1、10.4随机事件的概率与古典概型随机事件的概率与古典概型 考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率 的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些 随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 1概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)nA n 为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某 个常数附近
2、摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小，并 把这个常数称为随机事件 A 的概率，记作 P(A) 2事件的关系与运算 定义符号表示 包含关系 若事件 A 发生，事件 B 一定发生，则称事件 B 包含事 件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA(或 AB) 相等关系若 BA 且 AB，则称事件 A 与事件 B 相等AB 并事件(和 事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生， 则 称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) AB(或 AB) 交事件(积 事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生， 则 称此事件为事件 A
3、 与事件 B 的交事件(或积事件) AB(或 AB) 互斥事件AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，则称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB 且 P(AB) P(A)P(B)1 3概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0P(A)1. (2)必然事件的概率 P(E)1. (3)不可能事件的概率 P(F)0. (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)1P(B) 4古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古
4、典概率模型，简称古典概型： (1)所有的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件的发生都是等可能的 5古典概型的概率公式 P(A)A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 微思考 1随机事件 A 发生的频率与概率有何区别与联系？ 提示随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试 验中，事件 A 发生的频率稳定在事件 A 发生的概率附近 2随机事件 A，B 互斥与对立有何区别与联系？ 提示当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立；当随机事件 A，B 对立时，一定互斥也即两 事件互斥是两事件对立的必要不充分条件 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中
5、打“”或“”) (1)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值() (2)两个事件的和事件是指两个事件都得发生() (3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事 件() (4)试验“口袋中有 2 个红球，2 个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红 球”是古典概型() 题组二教材改编 2下列事件中，不是随机事件的是() A长度为 3,4,5 的三条线段可以构成一个直角三角形 B经过有信号灯的路口，遇上红灯 C下周六是晴天 D一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上 答案A 3某射手在一次射击中，射中 10 环，9 环，8 环的概率分别是 0.2,0.3,
6、0.1，则该射手在一次 射击中不够 8 环的概率为() A0.9B0.3C0.6D0.4 答案D 解析设“该射手在一次射击中不够 8 环”为事件 A， 则事件 A 的对立事件 A 是“该射手在 一次射击中不小于 8 环” 事件 A 包括射中 10 环，9 环，8 环，这三个事件是互斥的， P( A )0.20.30.10.6， P(A)1P( A )10.60.4，即该射手在一次射击中不够 8 环的概率为 0.4. 4甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则甲赢的概率为_ 答案 1 3 解析设平局(用表示)为事件 A，甲赢(用表示)为事件 B，乙赢(用表示)为事件 C.容易 得到如图 甲赢含
7、 3 个基本事件(图中的)，P(B)3 9 1 3. 题组三易错自纠 5安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三 天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为() A. 1 15 B.1 5 C.1 4 D.1 2 答案B 解析由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第 13 天，第 24 天，第 35 天，第 46 天，共四种情况，所求概率 P 4A33 C36A33 1 5.故选 B. 6抛掷一枚骰子，记 A 为事件“出现点数是奇数”，B 为事件“出现点数是 3 的倍数”，则 P(AB)_，P(AB)_. 答案 2 3 1 6 解
8、析由题意知，事件 A 表示“出现的是 1 点，3 点或 5 点”；事件 B 表示“出现的是 3 点 或 6 点” 所以事件 AB 表示“出现的是 1 点，3 点，5 点或 6 点”，包含 4 个基本事件；事件 AB 表示“出现的是 3 点”，包含 1 个基本事件 又抛掷一枚骰子的结果有 6 种， 所以 P(AB)4 6 2 3，P(AB) 1 6. 题型一 随机事件 命题点 1随机事件的关系 例 1 (1)从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件，下列事件是互斥事件但不是对 立事件的是() A恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品 B至少有 1 件次品和全是次品 C至少有 1
9、件正品和至少有 1 件次品 D至少有 1 件次品和全是正品 答案A 解析依据互斥和对立事件的定义知，B，C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对 立事件；只有 A 是互斥事件但不是对立事件 (2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是() A恰有一次击中B三次都没击中C三次都击中D至多击中一次 答案D 解析根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中 三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次” 命题点 2随机事件的频率与概率 例 2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶
10、6 元， 未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求 量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气 温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六 月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份
11、一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 解(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表中数据可知， 最高气温低于 25 的频率为21636 90 0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温低于 20，则 Y2006(450200)24504100； 若最高气温位于区间20,25)，则 Y3006(450300)24504300； 若最高气温不低于 25，则 Y450(6
12、4)900， 所以，利润 Y 的所有可能值为100,300,900. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为 362574 90 0.8. 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 命题点 3互斥事件与对立事件的概率 例 3 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得，1 000 张奖券为一个开奖 单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个记 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖 的事件分别为 A，B，C，求： (1)1 张奖券的中奖概率； (2)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解(1)设“1 张奖券中奖
13、”为事件 M，则 MABC， 依题意，P(A) 1 1 000，P(B) 10 1 000，P(C) 50 1 000， 因为 A，B，C 两两互斥， 所以 P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)11050 1 000 61 1 000. 故 1 张奖券的中奖概率为 61 1 000. (2)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中 一等奖”为对立事件， 所以 P(N)1P(AB)1 1 1 000 10 1 000 989 1 000. 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989 1 000. 思维升华 (1)判断互斥事件、对立
14、事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件； 若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件对立事件一定是互斥事件 (2)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的增加 越来越接近概率， 而概率是一个确定的值， 通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小， 有时也用频率作为随机事件概率的估计值 (3)求复杂互斥事件的概率的两种方法：将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利 用互斥事件概率的加法公式求解概率若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的 和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难 则反”的思想
15、常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率 跟踪训练 1 (1)袋中装有 3 个白球和 4 个黑球，从中任取 3 个球，给出下列四组事件：“恰 有 1 个白球”和“全是白球”；“至少有 1 个白球”和“全是黑球”；“至少有 1 个白 球”和“至少有 2 个白球”；“至少有 1 个白球”和“至少有 1 个黑球”在上述每组事 件中，互为对立事件的是() ABCD 答案B 解析互斥但不对立；互为对立事件，不是互斥事件，不是互斥事件 (2)某学校共有教职工 120 人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表： 本科研究生合计 35 岁以下403070 3550 岁271340 50 岁以上8
16、210 现从该校教职工中任取 1 人，则下列结论正确的是() A该教职工具有本科学历的概率低于 60% B该教职工具有研究生学历的概率超过 50% C该教职工的年龄在 50 岁以上的概率超过 10% D该教职工的年龄在 35 岁及以上且具有研究生学历的概率超过 10% 答案D 解析A 中，该教职工具有本科学历的概率 P 75 120 5 862.5%60%，故错误；B 中，该教 职工具有研究生学历的概率 P 45 120 3 837.5%50%，故错误；C 中，该教职工的年龄在 50 岁以上的概率 P 10 120 1 128.3%10%，故正确 (3)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为1
17、 6，事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”，事 件 B 表示“出现小于 5 的点数”，则一次试验中，事件 A B ( B 表示事件 B 的对立事件) 发生的概率为() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.5 6 答案C 解析事件 B 表示“小于 5 的点数出现”， B 的对立事件 B 是“大于或等于 5 的点数出现”， B 表示的事件是出现的点数为 5 或 6. 事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，它包含的事件是出现的点数为 2 或 4， P(A)2 6 1 3，P( B )2 6 1 3，P(A B )P(A)P( B )1 3 1 3 2 3. 题型二 古典概型 1算盘是中国
18、传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项 伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具“珠算”一词最 早见于东汉徐岳所撰写的数术记遗 ，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才”北周甄鸾 为此作注，大意是：把木板刻为 3 部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位 用的如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠(简 称上珠)代表 5，下面一粒珠(简称下珠)是 1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小现 在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨 2 粒下珠，算盘表示的数为质数 (除了 1 和本身没有其它
