1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（全国卷 2） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试 结束后 ， 将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 1 2i1 2i? ? A 43i55? B 43i55? C 34i55? D 34i55? 2已知集合 ? ? ?22 3A x y x y x y? ? ? ?ZZ， ， ，则 A 中元素的个数为 A
2、9 B 8 C 5 D 4 3函数 ? ?2eexxfx x ? 的图像大致为 4已知向量 a ， b 满足 | | 1?a ， 1? ?ab ，则 (2 )? ? ?a a b A 4 B 3 C 2 D 0 5双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 A 2yx? B 3yx? C 22yx?D 32yx?6在 ABC 中， 5cos25C?， 1BC? ， 5AC? ，则 AB? A 42 B 30 C 29 D 25 7为计算 1 1 1 1 11 2 3 4 9 9 1 0 0S ? ? ? ? ? ? ?，设计了右侧的程序框
3、图，则在空白框中应填入 =【 ;精品教育资源文库 】 = A 1ii? B 2ii? C 3ii? D 4ii? 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和 ” ，如 30 7 23? 在不超过 30的素数中，随 机选取两个不同的数，其和等于 30的概率是 A 112 B 114 C 115 D 118 9在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， 1AB BC?， 1 3AA? ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦值为 A 15 B 56C 55D 2210若 ( ) cos sinf x x
4、x?在 , aa? 是减函数，则 a 的最大值是 A 4 B 2 C 34 D 11已知 ()fx是定义域为 ( , )? 的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x? ? ? 若 (1) 2f ? ，则 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 5 0 )f f f f? ? ? ? ? A 50? B 0 C 2 D 50 12已知 1F ， 2F 是椭圆 22 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?： 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率 为 36的直线上， 12PFF 为等腰三角形 ， 12 120FFP? ? ? ，则 C 的离心率为 A 23 B
5、 12 C 13 D 14 二、 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13曲线 2ln( 1)yx?在点 (0,0) 处的切线方程为 _ 14若 ,xy满足约束条件 2 5 02 3 050xyxyx? ? ? ? ?，则 z x y? 的最大值为 _ 15已知 sin cos 1 ?， cos sin 0 ?，则 sin( ) ?_ 16已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 所成角的余弦值为 78 ， SA 与圆锥底面所成角为 45 ，若 SAB 的开 始0 , 0N T? ?S N T? ?S输 出1i ?1 0 0i ?1N Ni? ?11T Ti? ?结 束是
6、否=【 ;精品教育资源文库 】 = 面积为 515 ，则该圆锥的侧面积为 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 为选考题 ， 考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（ 12分） 记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知 1 7a? ， 3 15S? （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）求 nS ，并求 nS 的最小值 18（ 12分） 下图是某地区 2000年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018年的环境基础设施投
7、资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000年至 2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 1 2 17， ， ， ）建立模型 ： ? 30.4 13.5yt? ? ；根据 2010年至 2016年的数据（时间 变量 t 的值依次为 1 2 7， ， ， ）建立模型 ： ? 99 17.5yt? （ 1）分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值； （ 2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（ 12分） 设抛物线 2 4C y x?： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)kk? 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点
8、， | | 8AB? （ 1）求 l 的方程； （ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 20（ 12分） 如图，在三棱锥 P ABC? 中， 22AB BC? ， 4PA PB PC AC? ? ? ?， O 为 AC 的中点 （ 1）证明： PO? 平面 ABC ； =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C?为 30? ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 PAOCBM21（ 12分） 已知函数 2( ) exf x ax? （ 1）若 1a? ，证明：当 0x? 时， ( ) 1fx? ； （ 2）若 ()fx在
9、(0, )? 只有一个零点，求 a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2cos4sinx y ? ? ，（ 为参数），直线 l 的参数方程为 1 cos2 sinxtyt? ? ， （ t 为参数） （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分） 设函数 ( ) 5 | | | 2 |f x x a
10、x? ? ? ? ? （ 1）当 1a? 时，求不等式 ( ) 0fx? 的解集； （ 2）若 ( ) 1fx? ，求 a 的取 值范围 参考答案 一、选择题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D 二、填空题 13. 2yx? 14.9 15. 12? 16.40 2 三、解答题 17. (12分 ) 解：（ 1）设 na 的公差为 d，由题意得 13 3 15ad? ? . 由 1 7a? 得 d=2. 所以 na 的通 项 公式为 29nan?. （ 2）由（ 1）得 228 ( 4 ) 1
11、6nS n n n? ? ? ? ?. 所以当 n=4时 , nS 取得最小值 ,最小值为 ?16. 18.(12分 ) 解：（ 1）利用模型 ,该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ? 3 0 .4 1 3 .5 1 9 2 2 6 .1y ? ? ? ? ?(亿元 ). 利 用模型 ,该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ? 9 9 1 7 .5 9 2 5 6 .5y ? ? ? ?(亿元 ). （ 2）利用模型 得到的预测值更可靠 . 理由如下： （ ）从折线图可以看出 ,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 30.4 13.5yt? ?
