1、第第 3 课时课时函数性质的综合问题函数性质的综合问题 题型一 函数的单调性与奇偶性 例 1 (1)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)ln xex.若 af()，bf(log23)，c f(2 0.2)，则 a，b，c 的大小关系为( ) AbacBcba CabcDacb 答案C 解析当 x0 时，f(x)ln xex为增函数， f(x)的图象关于 y 轴对称，且在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，af() f()， 又3log2312 0.20， f()f(log23)f(2 0.2)， abc. (2)(2020新高考全国)若定义在 R 上的奇函数 f(
2、x)在(，0)上单调递减，且 f(2)0，则满 足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是() A1,13，)B3，10,1 C1,01，)D1,01,3 答案D 解析因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 则 f(0)0. 又 f(x)在(，0)上单调递减，且 f(2)0， 画出函数 f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数 f(x1)的大致图象如图(2)所示 当 x0 时，要满足 xf(x1)0，则 f(x1)0， 得1x0. 当 x0 时，要满足 xf(x1)0，则 f(x1)0， 得 1x3. 故满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是1,01,3 高考改编题若函数 f(x)是
3、定义域为 R 的奇函数，f(2)0，且在(0，)上单调递增，则满 足 f(x1)0 的 x 的取值范围是_，满足fx x 0 的 x 的取值范围是_ 答案1,13，)(2,0)(0,2) 解析由函数 f(x)的性质，作出函数 f(x)的大致图象如图所示， f(x1)0，则2x10 或 x12， 解得1x1 或 x3. 当fx x 0 时，xf(x)0，即 f(x)的图象在二、四象限， 即2x0 或 0 xf(x2)或 f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的性质，画出 f(x)的图象，利用图 象解不等式 跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x)满足以下两个条件： 任意 x
4、1， x2(0， )且 x1x2， (x1x2)f(x1) f(x2)0；对定义域内任意 x 有 f(x)f(x)0，则符合条件的函数是() Af(x)2xBf(x)1|x| Cf(x)x3Df(x)ln(x23) 答案C 解析由知 f(x)在(0，)上单调递减，由知 f(x)为奇函数 (2)已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1)f 1 3 的 x 的取值范围是 _ 答案 1 3， 2 3 解析依题意有 f(x)在0，)上单调递增，在(，0上单调递减，|2x1|1 3， 即1 32x1 1 3，解得 1 3x 2 3. 题型二 函数的奇偶性与周期性 例 2 (1)(2
5、021德州联考)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)， 当 0 x1 时， f(x) x2，则 f(2 023)等于() A2 0192B1C0D1 答案D 解析根据题意，函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，则有 f(x4)f(x2)f(x)，即函数是周 期为 4 的周期函数，则 f(2 023)f(12 024)f(1)，又函数 yf(x)为奇函数，且 x0,1 时，f(x)x2，则 f(1)f(1)1，故 f(2 023)1. (2)(多选)(2021济南模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上 单调递增，则() Af
6、(2 019)f(2 017)Bf(2 019)f(2 020) Cf(2 020)f(2 018) 答案AC 解析因为 f(x)满足 f(x4)f(x)， 所以 f(x8)f(x)， 所以 f(x)是以 8 为周期的函数，则 f(2 017)f(1)，f(2 018)f(2)， 而由 f(x4)f(x)得 f(2 019)f(3)f(3)f(14)f(1)，f(2 020)f(4)f(0)0， 又因为 f(x)在0,2上单调递增， 所以 f(2)f(1)f(0)0，即 f(2 019)f(2 017)，f(2 020)f(2 019) 思维升华 已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性