19、的约数)的概率是() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.1 6 答案A 解析由题意可知，算盘所表示的数可能有：7,16,25,52,61,70， 其中是质数的有：7,61，故所求事件的概率为 P2 6 1 3. 2(2020江苏)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_ 答案 1 9 解析列表如下： 第一次 和 第二次 123456 1234567 2345678 3456789 45678910 567891011 6789101112 点数的和共有 36 种等可能情形， 其中和为 5 的共有 4 种情形， 由古典概型的概率公式可得点 数和
20、为 5 的概率 P 4 36 1 9. 3(2020湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学联考)从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人，从中随机抽取 2 个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率 是_ 答案 2 3 解析从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人，从中随机抽取 2 个人进行位置调换，则经过两 次这样的调换，基本事件总数为 nC23C239，从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人，从中 随机抽取 2 个人进行位置调换，第一次调换后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲， 第二次调换后甲在乙左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲乙丙、丙甲 乙， 经过两次
21、这样的调换后， 甲在乙左边包含的基本事件个数 m6， 经过这样的调换后， 甲在乙左边的概率 Pm n 6 9 2 3. 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的 个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法以及 排列、组合法 题型三 古典概型与统计的综合应用 例 4 某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本 课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)现统计了某班 50 名学生一周用在兴 趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照0,2)，2,4)，4,6)，6,8)，8,1
22、0分成五组，得 到了如下的频率分布直方图 (1)求频率分布直方图中 m 的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间； (2)从4,6)，6,8)两组中按分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求恰有 1 人在6,8)组中的概率 解(1)由频率分布直方图可得 0.0620.0820.222m0.0621，所以 m0.1， 学生的平均学习时间为 10.1230.1650.470.290.125.08. (2)由频率分布直方图可得，4,6)中有 20 人，6,8)中有 10 人，根据分层抽样，需要从4,6)中 抽取 4 人，分别记为 A1，A2，A3，A4，从6,8)中抽
23、取 2 人，分别记为 B1，B2，再从这 6 人中 随机抽取 2 人，所有的抽取方法有 A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2， A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2共 15 种，其中恰有一人在6,8)组中的抽取方法有 A1B1， A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2共 8 种，所以，从这 6 人中随机抽取 2 人，恰有 1 人在6,8)组中的概率为 8 15. 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型， 已成为高考考查 的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还
24、是利用频数分布表、频率分布直方图、茎 叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键 跟踪训练 2 空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空 气质量按照 AQI 大小分为六级：050 为优；51100 为良；101150 为轻度污染；151 200 为中度污染；201300 为重度污染；300 为严重污染一环保人士记录了某地 2020 年 某月 10 天的 AQI 的茎叶图如图所示 (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数；(按这个月总共有 30 天计算) (2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中，随
25、机地抽取两天深入分析各种污染指 标，求这两天的空气质量等级恰好不同的概率 解(1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为 1，空气质量良的天数为 3，故该样本 中空气质量优良的频率为 4 10 2 5，估计该月空气质量优良的概率为 2 5，从而估计该月空气质量 优良的天数为 302 512. (2)该样本中为轻度污染的共 4 天，分别记为 a1，a2，a3，a4； 为中度污染的共 1 天，记为 b；为重度污染的共 1 天，记为 c. 从中随机抽取两天的所有可能结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)， (a2，a4)，(a2，b)，(a
26、2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共 15 个 其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)， (a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共 9 个 所以这两天的空气质量等级恰好不同的概率为 9 15 3 5. 课时精练课时精练 1从 6 个篮球，2 个排球中任选 3 个球，则下列事件中是必然事件的是() A3 个都是篮球B至少有 1 个排球 C3 个都是排球D至少有 1 个篮球 答案D 解析根据题意分析可得 A，B 是随机事件，C 是不可能事件，D 是必然事件 2(
