1、阿氏圆模型专题训练 阿氏圆（阿波罗尼斯圆）： 已知平面上两定点 A、B,则所有满足 PA/PB=k（k 不等于 1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹 最 先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造 斜 A 型相似（也叫母子型相似或美人鱼相似）+两点间线段最短解决带系数两线段之和的 最值问题。 观察下面的图形，当 P 在在圆上运动时，PA PB 的长在不断的发生变化，但它们的比值却始 终保 持不变。 解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。 如图，在 ABC 的边 AC 上找一点 D,使得 AD/AB=AB/AC 则此时 ABBAA
2、CB 已知/ ACB=90，CB=4,CA=6 C 半径为 2，P 为圆上一动点. 1 求 AP 2BP 的最小值为 1 求-AP BP 的最小值为 3 实战练习： 1、已知 O 半径为 1，AC BD 为切线， 试求/PC PD的最小值 2 1 2、已知点 A （4，0），B （4, 4），点 P 在半径为 2 的 O 上运动，试求AP BP 的最小值 2 母子型相似（共角共边） X 、B 那么如何应用阿氏圆的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢？我们来看一道基本题目 3、已知点 A(-3,0) , B( 0,3 ), C (1,0 ),若点 P 为。C 上一动点，且。C 与 y 轴相切,
3、4、如图 1,在平面直角坐标系 xoy 中，半交 x 轴与点AB(2,0)两点，AD BC 均为半。O 的切线，AD=2 BC=7. (1)求 0D 的长； (2) 如图 2,若点 P 是半。0 上的动点，Q 为 0D 的中点.连接 PO PQ. 求证： OPGAODP; 是否存在点 P,使 PD 、2PC 有最小值，若存在，试求出点 P 的坐标; 5、(1)如图 1,已知正方形 ABC 的边长为 4,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个动点， 11 求 PD -PC 的最小值和 PD - PC 的最大值. 22 如图 2,已知正方形 ABCD 勺边长为 9,圆 B 的半径为 6,
4、点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 22 PD PC 的最小值为_; PD PC 的最大值为_ 33 (3)如图 3,已知菱形 ABCD 勺边长为 4,/ B=60,圆 B 的半径为 2.点 P 是圆 B 上的一个 11 动点.那么 PDPC 的最小值为 _; PD PC 的最大值为 _ 22 若不存在，请说明理由 AD 巩固练习: 1 如图，在 RtAABC 中，, 1 / ACB= 90 ,CB= 4 , CA= 6,圆 C 半径为 2 , P 为圆上一动点，连接 AP, BP,AP 最小值为() A、37B6C、2 . 17D、4 的最小值为_ 4、在平面直角坐标系中，A(2 , 0)
5、 , B (0 , 2), C (4 , 0), D (3 , 2) ,P 是厶 AOB 外部的第一象限内一 动点，且 B 与 AC 相切，点 P 为圆 B 上任一动点, 则PA 3、如图，菱形 ABCD 的边长为 2,锐角大小为 60 OA 与 BC 相切于点 E,在OA 上任取一点 P,则PB J3 2 PD AB= CB= 2,以点 B 为圆心作圆2、 彳PC的最小值是 A D 1 第四步：在 0D 上取点 M,使得 OM OP 5、( 1)如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 4 ,圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD - PC 的最小值和PD 1PC 的最
6、大值. 2 (2)如图 2,已知正方形 ABCD 的边长为 9,圆 B 的半径为 6,点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD - PC 3 的最小值和PD 2 PC的最大值. 3 (3)如图 3,已知菱形 ABCD 的边长为 4 , / B = 90圆 B 的半径为,2 ,点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD - PC 2 的最小值和PD 1PC 的最大值. 2 图 1图 2 套路总结 阿氏圆基本解法：构造相似 阿氏圆一般解题步骤：PC kPD 第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD 长度; 第三步：计算这两条线段长度的比 竺m； OD 第一步：连接动点至圆心O (将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接 OP、OD; 图 3 如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90, CB=4, CA=6, C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP, 2如图，半圆的半径为1, AB 为直径, AC BD 为切线，AC=1, BD=2, P 为止上一动点，求 POPD 的最小值. 第五步：连接 CM，与圆 0 交点即为点 P. 如图，点/、在O上，且d =OB=2, 冃.0.4丄OB 点C是Q4的中点，点D在OB上， R 00=10.动点尸在GO上，则PC+PD的谥 乙 小值为_. ”
