命题; 否命题:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根,为真命题; 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1,为真命题; 命题的否定:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题. (2)原命题为真命题; 逆命题:若x=0或y=0,则xy=0,是真命题; 否命题:若xy0,则x0且y0,是真命题; 逆否命题:若x0且y0,则xy0,是真命题; 命题的否定:若xy=0,则x0且y0,是假命题. (
9、3)原命题为真命题. 逆命题:若x、y全为0,则x2+y2=0,为真命题; 否命题:若x2+y20,则x、y不全为0,为真命题; 逆否命题:若x、y不全为0,则x2+y20,为真命题; 命题的否定:若x2+y2=0,则x、y不全为0,是假命题. 反思感悟 (1)注意:“都是”的否定是“不都是”,而不是“都 不是”,因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数” “x不是奇数y是奇数” “x、y都不是奇数”三种情况; “x=0或y=0”的否定是“x0且y0”,而不是“x0或y0”, 因为“x=0或y=0”包含“x=0且y0”、“x0且y=0” “x=0且y=0”三种情况. (2)要注意区别“
10、否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的 条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定. 类型三充分必要条件的判定与证明 解题准备:判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利 用定义:如果pq,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命 题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件; 如果qp,则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命 题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件;如果既有 pq,又有qp,记作pq,则p叫做q的充分必要条件,简称 充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立, 命题中的条件是充要的. 【典例3】 求证方程ax2+2x+1=0有且只有
11、一个负实数根的 充要条件是a0或a=1. 思路点拨 首先应从充分性和必要性两个方面进行证明,其 次要注意对参数a的分类讨论. 证明 充分性: 当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根. 当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1. 方程只有一负根. 1 0 当a0,方程有两个不相等的根,且 a ,方程有一正一负根. 必要性: 若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时,适合条件. 当a0时,方程ax2+2x+1=0有实根, 则=4-4a0,a1, 当a=1时,方程有一负根x=-1. a 1 则 , a 0. 若方程有且仅有一负根, 1 0 a 综上方
12、程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a0或 a=1. 反思感悟 (1)这类证明问题需要证明充分性和必要性两个 方面,因此应分清条件和结论,由条件证明结论成立是充分 性,由结论证明条件成立是必要性,不能将二者混淆;(2)涉及 一元二次方程根的问题,主要利用根的判别式进行求解,同 时不能忘记对x2项系数的分类讨论. 探究 是否存在实数p,使“4x+p0”的充 分条件?如果存在,求出p的取值范围. 分析 “4x+p0”是结论,先解出这两 个不等式,再探求符合条件的p的范围. 2 解x x 2 0的解是x 2或x 1,由4x p 0得 pp x .要想使x 时x 2或x 1成立,必须有
13、 44 pp 1,即p4,所以当p4时, 1 x 1 44 2 2 x x 2 0,所以p4时“, 4x p 0”是“x x 2 0” 的充分条件. 反思感悟 本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意 结合数轴确定p的范围. 错源一判断充分必要条件时不注意设问方式 【典例1】 使不等式2x2-5x-30成立的一个充分不必要条件 是( ) A.x0B.x2 D.x-或x3C.x-1,3,5 错解 由2x2-5x-30得x3或x-,当x3或x - 时能推出B 选项, 但当B选项成立时,不一定能推出x3或x - ,所以选B. 剖析 本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式,混淆了条 件和结论而导致的.
14、正确的理解是所选选项是2x2-5x-30 成立的充分不必要条件. 正解 依题意所选选项能使不等式2x2-5x-30成立,但当不 等式2x2-5x-30成立时,却不一定能推出所选选项.由于不 等式2x2-5x-30的解为:x3或x-,所以应选C. 答案 C 错源二四种命题的结构不明致误 【典例2】 写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆 命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假. 剖析 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命 题 否命题 逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一 个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b 不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”
15、. 正解 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命 题; 否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题; 逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题. 评析四种命题的结构与等价关系 如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则 A”,否命题是“若A,则B”,逆否命题是“若B,则A”. 这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等 价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题 的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它 们之间的等价关系. 技法一等价命题转化法 【典例1】 若p:x+y3,q:x1或y2.则p是
16、q的什么条件? 解 直接判断原命题“若p,则q”的真假比较难,但它的逆否 命题即“若x=1且y=2,则x+y=3”显然为真,故原命题也为 真,即pq. 逆命题的真假较难判断,但它的等价命题否命题“若x+y=3, 则x=1且y=2”显然为假,故逆命题也为假,即qp.所以p是 q的充分不必要条件. 方法与技巧 当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四 种命题的关系,对命题进行等价转换.常利用“原命题逆 否命题”,“否命题逆命题”.一些否定形式的命题常用 这种方法判定. 技法二快速解题(列表法) 【典例2】 有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛,组委会只 设一名特别奖.赛前观众A猜:不是1号就是2号能
17、获特别 奖;B猜:3号不可能获特别获:C猜:4 5 6号都不可能获特别 奖;D猜;能获特别奖的是4 5 6号中的一个,赛后结果表明, 四人中只有一人猜对了.问:谁猜对了?几号歌手获特别奖? 快解 将所猜能获奖的记为,不能获奖记为,由题意得下 表: 歌手 123456 观众 A B C D 从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对,是C猜对的,3 号歌手得了特别奖. 解题切入点 可由C D所猜入手.这两人所猜是对立的,但D 与B不能都对,因此,可以C猜对为前提进行推证. 分析思维过程 可以明显看出C D所猜是对立的.若C猜对了, 则B D都没猜对.再看A,A猜1号或2号,因为只有一个猜对, 就
18、不可能是1号或2号,只能是3号.如果是3号获特别奖,那么 A B D都没有猜对,只有C猜对了. 解 将A B C D四人猜的结果分别记为命题P P P P , ABCD 则P 与P 必一真一假.若P 为真,则P 也真,不合题意,则P CDDBC 应为真.由题意,则P 必为假.当P 假时,只有3号能获特别奖. AA 此时再看P P P P 四命题,只有P 是真的,符合题意.故 ABCDC C猜对了,3号获得特别奖. 得分主要步骤 本题主要是入手抓住C D所猜结果对立,必 有一人猜对.假设其中一人是对的,若推下去不合题意,则另 一人必对,于是思路清晰,结果渐趋明朗. 易丢分原因 如果切入点抓不准,则解答起来很乱,无头绪,当 然花费时间也较多,也难以得分.比较以上两种解法,前者显 然比后者优越得多.
