第一章 §1.1 集 合.docx

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1、1.1集集合合 考试要求1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,能用自然语言、图形语言、集 合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定 集合的子集.3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集的 含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用 Venn 图表示集合间的基本关系及集 合的基本运算 1集合与元素 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性 (2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号或表示 (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法 (4)常见数集的记法 集合 非负整数集 (或自然数集)

2、正整数集整数集有理数集实数集 符号NN*(或 N)ZQR 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn 图 子集 集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素(若 xA,则 xB) AB(或 BA) 真子集 集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中 AB(或 BA) 集合 相等 集合 A,B 中的元素相同或集合 A, B 互为子集 AB 3集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn 图 交集 由所有属于集合 A 且属于 集合 B 的元素组成的集合 ABx|xA 且 xB 并集 由所有属于集合 A 或属于 集合 B 的元素组成的集合 ABx|xA 或 x

3、B 补集 设 AU, 由全集 U 中不属 于集合 A 的所有元素组成 的集合 UAx|xU 且 xA 微思考 1若一个集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有几个子集,几个真子集? 提示子集:2n,真子集:2n1. 2从 ABA,ABA 中可以分别得到集合 A,B 有什么关系? 提示ABAAB,ABABA. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)任何一个集合都至少有两个子集() (2)x|yx21y|yx21(x,y)|yx21() (3)若 1x2,x,则 x1 或 x1.() (4)对任意集合 A,B,都有(AB)(AB)() 题组二教材改编 2(多选)

4、若集合 AxN|2x103x,则下列结论正确的是() A2 2AB8A C4AD0A 答案AD 3已知集合 P1,a,Q1,a2,若 PQ,则 a_. 答案0 4.设全集 UR,集合 Ax|0 x2,By|1y3,则(UA)B_. 答案(,0)1,) 解析因为UAx|x2 或 x0,Bx|x1,若 AB,则实数 a 的取值范围是_ 答案(1,) 6已知集合 Mx|xa0,Nx|ax10,若 MNN,则实数 a 的值是_ 答案0 或 1 或1 解析易得 MaMNN,NM, N或 NM, a0 或 a1. 题型一 集合的含义与表示 1(多选)已知集合 Ax|x3k1,kZ,则下列表示正确的是()

5、A1AB11A C3k21AD34A 答案BCD 解析当 k0 时,x1,所以1A,所以 A 错误; 令113k1,得 k10 3 Z,所以11A,所以 B 正确; 因为 kZ,所以 k2Z,则 3k21A,所以 C 正确; 令343k1,得 k11,所以34A,所以 D 正确 2已知集合 U(x,y)|x2y21,xZ,yZ,则集合 U 中的元素的个数为() A3B4C5D6 答案C 解析当 x1 时,y0; 当 x0 时,y1,0,1; 当 x1 时,y0. 所以 U(1,0),(0,1),(0,0),(0,1),(1,0),共有 5 个元素 3若集合 Aa3,2a1,a24,且3A,则实

6、数 a_. 答案0 或 1 解析当 a33 时,即 a0, 此时 A3,1,4, 当 2a13 时,即 a1, 此时 A4,3,3舍, 当 a243 时,即 a1,由可知 a1 舍,则 a1 时,A2,1,3, 综上,a0 或 1. 4已知 a,bR,若 a,b a,1 a 2,ab,0,则 a2 021b2 021_. 答案1 解析由已知得 a0,则b a0, 所以 b0, 于是 a21,即 a1 或 a1, 又由集合中元素的互异性知 a1 应舍去, 故 a1, 所以 a2 021b2 021(1)2 02102 0211. 思维升华 解决集合含义问题的关键有三点: 一是确定构成集合的元素;

7、 二是确定元素的限制 条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题 特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性 题型二集合间的基本关系 例 1 (1)已知集合 AxR|x23x20,BxN|0 xm1,解得 m2, 当 B时, 2m1m1, 2m13, m14, 解得1m2. 综上,实数 m 的取值范围是1,) 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则 易造成漏解 (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转 化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直

8、观解决这类问题 跟踪训练 1 (1)(八省联考)已知 M,N 均为 R 的子集,且RMN,则 M(RN)等于() ABMCNDR 答案B 解析画 Venn 图即可,注意最后求并集 (2)已知集合 Ax|x24x50,Bx|m5x2m1,若 AB,则实数 m 的取值范 围是_ 答案2,4 解析Ax|(x1)(x5)0 x|1x5, AB, m51, 2m15 或 m51, 2m15, 解得 2m4. 题型三 集合的基本运算 命题点 1集合的运算 例 2 (1)(2020新高考全国)设集合 Ax|1x3,Bx|2x4,则 AB 等于() Ax|2x3Bx|2x3 Cx|1x4Dx|1x4 答案C