7、及周期性进行变换，将所有函 数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间 上的函数性质求解 跟踪训练 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x)，则 f(2 020)f(2 021)_. 答案0 解析依题意 f(x)为奇函数，且周期为 2， f(2 020)f(2 021)f(0)f(1)， f(x)为奇函数，f(0)0，且 f(1)f(1)， 又周期为 2，f(1)f(1)， 由解得 f(1)f(1)0， f(2 020)f(2 021)0. (2)已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3
8、，则实数 a 的取值范 围是_ 答案(，2) 解析f(x)为偶函数，且周期为 3， f(5)f(56)f(1)f(1)， f(1)1，f(5)2a31， 即 a2. 题型三 函数的奇偶性与对称性 例 3 (1)已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且满足 f(4x)f(x)，则 f(x)的周期为() A4B2C4D6 答案C 解析f(4x)f(x)， f(x)的图象关于点(2,0)对称， f(x)f(x4)， 又f(x)f(x)， f(x4)f(x) T4. (2)函数 yf(x)对任意 xR 都有 f(x2)f(x)成立，且函数 yf(x1)的图象关于点(1,0)对 称，f(1)4，则
9、 f(2 020)f(2 021)f(2 022)的值为_ 答案4 解析因为函数 yf(x1)的图象关于点(1,0)对称， 所以函数 yf(x)的图象关于原点对称，即函数 f(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 021)f(50541)f(1)4， 所以 f(2 020)f(2 022)f(2 020)f(2 0202) f(2 020)f(2 020)f(2 020)f(2 020)0， 所以 f(2 020)f(2 021)f(2 022)4. 思维升华 由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思
10、路是按奇偶性、对称性的定义，可 推导出周期性，二是可利用奇偶性、对称性画草图，利用图象判断周期性 跟踪训练 3 函数 f(x)满足 f(x1)为奇函数， f(x1)为偶函数， 则下列说法正确的是_ (填 序号) f(x)的周期为 8； f(x)关于点(1,0)对称； f(x)为偶函数； f(x7)为奇函数 答案 解析f(x1)为奇函数，f(x1)的图象关于(0,0)对称，f(x)的图象关于点(1,0)对称， 又 f(x1)为偶函数， f(x1)的图象关于直线 x0 对称， f(x)的图象关于直线 x1 对称， f(x)的图象关于点(1,0)和直线 x1 对称， f(x)的周期为 8， 正确，不
11、正确 T8，f(x7)f(x1)， 又 f(x1)为奇函数，f(x7)为奇函数， 故正确 题型四 函数的周期性与对称性 例 4 (多选)已知 f(x)的定义域为 R，其函数图象关于直线 x3 对称，且 f(x3)f(x3)， 若当 x0,3时，f(x)4x2x11，则下列结论正确的是() Af(x)为偶函数 Bf(x)在6，3上单调递减 Cf(x)关于 x3 对称 Df(100)9 答案ACD 解析f(x)的图象关于 x3 对称， 则 f(x)f(x6)， 又 f(x3)f(x3)，则 f(x)的周期 T6， f(x)f(x6)f(x)， f(x)为偶函数，故 A 正确； 当 x0,3时，f(
12、x)4x2x11 单调递增， T6，故 f(x)在6，3上也单调递增，故 B 不正确； f(x)关于 x3 对称且 T6， f(x)关于 x3 对称，故 C 正确； f(100)f(1664)f(4)f(2)f(2)9，故 D 正确 思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们 综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上 的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题 跟踪训练4 函数f(x)是定义域为R的奇函数， 满足f(x4)f(x)， f(x4)f(x)， 且当x0,2 时，f(x)2xlog2x，则 f(
13、80)，f(25)，f(11)的大小关系为_ 答案f(25)f(80)f(11) 解析依题意，f(x)的周期为 8，且 f(x)是奇函数，其图象关于 x2 对称，当 x0,2时，f(x) 单调递增， f(x)在2,2上单调递增， 又 f(80)f(0)，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(1)， f(1)f(0)f(1) 即 f(25)f(80)f(11) 课时精练课时精练 1函数 f(x)x9 x(x0)是( ) A奇函数，且在(0,3)上是增函数 B奇函数，且在(0,3)上是减函数 C偶函数，且在(0,3)上是增函数 D偶函数，且在(0,3)上是减函数 答案B 解析因为 f(x)x