27、2020全国)设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为() A.1 5 B.2 5 C.1 2 D.4 5 答案A 解析从 O，A，B，C，D 这 5 个点中任取 3 点，取法有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A， D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C， D)，共 10 种，其中取到的 3 点共线的有(O，A，C)，(O，B，D)，共 2 种，所以所求概率为 2 10 1 5. 3(2020重庆模拟)第六届世界互联网大会发布了 15 项世界互联网领先科
28、技成果，其中有 5 项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏 920、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端 AI 芯片、思元 270、赛灵思的 Versa 自适应计算加速平台现有 3 名学生从这 15 项世界互联网 领先科技成果中分别任选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有 1 名学生选 择芯片领域的概率为() A.89 91 B. 2 91 C. 98 125 D.19 27 答案D 解析现有 3 名学生从这 15 项世界互联网领先科技成果中分别任选 1 项进行了解，且学生之 间的选择互不影响，则基本事件总数 n1515153 375，至少有 1 名学生选择芯片领域的 对立事件是没
29、有学生选择芯片领域， 则至少有 1 名学生选择芯片领域的概率 P1 103 3 375 19 27. 4(2021西安模拟)现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活 动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为() A.1 2 B.1 3 C.1 6 D. 1 12 答案B 解析基本事件总数 nC 2 4C22 A22 A226， 乙、 丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数 m C22C22A222，乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率 Pm n 2 6 1 3. 5围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为1 7，都是白子的概率 是12 3
30、5，则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是( ) A.1 7 B.12 35 C.17 35 D1 答案C 解析设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A，“从中取出 2 粒都是白子”为事件 B，“任 意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 CAB，且事件 A 与 B 互斥所以 P(C)P(A) P(B)1 7 12 35 17 35.即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为 17 35. 6(多选)下列说法正确的是() A若事件 A 与 B 互斥，则 AB 是必然事件 B 西游记 三国演义 水浒传 红楼梦是我国四大名著若在这四大名著中，甲、 乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件 E“甲
31、取到红楼梦”，事件 F“乙取到 红楼梦”，则 E 与 F 是互斥但不对立事件 C掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件 A“向上的点数不大于 5”，事件 B“向上 的点数为质数”，则 BA D10 个产品中有 2 个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有 2 个基本事件 答案BCD 解析对于 A，事件 A 与 B 互斥时，AB 不一定是必然事件，故 A 不正确；对于 B，事件 E 与 F 不会同时发生，所以 E 与 F 是互斥事件，但除了事件 E 与 F 之外还有“丙取到红楼 梦”“丁取到红楼梦”， 所以 E 与 F 不是对立事件， 故 E 与 F 是互斥但不对立事件， B 正确； 对于 C，
32、事件 A1,2,3,4,5，事件 B2,3,5，所以 B 包含于 A，C 正确；对于 D，基本事 件为(正品，次品)，有 2 个，故 D 正确 7 (2019江苏)从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务， 则选出的 2 名同 学中至少有 1 名女同学的概率是_ 答案 7 10 解析记 3 名男同学为 A，B，C,2 名女同学为 a，b，则从中任选 2 名同学的情况有(A，B)， (A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共 10 种，其 中至少有 1 名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，
33、(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共 7 种，故所求概率为 7 10. 8据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为 0,1,2 的概率分别为 0.4,0.5,0.1.则该 企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率为_ 答案0.9 解析方法一记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为 0”为事件 A，“该食品 企业在一个月内被消费者投诉的次数为 1”为事件 B，“该食品企业在一个月内被消费者投 诉的次数为2”为事件C， “该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D， 而事件 D 包含事件 A 与 B，所以 P(D)P(A)P(B)0.40.50.9. 方
34、法二记“该食品企业在一个月内被消费者投拆的次数为 2”为事件 C，“该食品企业在 一个月内被消费者投诉不超过 1 次”为事件 D，由题意知 C 与 D 是对立事件，所以 P(D)1 P(C)10.10.9. 9将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰 好有 1 名同学”的概率是_ 答案 1 4 解析A，B，C，D 4 名同学排成一排有 A4424(种)排法当 A，C 之间是 B 时，有 22 4(种)排法，当 A，C 之间是 D 时，有 2 种排法，所以所求概率为42 24 1 4. 10已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身
35、份证收起来后，再随机分给甲、乙、 丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为_ 答案 1 2 解析甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、 丙每人一张，基本事件总数 nA336，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数 m C13C11C113，所以恰有一人取到自己身份证的概率为 Pm n 3 6 1 2. 11海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种 商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样 品进行检测 地区ABC 数量50150100 (1)求这 6 件样品中来自 A，