9、解析ABx|1x3x|2x4 x|1x4 (2)设集合 Ax|x23x20,则满足 AB0,1,2的集合 B 可以是_(只要写出 一个即可) 答案0或0,1或0,2或0,1,2 解析Ax|x23x201,2, AB0,1,2,0B,集合 B 可以是0或0,1或0,2或0,1,2 命题点 2利用集合的运算求参数的值(范围) 例 3 (1)已知集合 Ax|x23x0,B1,a,且 AB 有 4 个子集,则实数 a 的取值范围 是() A(0,3)B(0,1)(1,3) C(0,1)D(,1)(3,) 答案B 解析因为 AB 有 4 个子集,所以 AB 中有 2 个不同的元素,所以 aA,所以 a2

10、3a0, 解得 0a3.又 a1,所以实数 a 的取值范围是(0,1)(1,3),故选 B. (2)(2020全国)设集合 Ax|x240,Bx|2xa0,且 ABx|2x1,则 a 等于() A4B2C2D4 答案B 解析Ax|2x2,B x|x a 2. 由 ABx|2x1,知a 21, 所以 a2. 高考改编题已知集合 Ax|x240,Bx|2xa0,若 ABB,则实数 a 的取值 范围是() Aa4Da4 答案D 解析集合 Ax|2x2,B x|x a 2, 由 ABB 可得 AB,作出数轴如图 可知a 22,即 a4. 思维升华 (1)对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散

11、的,可用 Venn 图表示; 如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况 (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,能简化运算 跟踪训练 2 (1)已知全集 UR,集合 Ax|2x4,Bx|(x1)(x3)4x|x2,UAx|x2,Bx|1x3 (UA)Bx|1x2 (2)设集合 Ax|1x2,Bx|xa,若 AB,则 a 的取值范围是() A12 Ca1Da1 答案D 解析在数轴上画出集合 A,B(如图), 观察可知 a1. 题型四 集合的新定义问题 例 4 (1)已知集合 AxN|x22x30, B1,3,定义集合 A,B 之间的运算“*”:A*B

12、x|xx1x2,x1A,x2B,则 A*B 中的所有元素数字之和为() A15B16C20D21 答案D 解析由 x22x30, 得(x1)(x3)0, 得 A0,1,2,3 因为 A*Bx|xx1x2, x1A, x2B,所以 A*B 中的元素有:011,033,112,134,213(舍去),235,3 14(舍去),336,所以 A*B1,2,3,4,5,6,所以 A*B 中的所有元素数字之和为 21. (2)若集合 A1,A2满足 A1A2A,则称(A1,A2)为集合 A 的一种分拆,并规定:当且仅当 A1 A2时,(A1,A2)与(A2,A1)是集合 A 的同一种分拆若集合 A 有三

13、个元素,则集合 A 的不同 分拆种数是_ 答案27 解析不妨令 A1,2,3,A1A2A, 当 A1时,A21,2,3, 当 A11时,A2可为2,3,1,2,3共 2 种, 同理 A12,3时,A2各有两种, 当 A11,2时,A2可为3,1,3,2,3,1,2,3共 4 种, 同理 A11,3,2,3时,A2各有 4 种, 当 A11,2,3时,A2可为 A1的子集,共 8 种, 故共有 12343827 种不同的分拆 素养提升解决集合新定义问题的关键是 (1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合 题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已

14、有概念或定义相混淆 (2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合 集合的相关性质求解 (3)从新定义出发,结合集合的性质求解,提升逻辑推理核心素养 跟踪训练 3 (2021长沙模拟)定义一种新的集合运算:ABx|xA 且 xB若集合 A x|x24x30,Bx|2x4,则按运算,BA 等于() Ax|3x4Bx|3x4 Cx|3x4Dx|2x4 答案B 解析由题意知,Ax|1x3,在数轴上表示出 A,B 的区间,可得 BAx|3x4 课时精练课时精练 1已知集合 U1,2,3,4,5,6,7,A2,3,4,5,B2,3,6,7,则 B(UA)等于() A

15、1,6B1,7C6,7D1,6,7 答案C 解析U1,2,3,4,5,6,7,A2,3,4,5, UA1,6,7 又 B2,3,6,7,B(UA)6,7 2设集合 Mx|x2x,Nx|lg x0,则 MN 等于() A0,1B(0,1 C0,1)D(,1 答案A 解析M0,1,Nx|0 x1, MNx|0 x1 3设集合 A(x,y)|xy2,B(x,y)|yx2,则 AB 等于() A(1,1)B(2,4) C(1,1),(2,4)D 答案C 解析首先注意到集合 A 与集合 B 均为点集, 联立 xy2, yx2, 解得 x1, y1 或 x2, y4. 从而集合 AB(1,1),(2,4)