14、9 x x9 x f(x)， 所以函数 f(x)x9 x为奇函数 又 f(x)19 x2，在(0,3)上 f(x)0 恒成立， 所以 f(x)在(0,3)上是减函数 2f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x5)f(x)，当 x 5 2，0时，f(x)2x1，则 f(16)的值为 () A.1 2 B1 2 C.3 2 D3 2 答案A 解析f(x5)f(x)，T5， f(16)f(1)f(1)(2 11)1 2. 3已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上单调递增，若 f(ln x)f(2)，则 x 的取值范围是 () A(0，e2)B(e 2，) C(e2，)D(e 2，e2) 答案D
15、 解析根据题意知， f(x)为偶函数且在0， )上单调递增， 则 f(ln x)f(2)|ln x|2， 即2lnx2， 解得 e 2xe2，即 x 的取值范围是(e2，e2) 4已知定义在 R 上的函数 f(x)满足对任意 x 都有 f(x2) 13 fx且 f(2)2，则 f(2 020)的值为 () A.1 2 B2C. 2 13 D.13 2 答案D 解析f(x2) 13 fx， f(x4) 13 fx2 13 13 fx f(x)， T4，f(2 020)f(4) 13 f2 13 2 . 5(多选)(2021济南模拟)函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x1)与 f(x2)都为奇
16、函数，则() Af(x)为奇函数B. f(x)为周期函数 Cf(x3)为奇函数D. f(x4)为偶函数 答案ABC 解析由 f(x1)与 f(x2)都为奇函数知函数 f(x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称， 所以 f(x)f(2x)0，f(x)f(4x)0， 所以 f(2x)f(4x)，即 f(x)f(x2)， 所以 f(x)是以 2 为周期的函数 所以函数 f(x)的图象关于点(3,0)，(2,0)，(1,0), (0,0)对称 所以 f(x)，f(x3)，f(x4)都是奇函数 6(多选)(2020全国改编)关于函数 f(x)sin x 1 sin x有如下四个命题，其中为真命题的是
17、 () Af(x)的图象关于 y 轴对称 Bf(x)的图象关于原点对称 Cf(x)的图象关于直线 x 2对称 Df(x)的最小值为 2 答案BC 解析f(x)sin x 1 sin x的定义域为x|xk，kZ，f(x)sin(x) 1 sinxsin x 1 sin xf(x)， f(x)为奇函数，关于原点对称，故 A 错误，B 正确 f 2xcos x 1 cos x， f 2xcos x 1 cos x， f 2xf 2x， f(x)的图象关于直线 x 2对称，故 C 正确 当 x 2，0时，f(x)0，故 D 错误 7偶函数 f(x)在区间1,3上单调递减，且 f(x)2,4，那么，当
18、x3，1时，f(3) _，f(x)max_. 答案24 解析偶函数的图象关于 y 轴对称， f(3)f(3)2， f(x)maxf(1)f(1)4. 8f(x)为 R 上的奇函数，在(0，)上单调递减，且 f(1)0，则不等式 xf(x)0 的解集为 _ 答案(1,0)(0,1) 解析不等式 xf(x)0， 画出 f(x)的图象如图所示， xf(x)0 的解集为(1,0)(0,1) 9已知 f(x)的定义域为 R，其函数图象关于直线 x1 对称，且 f(x4)f(x2)若当 x4，1时，f(x)6 x，则 f(919)_. 答案216 解析由 f(x4)f(x2)，得 f(x6)f(x) 故
19、f(x)是周期为 6 的函数 所以 f(919)f(61531)f(1) 因为 f(x)的图象关于直线 x1 对称， 所以 f(1)f(3) 又 x4，1时，f(x)6 x， 所以 f(3)6 (3)216. 从而 f(1)216，故 f(919)216. 10已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(x1)是偶函数，当 x(2,4)时，f(x)|x3|，则 f(1) f(2)f(3)f(4)f(2 020)_. 答案0 解析因为 f(x)为奇函数，f(x1)为偶函数，所以 f(x1)f(x1)f(x1)，所以 f(x2) f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，所以函数 f(x)的周
20、期为 4，所以 f(4)f(0)0，f(3) f(1)f(1)在 f(x1)f(x1)中，令 x1，可得 f(2)f(0)0，所以 f(1)f(2)f(3) f(4)0. 所以 f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)505f(1)f(2)f(3)f(4)0. 11 已知函数 f(x)是(， )上的偶函数， 若对于 x0， 都有 f(x2)f(x)， 且当 x0,2) 时，f(x)log2(x1)，求： (1)f(0)，f(2)，f(3)的值； (2)f(2 021)f(2 022)的值 解(1)f(0)log210，f(2)f(0)0， f(3)f(12)f(1)log2(11)1.