36、B，C 各地区商品的数量； (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区 的概率 解(1)A，B，C 三个地区商品的总数量为 50150100300，抽样比为 6 300 1 50， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50 1 501,150 1 503,100 1 502. 所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2. (2)方法一设 6 件来自 A，B，C 三个地区的样品分别为 A；B1，B2，B3；C1，C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，
37、(A， C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3， C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共 15 个 每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的 记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相同地区”， 则事件 D 包含的基本事件有(B1， B2)， (B1， B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共 4 个 所以 P(D) 4 15， 即这 2 件商品来自相同地区的概率为 4 15. 方法二这 2 件商品来自相同地区的概率为C 2 3C22 C26 31 15 4 15. 1
38、2某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员，某些队员不止参加一支球队，具 体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求： (1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率 解分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件 A，B，C.由图知 3 支球队共有球员 20 名 则 P(A) 5 20，P(B) 3 20，P(C) 4 20. (1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 D. 则 DABC，因为事件 A，B，C 两两互斥， 所以 P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 5 20 3 20 4 20 3 5. (2)令“抽取一
39、名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 E，则 E 为“抽取一名队员，该队 员属于 3 支球队”，所以 P(E)1P( E )1 2 20 9 10. 13已知 A1,2,3，BxR|x2axb0，aA，bA，则 ABB 的概率是() A.2 9 B.1 3 C.8 9 D1 答案C 解析因为 aA，bA，所以可用列表法得到基本事件的个数为 9(如下表所示) a b 123 1(1,1)(1,2)(1,3) 2(2,1)(2,2)(2,3) 3(3,1)(3,2)(3,3) 因为 ABB，所以 B 可能是，1，2，3，1,2，1,3，2,3 当 B时，a24b0，满足条件的 a，b 为 a1，
40、b1,2,3；a2，b2,3；a3，b3. 当 B1时，满足条件的 a，b 为 a2，b1. 当 B2，3时，没有满足条件的 a，b. 当 B1,2时，满足条件的 a，b 为 a3，b2. 当 B2,3，1,3时，没有满足条件的 a，b. 综上，符合条件的结果有 8 种 故所求概率为8 9. 14(2020衡水联考)某省高考数学多选题有 A，B，C，D 四个选项，在给出选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的不得分已知某道数学多 选题正确答案为 B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能 得分的概率为_ 答案 1 5 解析随机地
41、填涂了至少一个选项共有 C14C24C34C4415(种)涂法， 得分的涂法为 3 种， 故他能得分的概率为1 5. 15.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 223 的长方体框架，一个建筑工人欲 从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为() A.1 7 B.2 7 C.3 7 D.4 7 答案B 解析根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走 3 次向上，2 次向右，2 次向前，共 7 次，所以最近的行走路线共有 A775 040(种)因为不能连续向上， 所以先把不向上的次数排列起来，也就是 2 次向右和 2 次向前全排列为
42、A44.接下来，就是把 3 次向上插到 4 次不向上之间的空当中，5 个位置排 3 个元素，也就是 A35，则最近的行走路线 中不连续向上攀登的路线共有 A44A351 440(种)， 所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的 概率 P1 440 5 040 2 7. 16(2021绵阳模拟)在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有 4 个 小球，小球上分别写 有 0,1,2,3 的数字， 小球除数字外其他完全相同， 每对亲子中， 家长先从盒子中取出一个小球， 记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回 抽奖活动的奖励规则是： 若取出的两个小球上
43、数字之积大于 4，则奖励飞机玩具一个； 若取出的两个小球上数字之积在区间1,4内，则奖励汽车玩具一个； 若取出的两个小球上数字之积小于 1，则奖励饮料一瓶 (1)求每对亲子获得飞机玩具的概率； (2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由 解(1)基本事件总数有 16 种，分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)， (2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)； 记“获得飞机玩具”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件有 3 种，分别为(2,3)，(3,2)，(3,3) 每对亲子获得飞机玩具的概率 P(A) 3 16. (2)记“获得汽车玩具”为事件 B，“获得饮料”为事件 C， 事件 B 包含的基本事件有 6 个，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)， 每对亲子获得汽车玩具的概率 P(B) 6 16 3 8， 每对亲子获得饮料的概率 P(C)1P(A)P(B) 7 16. 3 8 7 16，每对亲子获得汽车玩具的概率小于获得饮料的概率