16、 4设集合 Mx|x4n1,nZ,Nx|x2n1,nZ,则() AMNBNMCMNDNM 答案A 解析Nx|x2n1,nZ, 当 n2k,kZ 时,Nx|x4k1,kZM, 当 n2k1,kZ 时,Nx|x4k3,kZ, 所以 MN. 5已知集合 A xZ| 3 2xZ,则集合 A 中的元素个数为() A2B3C4D5 答案C 解析因为 3 2xZ,且 xZ,所以 2x 的取值有3,1,1,3,所以 x 的值分别为 5,3,1, 1,故集合 A 中的元素个数为 4. 6 (多选)已知集合 A1,2,3,4, By|y2x3, xA, 则集合 AB 的真子集可以为() AB1C3D1,3 答案A

17、BC 解析由题意,得 B1,1,3,5, AB1,3 故集合 AB 的真子集可以为,1,3 7(多选)已知集合 Ax|x23x20,Bx|22x8,则下列判断正确的是() AABB B(RB)AR CABx|12 答案CD 解析因为 x23x20,所以 1x2, 所以 Ax|1x2; 因为 22x8,所以 1x3,所以 Bx|1x3 所以 ABx|1x3,ABx|13,(RB)(RA)x|x1 或 x2 8(多选)已知集合 A1,2,Bx|mx1,mR,若 BA,则实数 m 可能的取值为() A0B1C.1 2 D2 答案ABC 解析当 m0 时,BA 成立; 当 m0 时,则 Bx|mx1,

18、mR 1 m , BA,1 m1 或 1 m2, 解得 m1 或 m1 2. 综上所述,实数 m 可能的取值为 0,1,1 2. 9已知集合 A1,3, m,B1,m,若 BA,则 m_. 答案0 或 3 解析因为 BA,所以 m3 或 m m.即 m3 或 m0 或 m1,根据集合中元素的互异 性可知 m1,所以 m0 或 3. 10 已知集合 Ax|5x1, Bx|(xm)(x2)0, 若 AB(1, n), 则 mn_. 答案0 解析AB(1,n), m1,n1, mn0. 11已知集合 Ax|2x3,Bx|mxm9,若 AB,则实数 m 的取值范围是 _ 答案m|11m3 解析若 AB

19、,则有 m92 或 m3, 解得 m11 或 m3, 所以当 AB时, 实数 m 的取值范围为m|11m1 时,A(,1a,),Ba1,),当 a11 时,ABR, 故 1a2;当 a1 时,AR,Bx|x0,ABR,满足题意;当 a1 时,A(, a1,),Ba1,),又a1a,ABR,故 a1 满足题意,综上知 a(,2 15已知集合 Ax|x23x20,Bx|x2ax3a50,若 ABB,则实数 a 的取 值范围是() AB2 C(2,10)D2,10) 答案D 解析由题意,可得 Ax|x23x201,2, 因为 ABB,所以 BA. (1)当 B时,方程 x2ax3a50 无解,则a2

20、4(3a5)0,解得 2a10,此时满 足题意 (2)当 B时,若 BA,则 B1或2或1,2 当 B1时,1a3a50,得 a2,此时 Bx|x22x101,满足题意; 当 B2时,42a3a50,得 a1,此时 Bx|x2x201,2,不满足题 意,即 a1; 当 B1,2时,根据根与系数的关系可得 12a, 123a5, 此时无解 综上得,实数 a 的取值范围为2,10) 16(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪直到 1872 年,德国数学家戴德金从 连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建 立在严格的科学基础上, 才结束了无理数

21、被认为“无理”的时代, 也结束了持续 2000 多年的 数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割,是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N,且满足 MNQ,MN,M 中的每一个元素小于 N 中的每一个元素,则称(M, N)为戴德金分割试判断下列选项中,可能成立的是() AMx|x0是一个戴德金分割 BM 没有最大元素,N 有一个最小元素 CM 有一个最大元素,N 有一个最小元素 DM 没有最大元素,N 也没有最小元素 答案BD 解析对选项 A,因为 Mx|x0,MNx|x0Q,故 A 错误; 对选项 B,设 MxQ|x0,NxQ|x0,满足戴德金分割,则 M 中没有最大元素, N 有一个最小元素 0,故 B 正确; 对选项 C,若 M 有一个最大元素,N 有一个最小元素,则不能同时满足 MNQ,MN ,故 C 错误; 对选项 D,设 MxQ|x 2,NxQ|x 2,满足戴德金分割,此时 M 没有最大元 素,N 也没有最小元素,故 D 正确

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