1、强化训练强化训练 2函数与方程中的综合问题函数与方程中的综合问题 1下列函数中,不能用二分法求函数零点的有() Af(x)3x1Bf(x)x22x1 Cf(x)log4xDf(x)ex2 答案B 解析f(x)x22x1(x1)2,f(1)0, 当 x0;当 x1 时,f(x)0, 在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点, 其余选项中在函数的零点两侧函数值异号 2函数 f(x)x32x23x6 在区间(2,4)上的零点必定在区间() A(2,1)内B. 5 2,4内 C. 1,7 4 内 D. 7 4, 5 2 内 答案D 解析f(2)280, 且 f 24 2f(1)40,零点在区间 1,5
2、 2 内 又 f 15 2 2 f 7 4 0,f(m)g(n), 则 g(n)ln n0,n1. 4 若函数f(x)x2ax4有两个零点, 一个大于2, 另一个小于1, 则a的取值范围是() A(0,3)B0,3 C(3,0)D(,0)(3,) 答案A 解析f(x)x2ax4 有两个零点,一个大于 2,另一个小于1, f20, f10, 即 222a40, 12a40, 解得 0a3. 5已知函数 f(x)exx2 的零点为 a,函数 g(x)ln x 的零点为 b,则下列不等式中成立的 是() Af(a)f(ab)f(b) Bf(ab)f(a)f(b) Cf(a)f(b)f(ab) Df(
3、b)f(ab)f(a) 答案C 解析由题意可知函数 f(x)在 R 上单调递增, f(0)e00210, 函数 f(x)的零点 a(0,1), 又函数 g(x)的零点 b1,0abab, f(a)f(b)f(ab) 6(多选)设函数 f(x)ax 2 2e ln|ax|(a0),若 f(x)有 4 个零点,则 a 的可能取值有() A1B2C3D4 答案BCD 解析当 a1 时,f(x)x 2 2eln|x|,函数 f(x)是偶函数, 当 x0 时,f(x)x 2 2eln x,f(x) x e 1 x x ex e ex ,f(x)在(0, e)上递减,在( e,) 上递增, f(x)min
4、f( e)0,x0 时,有一个交点,所以 f(x)共有 2 个零点,故不成立, 当 a2 时,当 x0 时,f(x)x 2 e ln 2x,f(x)2x e 1 x 2x2e ex 2 x e 2 x e 2 ex , f(x)在 0, e 2 上递减,在 e 2,上递增, f(x)minf e 2 1 2(1ln 2e)0 有两个交点, 所以共有 4 个零点,故成立, 同理可得 a3,a4 时成立 7方程 2xx2 的解所在的区间是(k,k1),kZ,则 k_. 答案0 解析由题意得 2xx20, 设 f(x)2xx2, 所以 f(0)1021,f(1)2121, 所以 f(0)f(1)0,
5、则方程 t2(4a)t40 有正根, 又两根的积为 4, 4a2160, 4a0, 解得 a8. 9已知函数 f(x) |x1|,x0, ln x1,x0, 若方程 f(x)m(mR)恰有三个不同的实数解 a,b, c(abc),则(ab)c 的取值范围是_ 答案 2,2 e 解析画出 f(x)的图象 所以方程 f(x)m(mR)恰有三个不同的实数解 a,b,c(abc), 可知 m 的取值范围为(0,1, 由题意可知 ab2,0ln c11, 所以1 ec1, 所以2(ab)c2 e. 10已知函数 f(x) 2x1,x0, fx1,x0, 若方程 f(x)xa 有两个不同的实数根,则实数
6、a 的取值范围为_ 答案(1,) 解析当 x0 时,f(x)2x1, 当1x0 时,f(x)2x 11, 当2x1 时,函数 f(x)和函数 yxa 的图象有两个不同的交点,即方程 f(x)xa 有两个不同实根 11求证:方程 3x4x5x只有一个实数解 证明要证方程 3x4x5x只有一个实数解, 即证 3 5 x 4 5 x1 只有一个实数解, 即证 f(x) 3 5 x 4 5 x1 有唯一零点 f(0) 3 5 0 4 5 0110, f(3) 3 5 3 4 5 3134 1250, f(0)f(3)0,f(x)在(0,3)上有零点 又 f(x)在 R 上是减函数, f(x)在(0,3
7、)上有唯一零点, 即 f(x)在 R 上有唯一零点,即方程 3x4x5x只有一个实数解 12设函数 f(x)log2(xm)(mR) (1)当 m2 时,解不等式 f 1 x 1; (2)若 m10,且关于 x 的方程 f(x) 1 2 x在2,6上有实数解,求实数的取值范围 解(1)由题意,知 log2 1 x20, 1 x22, 解得 x0, x0, 故 x1 2, 所以原不等式的解集为 ,1 2 . (2)log2(x10) 1 2 x, 即log2(x10) 1 2 x在2,6上有实数解, 设 g(x)log2(x10) 1 2 x, 因为 g(x)在2,6上单调递增, 所以当 x2
8、时,min1;当 x6 时,max31 8 . 所以实数的取值范围是 1,31 8 . 13四个函数 f(x)10 x,g(x) 1 10 x,h(x)lg x,(x) 1 10 logx,方程 f(x)(x),g(x)(x), g(x)h(x)的实数根分别为 a,b,c,则() AabcBcba CcabDbac 答案A 解析如图,画出四个函数的图象,由图可知,abc. 14函数 f(x) 1 2 |x1|2cos x(2x4)的所有零点之和为( ) A4B6C8D10 答案B 解析令 f(x)0,可得 1 2 |x1|2cos x, 令 g(x) 1 2 |x1|,h(x)2cos x,
9、则 g(x) 2x 1,2x1, 1 2 x1,11, 则方程 f(f(x)1 根的个数为() A3B5C7D9 答案C 解析令 uf(x),先解方程 f(u)1. (1)当 u1 时,f(u)2u11,得 u11; (2)当 u1 时,f(u)|ln(u1)|1, 即 ln(u1)1,解得 u211 e,u 31e. 如图所示, 直线 u1,u11 e,u1e 与函数 uf(x)的交点个数分别为 3,2,2, 所以方程 f(f(x)1 的根的个数为 3227. 16已知函数 f(x)x2ax1 4,g(x)ln x. (1)若xR,f(x)0,求实数 a 的取值范围; (2)用 minm,n
10、表示 m,n 中的较小者设 h(x)minf(x),g(x)(x0),若 h(x)有三个零点, 求实数 a 的取值范围 解(1)根据题意知 x2ax1 40 对任意实数 x 恒成立, 所以a241 40,解得1a1. (2)当 x(1,)时,g(x)ln x0, 所以 h(x)minf(x),g(x)g(x)0, 所以 h(x)在(1,)上无零点; 所以 h(x)在(0,1上有三个零点, f(1)5 4a,g(1)0, 当 f(1)g(1)时,5 4a0,得 a 5 4, 所以 h(1)g(1)0,所以 1 是 h(x)的一个零点; 当 f(1)g(1)时,a5 4, 所以 h(1)f(1)0, 由题意可知,1 是 h(x)的一个零点,且 f(x)x2ax1 4在(0,1)上有两个零点, 所以 a5 4,且 a2411 40, 0a 20, f1a5 40, 解得5 4a1. 综上所述,若 h(x)有三个零点, 则 a 的取值范围是 5 4,1.