12、 上下 .这说明利用 2000年至 2016年的数据建立的线性模型 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 .2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势 ,利用 2010年至 2016年的 数据建立的线性模型 ? 99 17.5yt? 可以较好地描述 2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势 ,因此利用模型 得到的预测值更可靠 . （ ）从计算结果看 ,相对于 2016年的环境基础设施投资额 220亿元 ,由模型 得到的预测值 226.1
13、亿元的增幅明显偏低 ,而利用模型 得到的预测值的增幅比较合理 .说明利用模型 得到的预测值更可=【 ;精品教育资源文库 】 = 靠 . 以上给出了 2种理由 ,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 . 19.(12 分 ) 解：（ 1）由题意得 (1,0)F ， l的方程为 ( 1)( 0)y k x k? ? ?. 设 1 2 21( , ), ( , )Ay x yx B ， 由2( 1),4y k xyx? ?得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k? ? ? ?. 216 16 0k? ? ? ?， 故122224kx kx ?. 所以122244| | | | |
14、 | ( 1 ) ( 1 )x kA B A F B F kx ? ? ? ? ? ? ?. 由题设知 22448kk? ?， 解得 1k? （舍去）， 1k? . 因此 l的方程为 1yx?. （ 2）由（ 1）得 AB 的中点坐标为 (3,2) ， 所以 AB的垂直平分线方程为 2 ( 3)yx? ? ? ， 即 5yx? ? . 设所求圆的圆心坐标为 00( , )xy ， 则 0022 0005,( 1 )( 1 ) 1 6 .2yxyxx? ? ? ? ? ?解得 003,2xy? ?或 0011,6.xy ? ?因此所求圆的方程为 22( 3) ( 2 ) 1 6xy? ? ? ?
15、或 22( 1 1) ( 6 ) 1 4 4xy? ? ? ?. 20.(12 分 ) 解：（ 1）因为 4AP CP AC? ? ?， O 为 AC 的中点，所以 OP AC? ，且 23OP? . 连结 OB .因为 22AB BC AC? ，所以 ABC 为等腰直角三角形， 且 OB AC? ， 1 22OB AC?. 由 2 2 2OP OB PB?知 PO OB? . 由 ,OP OB OP AC?知 PO? 平面 ABC . =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 2）如图，以 O 为坐标原点， OBuur 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O xyz? . 由已知得 (
16、0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 3 ), ( 0 , 2 , 2 3 ) ,O B A C P A P? u u ur取平面 PAC 的法向量 (2,0,0)OB?uuur . 设 ( , 2 , 0 )(0 2 )M a a a? ? ?，则 ( , 4 , 0)AM a a?uuur . 设平面 PAM 的法向量为 ( , , )x y z?n . 由 0, 0AP AM? ? ? ?uuur uuurnn得 2 2 3 0(4 ) 0yzax a y? ? ? ?，可取 (
17、 3 ( 4 ), 3 , )a a a? ? ?n ， 所以2 2 22 3 ( 4 )c o s , 2 3 ( 4 ) 3aOB a a a? ? ? ?u uur n .由已知得 3| cos , | 2OB ?uuur n . 所以2 2 22 3 | 4 | 3= 22 3 ( 4 ) 3aa a a? ? ?.解得 4a? （舍去）， 43a? . 所以 8 3 4 3 4( , , )3 3 3? ? ?n .又 (0, 2, 2 3)PC ?uuur ，所以 3cos , 4PC ?uuur n . 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 34 . 21 （ 12 分） 【解析】（ 1）当 1a? 时， ( ) 1fx? 等价于 2( 1)e 1 0xx ? ? ? 设函数 2( ) ( 1)e 1xg x x ? ? ?，则 22( ) ( 2 1 ) e ( 1 ) exxg x x x x? ? ? ? ? ? ? 当 1x? 时， ( ) 0g x ? ，所以 ()gx在 (0, )? 单调递减 =【 ;精品教育资源文库 】 = 而 (