21、 (2)依题意得，当 x0 时，f(x4)f(x2)f(x)，即当 x0 时，f(x)是以 4 为周期的函数 因此，f(2 021)f(2 022)f(2 021)f(2 022)f(1)f(2) 而 f(2)0，f(1)log2(11)1， 故 f(2 021)f(2 022)1. 12已知 g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足 g(x)h(x)2x，若存在 x1,1，使得不等 式 mg(x)h(x)0 有解，求实数 m 的最大值 解因为 g(x)h(x)2x， 所以 g(x)h(x)2 x. 又 g(x)为偶函数，h(x)为奇函数， 所以 g(x)h(x)2 x， 联立，得 g(x)
22、2 x2x 2 ，h(x)2 x2x 2 . 由 mg(x)h(x)0，得 m2 x2x 2x2 x 4x1 4x11 2 4x1. 因为 y1 2 4x1为增函数，所以当 x1,1时， 1 2 4x1max1 2 41 3 5，所以 m 3 5， 即实数 m 的最大值为3 5. 13(2021安徽江南十校质检)设函数 f(x)ln(1|x|) 1 1x2，则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的 取值范围为() A(，1)B(1，) C. 1 3，1D. ，1 3 (1，) 答案C 解析由已知得函数 f(x)为偶函数， 所以 f(x)f(|x|)， 由 f(x)f(2x1)，可得 f(|x
23、|)f(|2x1|) 当 x0 时，f(x)ln(1x) 1 1x2， 因为 yln(1x)与 y 1 1x2在0，)上都单调递增，所以函数 f(x)在0，)上单调递增 由 f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|， 两边平方可得 x2(2x1)2， 整理得 3x24x10， 解得1 3x0， 则 f(2 021)_. 答案1 011 解析当 x0 时，f(x)f(x2)1， 则 f(2 021)f(2 019)1f(2 017)2 f(1)1 010f(1)1 011, 而 f(1)0，故 f(2 021)1 011. 15 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x
24、)， 且在区间0,2上单调递增 若方程 f(x) m(m0)在区间8,8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4_. 答案8 解析因为定义在 R 上的奇函数满足 f(x4)f(x)， 所以 f(x4)f(x) 由 f(x)为奇函数， 所以函数图象关于直线 x2 对称，且 f(0)0.由 f(x4)f(x)知 f(x8)f(x)，所以函数的 周期为 8.又因为 f(x)在区间0,2上单调递增， 所以函数在区间2,0上也单调递增， 作出函数 f(x)的大致图象如图所示，那么方程 f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根 x1，x2，x3， x4，不妨设 x1x2x3m，
25、mn6，n6 m， 则 46 m 6 m，显然等式不成立， 函数 g(x)46 x不存在“优美区间” (3)解设m，n是已知函数定义域的子集 由 x0，则m，n(，0)或m，n(0，)， 而函数 yh(x)a 2ax1 a2x a1 a 1 a2x在m，n上单调递增 若m，n是已知函数的“优美区间”，则 hmm， hnn， m，n 是方程a1 a 1 a2xx，即 a 2x2(a2a)x10 的两个同号且不相等的实数根， mna 2a a2 ， mn 1 a20， m，n 同号，只需(a2a)24a2a2(a3)(a1)0，解得 a1 或 a3， nm nm24mn a2a a2 24 a2 3 1 a 1 3 24 3， 当 a3 时，nm 取得最大值2 3 3 .
